Կրամերի մեթոդ (Կրամերի կանոն), այն հանրահաշվական հավասարումների համակարգերի լուծման մեթոդ, որոնց հավասարումներ քանակը հավասար է հիմնական մատրիցի ոչ զրոյական գլխավոր որոշիչով անհայտներին (այդպիսի հավասարումների լուծումը գոյություն ունի և միակն է)։ Անվանված է ի պատիվ Գաբրիել Կրամերի (1704—1752), ով 1750 թվականին առաջարկել է մեթոդը։[1]
Գծային հավասարումների
չափանի
հատ անհայտներով (ցանկացած դաշտով), համակարգի
զրոյից տարբեր որոշիչով
![{\displaystyle {\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\ldots +a_{1n}x_{n}=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\ldots +a_{2n}x_{n}=b_{2}\\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\ldots +a_{nn}x_{n}=b_{n}\\\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/814be533c5624c39a8d96841d0363e69a035200c)
համակարգի լուծումը գրառվում է այս տեսքով՝
![{\displaystyle x_{i}={\frac {1}{\Delta }}{\begin{vmatrix}a_{11}&\ldots &a_{1,i-1}&b_{1}&a_{1,i+1}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&\ldots &a_{2,i-1}&b_{2}&a_{2,i+1}&\ldots &a_{2n}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\a_{n-1,1}&\ldots &a_{n-1,i-1}&b_{n-1}&a_{n-1,i+1}&\ldots &a_{n-1,n}\\a_{n1}&\ldots &a_{n,i-1}&b_{n}&a_{n,i+1}&\ldots &a_{nn}\\\end{vmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f6c132a9f96984f86547420d94d977b81a194ae)
(համակարգի մատրիցի i-րդ սյունը փոխարինվում է ազատ անդամների սյունով)։
Այլ կերպ Կրամերի կանոնը ձևակերպվում է այսպես․ ցանկացած c1, c2, …, cn գործակիցների համար գործում է հետևյալ հավասարումը՝
![{\displaystyle (c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\dots +c_{n}x_{n})\cdot \Delta =-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}&b_{2}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}&b_{n}\\c_{1}&c_{2}&\ldots &c_{n}&0\\\end{vmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d609808e322b2dcab93f4163a13e715b98ea2f0f)
Այս ձևակերպմամբ Կրամերի բանաձևը ճիշտ է առանց ենթադրման, որ
-ն տարբեր է զրոյից, պետք չէ նաև не нужно даже, чтобы коэффициенты системы были бы элементами целостного кольца (определитель системы может быть даже делителем нуля в кольце коэффициентов). Можно также считать, что либо наборы
и
, либо набор
состоят не из элементов кольца коэффициентов системы, а какого-нибудь модуля над этим кольцом. В этом виде формула Крамера используется, например, при доказательстве формулы для определителя Грама и Леммы Накаямы.
Система линейных уравнений:
![{\displaystyle {\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}=b_{2}\\a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3}=b_{3}\\\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88ef462cf67b30b42345b70cd0f2a15693fc7794)
Определители:
![{\displaystyle \Delta ={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{vmatrix}},\ \ \Delta _{1}={\begin{vmatrix}b_{1}&a_{12}&a_{13}\\b_{2}&a_{22}&a_{23}\\b_{3}&a_{32}&a_{33}\\\end{vmatrix}},\ \ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62843fe18a34da98d9055ed5deb5db0371d6d8f9)
![{\displaystyle \Delta _{2}={\begin{vmatrix}a_{11}&b_{1}&a_{13}\\a_{21}&b_{2}&a_{23}\\a_{31}&b_{3}&a_{33}\\\end{vmatrix}},\ \ \Delta _{3}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&b_{2}\\a_{31}&a_{32}&b_{3}\\\end{vmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49dee024651f85691084fe18126b215b3b8f5c8d)
Решение:
![{\displaystyle x_{1}={\frac {\Delta _{1}}{\Delta }},\ \ x_{2}={\frac {\Delta _{2}}{\Delta }},\ \ x_{3}={\frac {\Delta _{3}}{\Delta }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/761478017f9c426f2861665385f69d3bb647d093)
Пример:
![{\displaystyle {\begin{cases}2x_{1}+5x_{2}+4x_{3}=30\\x_{1}+3x_{2}+2x_{3}=150\\2x_{1}+10x_{2}+9x_{3}=110\\\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d494035f9323a5e942d5576335254ae3377c4d1)
Определители:
![{\displaystyle \Delta ={\begin{vmatrix}2&5&4\\1&3&2\\2&10&9\\\end{vmatrix}}=5,\ \ \Delta _{1}={\begin{vmatrix}30&5&4\\150&3&2\\110&10&9\\\end{vmatrix}}=-760,\ \ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/271e5d215cf0834155924f7874039028bdf53f6a)
![{\displaystyle \Delta _{2}={\begin{vmatrix}2&30&4\\1&150&2\\2&110&9\\\end{vmatrix}}=1350,\ \ \Delta _{3}={\begin{vmatrix}2&5&30\\1&3&150\\2&10&110\\\end{vmatrix}}=-1270.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c78caaae3580d3ba59e6da8ef18c322db97a880)
Метод Крамера требует вычисления
определителей размерности
. При использовании метода Гаусса для вычисления определителей, метод имеет временную сложность порядка
, что хуже, чем если бы метод Гаусса напрямую использовался для решения системы уравнений. Поэтому метод считался непрактичным. Однако, в 2010 году было показано, что метод Крамера может быть реализован со сложностью
, сравнимой со сложностью метода Гаусса[2].
- Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. — Изд. 3-е, перераб., М.: «Наука», 1970. — 400 c.
- ↑ Cramer, Gabriel (1750). «Introduction à l'Analyse des lignes Courbes algébriques» (French). Geneva: Europeana. էջեր 656–659. Վերցված է 2012-05-18-ին.
{{cite web}}
: CS1 սպաս․ չճանաչված լեզու (link)
- ↑ Ken Habgood and Itamar Arel. 2010. Revisiting Cramer's rule for solving dense linear systems. In Proceedings of the 2010 Spring Simulation Multiconference (SpringSim '10)
Կաղապար:Методы решения СЛАУ
Категория:Методы решения СЛАУ
Категория:Определители