Քերոլի թիվ

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից

Քերոլի թիվ, 4^n - 2^{n + 1} - 1 տեսքի ամբողջ թիվ։ Որոշվում է նաև համարժեք բանաձևով՝ (2^n - 1)^2 - 2։ Առաջին մի քանի Քերոլի թվերն են՝ −1, 7, 47, 223, 959, 3967, 16127, 65023, 261119, 1046527 (A093112-ի հաջորդականությունը OEIS-ում)։

Քերոլի թվերն առաջին անգամ ուսումնասիրել է Քլեթուս Էմանուելը։ Նա այս թվերն անվանել է իր ընկերոջ՝ Քերոլ Գ․ Կիրնոնի անունով։[1][2]

Ցանկացած n > 2 թվի համար, n-րդ Քերոլի թվի երկուական տեսքը բաղկացած է n − 2 հատ իրար հաջորդող մեկերից, մեկ զրոյից և ևս n + 1 հատ իրար հաջորդող մեկերից, կամ, հանրահաշվորեն ներկայացնելու դեպքում՝

\sum_{i \ne n + 2}^{2n} 2^{i - 1}

Այսպես, օրինակ, 47-ի երկուական տեսքը 101111 է, 223-ինը՝ 11011111 և այլն։ Մերսենի 2n-րդ պարզ թվի և Քերոլի n-րդ թվի միջև եղած տարբերությունը հավասար է 2^{n + 1}-ի։ Սա հնարավորություն է տալիս Քերոլի թվերն արտահայտել ևս մեկ համարժեք բանաձևով՝ (2^{2n} - 1) - 2^{n + 1}։ Քայնի n-րդ թվի և Քերոլի n-րդ թվի միջև եղած տարբերությունը հավասար է երկուսի (n + 2)-րդ աստիճանին՝ 2^{n + 2}։

Սկսած 7-ից, յուրաքանչյուր երրորդ Քերոլի թիվը բաժանվում է 7-ի։ Այդիսկ պատճառով, որպեսզի Քերոլի թիվը լինի պարզ թիվ, նրա n ինդեքսը չպետք է լինի 3x + 2 տեսքի, որտեղ x > 0։ Առաջին մի քանի Քերոլի պարզ թվերն են՝ 7, 47, 223, 3967, 16127 (A091516-ի հաջորդականությունը OEIS-ում)։

2007 թվականի հուլիսի դրությամբ, ամենամեծ հայտնի Քերոլի պարզ թիվը n = 253987-ի դեպքում ստացվող Քերոլի թիվն է, որն բաղկացած է 152916 թվանշաններից։[3][4] Այն հայտնաբերվել է Քլեթուս Էմանուելը 2007թ․ մայիս ամսին՝ օգտագործելով MultiSieve և PrimeFormGW ծրագրերը։ Այդ թիվը 40-րդ Քերոլի պարզ թիվն է։

Քերոլի 7-րդ թվի և Քերոլի 5-րդ պարզ թվի՝ 16127-ի, թվանշանները հակառակ դասավորելու դեպքում ստացվողը նույնպես պարզ թիվ։[5] Քերոլի 12-րդ թիվը և Քերոլի 7-րդ պարզ թիվը՝ 16769023-ը, նույնպես ունի այդ հատկությունը։[6]

Ծանոթագրություններ[խմբագրել]

  1. Cletus Emmanuel (անգլերեն)
  2. Message to Yahoo primenumbers group from Cletus Emmanuel (անգլերեն)
  3. Entry for 253987th Carol number (անգլերեն)
  4. Carol Primes and Kynea Primes by Steven Harvey (անգլերեն)
  5. Prime Curios 16127(անգլերեն)
  6. Prime Curios 16769023 (անգլերեն)

Արտաքին հղումներ[խմբագրել]