Մասնակից:Զաբելա Աբելյան/ավազարկղ 20

Այս հոդվածը ստեղծվել է Վիքին սիրում է Գիտություն նախագծի ընթացքում։

Անվերջ փոքր, թվային ֆունկցիա կամ հաջորդականություն, որը ձգտում է զրոյի։

Անվերջ մեծ, թվային ֆունկցիա կամ հաջորդականություն,որը ձգտում է անվերջության որոշված նշանով։

Անվերջ փոքրերի և մեծերի հաշվում

Հաշվում, ածանցյալ անվերջ փոքր մեծություններով,որի դեպքում ածանցյալի արժեքը դիտարկվում է ինչպես անվերջ փոքրերի անվերջ գումար։ Անվերջ փոքր մեծությունների հաշվումը հանդիսանում է ընդհանուր հասկացություն դիֆֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշվումների համար, կազմված ժամանակակակից բարձրագույն մաթեմատիկայի հիմք։ Անվերջ փոքրի մեծությունը սերտ կապված է սահման հասկացության հետ։

Անվերջ փոքր

$a_{n}$ հաջորդականությունը կոչվում է անվերջ փոքր, եթե $\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}=0$։Օրինակ, թվային հաջորդականություն $a_{n}={\dfrac {1}{n}}$–ն անվերջ փոքր է։

Ֆունկցիան կոչվում է անվերջ փոքր շրջակայքի կետում $x_{0}$, եթե $\lim \limits _{x\to x_{0}}f(x)=0$.։

Ֆունկցիան կոչվում է անվերջ փոքր անվերջությունում, եթե $\lim \limits _{x\to +\infty }f(x)=0$ կամ $\lim \limits _{x\to -\infty }f(x)=0$.

Անվերջ փոքրը նույնպես հանդիսանում է ֆունկցիա, ներկայացնելով իր ֆունկցիայի և նրա սահմանի տարբերություն․այսինքն, եթե $\lim \limits _{x\to +\infty }f(x)=a$, ապա $f(x)-a=\alpha (x)$, $\lim \limits _{x\to +\infty }(f(x)-a)=0$։

Ընդգծեք, որ անվերջ փոքր մեծությունը կարելի է հասկանալ, ինչպես փոփոխական մեծության (ֆունկցիա),որը միայն իր փոփոխության պրոցեսում [ $x$–ը $a$–ի ձգտելիս ( $\lim \limits _{x\to a}f(x)=0$)]–ից ստացվում է ցանկացած փոքր թիվ ($\varepsilon$)։ Այսպիսով, օրինակ, «մեկ միլիոներորդդը անվերջ փոքր մեծություն է» ճշմարիտ չէ։ Թվի [բացարձակ արժեք]ի մասին իմաստ չունի ասել, որ այն բացարձակ փոքր է

Անվերջ մեծ

Ստորև բերված բոլոր բանաձևերում հավասարության աջից անվերջությունը ենթադրվում է որոշակի նշան (կամ «պլուս», կամ «մինուս»)։Այսինքն, օրինակ, $x\sin x$ ֆունկցիան, անսահմանափակ է երկու կողմից, չի հանդիսանում անվերջ մեծ $x\to +\infty$ դեպքում։.

Հետևաբար $a_{n}$ անվանում են անվերջ մեծ, եթե $\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}=\infty$.

Ֆունկցիան անվանում են անվերջ մեծ միջակայքի կետում $x_{0}$, եթե $\lim \limits _{x\to x_{0}}f(x)=\infty$.

Ֆունկցիան անվանում են անվերջությունում անվերջ մեծ, եթե $\lim \limits _{x\to +\infty }f(x)=\infty$ կամ $\lim \limits _{x\to -\infty }f(x)=\infty$.

