Մասնակից:Զաբելա Աբելյան/Ավազարկղ 5

Այս մասնակիցը «Վիքին սիրում է Գիտություն» նախագծի մասնակից է։

Քառակուսային հավասարում,

$ax^{2}+bx+c=0,$ ընդհանուր տեսքի հանրահաշվական հավասարում

որտեղ $x$-ը, անկախ փոփոխական, $a$, $b$, $c$-ն, գործակիցներ, ընդ որում $\quad a\neq 0.$

$ax^{2}+bx+c$ արտահայտությունը անվանում են քառակուսային եռանդամ.

Արմատը, դա $x$ փոփոխականի արժեքն է, վերածելով քառակուսային եռանդամը զրոյի, իսկ քառակուսային հավասարումը` ճշմարիտ հավասարության: Քառակուսային հավասարման տարրերն ունեն հատուկ անվանումներ::

• $a$-ն կոչվում է առաջին կամ ավագ գործակից,
• $b$-ն կոչվում է երկրորդ, միջին կամ $x$-ի գործակից,
• $c$-ն կոչվում է ազատ անդամ.

Քառակուսային հավասարումը կոչվում է բերված, որում ավագ գործակիցը հավասար է մեկի . Այդպիսի հավասարում կարող ենք ստանալ ամբողջ հավասարումը բաժանելով $a$ ավագ գործակցի:

$x^{2}+px+q=0,\quad p={\frac {b}{a}},\quad q={\frac {c}{a}}.$

Լրիվ կոչվում է այնպիսի քառակուսային հավասարումը, որի բոլոր գործակիցները տարբեր են 0-ից:

Թերի կոչվում է այնպիսի քառակուսային հավասարումը, որում, բացի ավագ անդամից, գործակիցներից մեկը (կամ երկրորդ գործակիցը, կամ ազատ անդամը), հավասար է 0-ի:

Պատմական տեղեկություններ քառակուսային հավասարման մասին

Հին Բաբելաոն

Մեր թվարկությունից առաջ երկրորդ հազարամյակին բաբելոնցիները գիտեին ինչպես լուծել քառակուսային հավասարումը : Հին Բաբելոնում նրանց լուծումը խիստ կապված էր գործնական խնդիրների հետ, հիմնականում այնպիսին, ինչպես հողատարածքների մակերեսների չափումը, հողային աշխատանքները,ռազմական կարիքների հետ կապված,ընդհանրապես մաթեմատիկայի և աստղագիտության զարգացումով պայմանավորված է այդպիսի գիտելիքների առկայությունը: Հայտնի է եղել ինչպես լրիվ, այնպես էլ թերի քառակուսային հավասարման լուծման եղանակներ:Բերենք, Հին Բաբելոնում լուծվող քառակուսային հավասարման լուծումների օրինակներ, օգտագործելով ժամանակակից հանրահաշվական գրառումներ:

$x^{2}+x={\frac {3}{4}};\ x^{2}-x=14{\frac {1}{2}}.$

Քառակուսային հավասարման լուծման կանոնների ժամանակակից շատ անալոգիաներ,բայց բաբելոնյան տեքստերում դատողությունները ֆիքսված չէին,ըստ որի ստացել էին այդ կանոնները:

Հնդկաստան

Քառակուսային հավասարման օգնությամբ լուծվող խնդիրներ, հանդիպում ենք «Ариабхаттиам» աստղագիտության տրակտում, գրված հնդիկ աստղագետ և մաթեմատիկոս Արիաբխատաի կողմից մեր թվարկության 499 թվականին: Քառակուսային հավասարման արմատների առաջին հայտնի բանաձևի ընդհանրացումը պատկանում է հնդիկ գիտնական Բրահմագուպտա (մոտо 598 թ.); Բրահմագուպտան շարադրեց քառակուսային հավասարման լուծման ունիվերսալ կանոնը , բերված կանոնական տեսքի : $ax^{2}+bx=c$; բացի այս ենթադրվեց, որ գործակիցները, բացի $a,$-ից կարող են բացասական լինել: Գիտնականի ձևակերպված կանոնը իր գոյությամբ համընկնում է այժմյանի հետ:

Քառակուսային հավասարման արմատները իրական թվերի բազմությունում

I եղանակ Արմատների հաշվման ընդհանուր բանաձևը

$ax^{2}+bx+c=0$ քառակուսային հավասարման արմատները ընդհանուր դեպքում գտնելու համար պետք է օգտվել ներքևում բերված ալգորիթմից:

