Մնացք (կոմպլեքս անալիզ)

Անվան այլ կիրառումների համար տե՛ս՝ Մնացք (այլ կիրառումներ)

Մնացք, անալիտիկ ֆունկցիաների տեսության մեջ, մեկ փոփոխականի միարժեք $f(z)$ անալիտիկ ֆունկցիայի մնացք այդ ֆունկցիայի առանձնացված և վերջավոր $a$ եզակի կետում անվանում են $f(z)$-ի Լորանի շարքի $(z-a)^{-1}$ անդամի $c_{1}$ գործակիցը։ Եթե $\gamma$-ն $a$ կենտրոնով այնպիսի շրջանագիծ է, որի վրա և ներսում $f(z)$-ը $a$-ից բացի այլ եզակի կետեր չունի, ապա մնացքը $a$ կետում $[Res(f;a)]$ հավասար է՝

$Res(f;a)={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\gamma }f(z)dz$։

Մնացքների տեսության մեջ հիմնական է հետևյալ թեորեմը. եթե $f(z)$-ը միարժեք է և անալիտիկ $D$ միակապ տիրույթում, բացառությամբ առանձնացված եզակի կետերի, ապա՝

$\int \limits _{\gamma }f(z)dz=2\pi i~~\sum _{k=1}^{n}Res(f;a_{k})$

(1)

որտեղ $\gamma$-ն $D$-ում ընկած կամայական, փակ, պարզ կոր է, իսկ $a_{1},a_{2},...,a_{n}$ կետերը՝ $f(z)$-ի եզակիությունները $\gamma$-ի ներսում։ Քանի որ մնացքը համեմատաբար հեշտ է հաշվվում, ապա (1) բանաձևը ինտեգրալներ հաշվելու հարմար միջոց է։

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 7, էջ 653)։