Ինչպես և անվերջ փոքրի դեպքում, անհրաժեշտ է նշել, որ ոչ մի առանձին վերցրած անվերջ մեծ մեծության արժեք չի կարող կոչվել ինչպես «անվերջ մեծ», այդ ֆունկցիայի անվերջ մեծ մեծություն, որը միայն իր փոփոխման պրոցեսում կարող է մեծ լինել ցանկացած վերցրած թվից։

Անվերջ փոքրերի հատկություններ

• Անվերջ փոքր ֆունկցիաների վերջավոր թվերի հանրահաշվական գումարը անվերջ փոքր ֆունկցիա է։
• Անվերջ փոքրերի արտադրյալը անվերջ փոքր է։
• Սահմանափակ անվերջ փոքր հաջորդականությունների արտադրյալը անվերջ փոքր է։Ինչպես հետևանք հաստատուն անվերջ փոքրերի արտադրյալը անվերջ փոքր է։
• Եթե $a_{n}$, անվերջ փոքր հաջորդականությունը է, պահպանելով նշանը, ապա $b_{n}={\dfrac {1}{a_{n}}}$–ն՝ անվերջ մեծ հաջորդականություն է։

Անվերջ փոքրերի համեմատում

Սահմանում

Ենթադրենք, մենք ունենք, $x\to a$–ի միևնույն արժեքներ $\alpha (x)$ и $\beta (x)$ (կամ, որ կարևոր չէ սահմանման համար,անվերջ փոքր հաջորդականություն։

• Եթե $\lim \limits _{x\to a}{\dfrac {\beta }{\alpha }}=0$, ապա $\beta$–ն Բարձր կարգի փոքրության անվերջ փոքր է, քան $\alpha$։ Ցույց է տալիս $\beta =o(\alpha )$ կամ $\beta \prec \alpha$։
• Եթե $\lim \limits _{x\to a}{\dfrac {\beta }{\alpha }}=\infty$, ապա $\beta$–ն — бесконечно малая ցածր կարգի փոքրության անվերջ փոքր է, քան $\alpha$. Համապատասխանաբար $\alpha =o(\beta )$ или $\alpha \prec \beta$.
• Եթե $\lim \limits _{x\to a}{\dfrac {\beta }{\alpha }}=c$ (սահմանը վերջավոր է և հավասար չէ 0–ի), ապա $\alpha$ և $\beta$ հանդիսանում են միևնույն կարգի փոքրությանանվերջ փոքր մեծություններ։Դա ցույց է տալիս

$\alpha \asymp \beta$ կամ ինչպես միաժամանակ կապերի կատարում $\beta =O(\alpha )$ и $\alpha =O(\beta )$։ Հետևում է նկատել, որ մի քանի աղբյուրներում կարելի է հանդիպել նշանակում, որտեղ միանման կարգերը գրառվում է միայն մեկ՝ «մեծի» կապով,որը հանդիսանում է տրված սիմվոլի ազատ օգտագործում։

• Եթե $\lim \limits _{x\to a}{\dfrac {\beta }{\alpha ^{m}}}=c$ (սահմանը վերջավոր է և հավասար է 0–ի), ապա $\beta$ ապա անվերջ փոքր մեծությունը ունի $m$-ի փոքրության կարգ $\alpha$ անվերջ փոքրի նկատմամբ։

Նման սահմանների հաշվման համար հարմար օգտվել Լոպիտալի կանոնից.

Համեմատության օրինակներ

• ${x\to 0}$ դեպքում $x^{5}$ մեծությունը ունի բարձր կարգի փոքրություն $x^{3}$–ի համեմատ, այնպես որ $\lim \limits _{x\to 0}{\dfrac {x^{5}}{x^{3}}}=0$։ Մյուս կողմից, $x^{3}$ ունի ցածր կարգի փոքրություն $x^{5}$–ի համեմատ, այնպես որ $\lim \limits _{x\to 0}{\dfrac {x^{3}}{x^{5}}}=\infty$։

Օգտվելով О-սիմվոլներից ստացած արդյունքները կարող է գրառված լինի հետևյալ տեսքով $x^{5}=o(x^{3})$.

• $\lim \limits _{x\to 0}{\dfrac {2x^{2}+6x}{x}}=\lim \limits _{x\to 0}{\dfrac {2x+6}{1}}=\lim \limits _{x\to 0}(2x+6)=6,$ այսինքն $x\to 0$ դեպքում $f(x)=2x^{2}+6x$ ֆունկցիան և $g(x)=x$ հանդիսանում են նոււյն կարգի անվերջ փոքր մեծություններ։

Տվյալ դեպքում ճշմարիտ է գրառել $2x^{2}+6x=O(x)$ և $x=O(2x^{2}+6x).$

• ${x\to 0}$–ի դեպքում $2x^{3}$ անվերջ փոքր մեծությունը ունի երրորդ կարգի փոքրություն $x$–ի նկատմամբ, քանի որ $\lim \limits _{x\to 0}{\dfrac {2x^{3}}{x^{3}}}=2$, $0{,}7x^{2}$ անվերջ փոքրը երկրորդ կարգի է,${\sqrt {x}}$ անվերջ փոքրը  0,5 կարգի է։

Նման սահմաններ հաշվելու համար հարմար է օգտվել Լոպիտալի կանոնից։

Համարժեք մեծություններ

Սահմանում

Եթե $\lim \limits _{x\to a}{\dfrac {\beta }{\alpha }}=1$, ապա $\alpha$ և $\beta$ անվերջ փոքր կամ անվերջ մեծ մեծությունները կաչվում են համարժեք (նշանակվում է ինչպես $\alpha \thicksim \beta$).

Ակնհայտ է, որ համարժեք մեծությունները հանդիսանում են միևնույն կարգի փոքրության անվերջ փոքր,(անվերջ մեծ) մեծության մասնավոր դեպք։

$\alpha (x){\xrightarrow[{x\to x_{0}}]{}}0$–ի դեպքում ճմարիտ են հետևյալ համարժեքությունը (Այսպես կոչված, ինչպես հետաքրքիր սահմանների հետևանքներ):

• $\sin \alpha (x)\thicksim \alpha (x);$
• $\mathrm {tg} \,\alpha (x)\thicksim \alpha (x);$
• $\arcsin {\alpha (x)}\thicksim \alpha (x);$
• $\mathrm {arctg} \,\alpha (x)\thicksim \alpha (x);$
• $\log _{a}(1+\alpha (x))\thicksim \alpha (x)\cdot {\frac {1}{\ln {a}}}$, որտեղ $a>0$;
• $\ln(1+\alpha (x))\thicksim \alpha (x);$
• $a^{\alpha (x)}-1\thicksim \alpha (x)\cdot \ln {a}$, որտեղ $a>0$;
• $e^{\alpha (x)}-1\thicksim \alpha (x);$
• $1-\cos {\alpha (x)}\thicksim {\frac {\alpha ^{2}(x)}{2}};$
• $(1+\alpha (x))^{\mu }-1\thicksim \mu \cdot \alpha (x),\quad \mu \in \mathbb {R}$, դրա համար օգտագործում են արտահայտություն։

${\sqrt[{n}]{1+\alpha (x)}}\approx {\frac {\alpha (x)}{n}}+1$, որտեղ $\alpha (x){\xrightarrow[{x\to x_{0}}]{}}0$.

Թեորեմա

Մասնակի (հարաբերակցությամբ) երկու անվերջ փոքրերի կամ անվերջ մեծերի մեծությունները չեն փոփոխվի, եթե նրանցից մեկը (կամ երկուսը) փոխարինեն համարժեք մեծություններով։

Տրված թեորեման ունի կիրառական նշանակություն սահմանները գտնելու դեպքում (տես օրինակ)։

Օրինակների կիրառություն

• Գտնել $\lim \limits _{x\to 0}{\dfrac {\sin 2x}{x}}.$

Փոխարինելով $\sin 2x$ $2x$ համարժեք մեծությամբ, ստանում ենք

$\lim \limits _{x\to 0}{\dfrac {\sin 2x}{x}}=\lim \limits _{x\to 0}{\dfrac {2x}{x}}=2.$

• Գտնել $\lim \limits _{x\to {\frac {\pi }{2}}}{\dfrac {\sin(4\cos x)}{\cos x}}.$

Այնպես ինչպես $\sin(4\cos x)\thicksim {4\cos x}$ $x\to {\dfrac {\pi }{2}}$ դեպքում ստանում ենք

$\lim \limits _{x\to {\frac {\pi }{2}}}{\dfrac {\sin(4\cos x)}{\cos x}}=\lim \limits _{x\to {\frac {\pi }{2}}}{\dfrac {4\cos x}{\cos x}}=4.$

• Հաշվել ${\sqrt {1{,}2}}$.

Օգտվելով բանաձևից: ${\sqrt {1{,}2}}\approx 1+{\frac {0{,}2}{2}}=1{,}1$, այդ ժամանակ,օգտվելով հաշվարկիչից (առավել ճիշտ հաշվում), ստացանք ${\sqrt {1{,}2}}\approx 1{,}095$, այսպիսով սխալը կազմվեց 0,005 ( 1 %–ից պակաս), այսինքն, մեթոդը օգտակար է, շնորհիվ իր պարզությամբ,թվաբանական արմատի միավորին մոտ կոշտ գնահատման դեպքում։

Պատմություն

«Անվերջ փոքրի» հասկացությունը քննարկել են դեռ անտիկ ժամանակներում ատոմի անբաժանելիության կոնցեպցիայի հետ կապված, սակայն չմտավ դասական մաթեմատիկայի մեջ։ Նորից այն վերածնվեց XVI դարում «անբաժանելիության մեթոդ»ի հայտնվելու հետ, ուսումնասիրվող պատկերի տրոհումը անվերջ փոքր հատույթների։

XVII դարում տեղի ունեցավ անվերջ փոքրերի հաշվման հանրահաշվացումը։ Այն սկսվեց սահմանվել որպես թվային մեծություններ, որը փոքր է վերջավոր (դրական) մեծություններից և հավասար չէ զրոյի։Վերլուծության արվեստը կայանում է հարաբերակցությունների կազմը, պարունակելով (դիֆֆերենցիալ) անվերջ փոքր և հետո նրա ինտեգրում։

Հին դպրոցի մաթեմատիկոսները ենթարկեցին անվերջ փոքրերի կոնցեպցիան սուր քննադատության։ Միշել Ռոլլը գրեց,որ նոր հաշվարկումը «հանճարեղ սխալների հավաքածու» է, Վոլտերը թունոտությամբ նկատեց, որ այդ հաշվումը իրենից ներկայացնում է առարկաների հաշվարկելու արվեստ և ճիշտ չափել, որի գոյությունը հնարավոր չէ ապացուցել։ Նույնիսկ Հյուգենսը խոստովանեց, որ չի հասկանում բարձր կարգի դիֆֆերենցիալ միտքը։

Փարիզի Գիտությունների Ակադեմիայի վիճաբանությունը անալիզի հարցերի հիմնավորման վերաբերյալ ձեռք բերեց այնպիսի խայտառակ բնույթ, որ Ակադեմիան մի օր արգելեց իր անդամներին արտահայտվել այդ թեմայով (հիմնականում դա վերաբերվում էր Ռոլլին և Վարինյոնին)։1706 թվականին Ռոլլը հրապարակորեն հանեց իր առարկությունը , սակայն դիսկուսիան շարունակվեց։

1734 թվականին հայտնի անգլիական փիլիսոփա, եպիսկոպոս Ջորջ Բերկլին լույս ընծայեց աղմկոտ պարսավագիր, կրճատ անունով հայտնի «Անալիտիկ»։ Նրա լրիվ անվանումը։ «Անալիտիկ կամ դատողութուն,ուղղված մաթեմատիկային չհավատացողներին, որտեղ հետազոտվում է, ավելին պարզ ընկալվում կամ ավելին ակնհայտ արտածվում է առարկա, ժամանակակից անալիզի սկզբունքները և հետևաբանությունները, քան կրոնական հավատի խորհուրդները և դավանությությունը»։ «Անալիտիկ»ը բովանդակում է անվերջ փոքրերի հաշվման սուր և շատ արդարացի քննադատություն։ Բերկլիի անալիզի մեթոդը համարվեց տրամաբանությանը չհամաձայնեցված և գրեց, որ «որքան էլ նա օգտակար լինի, կարելի է դիտել միայն ինչպես մի քանի ենթադրություն, ճարպիկ ճարտարարությունը,արվեստ կամ արագ խորամանկություն, բայց ոչ գիտական ապացուց »։ Մեջ բերելով Նյուտոնի նախադասությունը ընթացիկ մեծությունների աճման մասին «ամենասկզբում նրանց ծագումը կամ անհետացումը», Բերկլին հեգնում է «դա ոչ վերջավոր մեծությու՞ն է , ոչ՝ անվերջ փոքր, ,ոչ՝ արդեն ոչինչ։ Չե՞նք կարող մենք նրանց անվանել հանգուցյալ մեծության ուրվական։Եվ ինչպես կարող ենք խոսել առարկաների միջև հարաբերակցության մասին, չունենալով մեծությունները։Նա, ով կարող է մարսել երկրորդ կամ երրորդ [ածանցյալ]ի ֆլուկտուացիան, երկրորդ կամ երրորդ տարբերությունը, պետք չէ, ինչպես ինձ թվում է բծախնդրություն ցուցաբերել աստվածաբանությանը։».

Անհնարին է, գրում է Բերկլին, ներկայացնել ակնթարթային արագություն, այսինքն՝ արագություն նույն պահին և նույն կետում,շարժման երկու հասկացությունները ներառվում է (ոչ զրոյական վերջավոր) տարածության և ժամանակի հասկացությունների մեջ։

Ինչպե՞ս է անալիզի օգնությամբ ստացվում ճիշտ արդյունքներ։ Բերկլին եկավ այն մտքին, որ դա բացատրվում է մի քանի սխալների փոխադարձ փոխհատուցման անալիտիկ արտածումների առկայությամբ և դա ցուցադրվել է պարաբոլի օրինակով։ Տարօրինակ է, մի քանի նշանավոր մաթեմատիկոսներ (օրինակ Լագրանժ) համաձայնվեցին դրա հետ։

Ստացվեց տարօրինակ իրադրություն, երբ մաթեմատիկայում խստությունը և արդյունավետությունը խանգարում էին մեկը մյուսին։Չնայած սխալ սահմանված հասկացությունների հետ անօրինական գործողությունների օգտագործումը,ուղղակի սխալների թիվը զարմանալի քիչ էր,փրկեց ինտուիցիան։ Բայց և ամբողջ XVIII դարում մաթեմատիկական անալիզը բուռն զարգացավ, չունենալով էական ոչ մի հիմնավորում։ Արդյունավետությունը զարմանալի էր և խոսում էր իր մասին, սակայն նախկինի պես դիֆֆերենցիալի միտքը պարզ չէր։ Հաճախ հատկապես շփոթում էին աճող ֆունկցիայի անվերջ փոքրը և նրա գծային մասը։

Ամբողջ XVIII դարի ընթացքում դրությունը շտկելու համար ձեռնարկվեցին վիթխարի ուժեր, ընդ որում մասնակցեցին հարյուրամյակի լավագույն մաթեմատիկոսները, սակայն XIX դարի սկզբին անալիզի հիմքը համոզիչ միայն հաջողվեց կառուցել Կոշիին։ Նա խիստ որոշեց հիմքային հասկացությունները՝ սահմնան, զուգամիտություն,անընդհատություն, դիֆֆերենցիալ և ուրիշներ, որից հետո գիտությունից անհետացան ակտուալ անվերջ փոքրը։ Վայերշտրասը ավեի ուշ նրբությամբ պարզաբանեց մնացած մի քանիսը։ Ներկա ժամանակում «անվերջ փոքր» տերմինը մաթեմատիկներից ճնշող մեծամասնությունը պատահաբար կապում է ոչ թե թվի, այլ ֆունկցիայի կամ հաջորդականության հետ։

Ինչպես ճակատագրի հեգնանք, կարելի է դիտել XX դարի կեսին հայտնված ոչ ստանդարտային անալիզ, որը ապացուցեց, որ տեսողական սկզբնական կետը ակտուալ անվերջ փոքր է, նույնպես ոչ հակադարձելի և կարող է դրված լինել անալիզի հիմքում։ Ոչ ստանդարտային անալիզի հայտնվելուց պարզ դարձավ, թե ինչու XVIII դարի մաթեմատիկոսները կատարելով անօրինական տեսակետից դասական տեսության գործողություններ, ոչ պակաս ստացան ճիշտ արդյունքներ։

Տես նաև

• «O» большое и «o» малое
• Дифференциал (математика)
• Метод неделимых
• Предел последовательности
• Предел функции
• Бесконечно малое

Գրականություն

• «Бесконечно малые и бесконечно большие величины». Բրոքհաուզի և Եֆրոնի հանրագիտական բառարան: 86 հատոր (82 հատոր և 4 լրացուցիչ հատորներ). Սանկտ Պետերբուրգ. 1890–1907.{{cite book}}: CS1 սպաս․ location missing publisher (link)