Հաշվել քառակուսային հավասարման տարբերիչը: $D=b^{2}-4ac$ արտահայտությունն են նրա համար անվանում տարբերիչ:

Պայման	$D>0$	$D=0$	$D<0$
Իրական արմատների թիվը	Երկու արմատ	Մեկ արմատ (ինչ որ կոնտեքստում ասում են երկու հավասար արմատների մասին կամ նրա համընկնող արմատների, նաև անվանում են 2-ի բազմապատիկ արմատ)	եզրակացնում են այն մասին, որ իրական թվերի բազմությունում արմատ չկա
Բանաձև	$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}(1)$	$x_{1}=x_{2}=-{\frac {b}{2a}}$	Կոմպլեքս արմատների բանաձևը տես ներքևում համապատասխան բաժնում

Բանաձևը կարելի է ստանալ հետևյալ կերպ

$ax^{2}+bx+c=0,$

$ax^{2}+bx=-c$

Բազմապատկենք յուրաքանչյուր մասը $4a$-ով և ավելացնենք $b^{2}$:

$4a^{2}x^{2}+4abx+b^{2}=-4ac+b^{2}$

$(2ax+b)^{2}=-4ac+b^{2}$

$2ax+b=\pm {\sqrt {-4ac+b^{2}}}$

$2ax=-b\pm {\sqrt {-4ac+b^{2}}}$

$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.$

Ծանոթություն: ակնհայտ է, 2-ի բազմապատիկ արմատների համար բանաձևը հանդիսանում է ընդհանուր բանաձևի մասնավոր դեպք, ստացվում է տեղադրելով նրա մեջ D=0 հավասարությունը, իսկ եզրակացությունը իրական արմատների բացակայության մասին, երբ D<0 հետևում է նույնը կատարել, հաշվի առնելով, որ այդ դեպքում -D>0, իսկ ${\sqrt {-1}}=i$.}}

Շարադրված մեթոդը ունիվերսալ է, սակայն ոչ միակը: Մի հավասարման լուծմանը կարելի է մոտենալ տարբեր եղանակներով, նախապատվությունը ընդհանրապես կախված է հենց լուծվողից: Բացի դրանից, հաճախ այդ եղանակներից մի քանիսը թվում է բավականաչափ նրբագեղ, պարզ, պակաս աշխատատար, քան ստանդարտը:

II եղանակ. Քառակուսային հավասարման արմատները b զույգ գործակցի դեպքում

$ax^{2}+2kx+c=0$ տեսքի հավասարման համար, այսինքն, զույգ $b$-ի դեպքում, որտեղ

$k={\frac {1}{2}}b,$

(1) բանաձևի փոխարեն, գտնված արմատների համար կարելի է օգտագործել ավելի պարզ արտահայտություն.

Ծանոթություն: վարը տրված բանաձևը կարելի է ստանալ ստանդարտ բանաձևի մեջ տեղադրելով b=2k արտահայտությունը և կատարել այդ դեպքում ոչ բարդ ձևափոխություններ:

Տարբերիչ		Արմատներ
Ոչ բերված	Բերված	D>0	Ոչ բերված	Բերված
հարմար է հաշվել տարբերիչի մեկ չորրոդի արժեքը ${\frac {D}{4}}=k^{2}-ac$ Բոլոր անհրաժեշտ հատկություններն այդ դեպքում պահպանվում է .	${\frac {D}{4}}=k^{2}-c$.		$x_{1,2}={\frac {-k\pm {\sqrt {k^{2}-ac}}}{a}}.$	$x_{1,2}=-k\pm {\sqrt {k^{2}-c}}$
		D=0	$x={\frac {-k}{a}}$	$x=-k$

III եղանակ. Թերի քառակուսային հավասարման լուծում

Թերի քառակուսային հավասարման լուծման համար պետք է մոտենալ առանձնակի: Քննարկենք երեք հնարավոր իրադրություն:

b=0, c=0	b=0; c≠0	b≠0; c=0
$ax^{2}=0;$ $x^{2}=0;$ $x=0.$ (ձևափոխությունների ընթացքը դիտավորյալ ցույց է տրված մանրամասնորեն, գործնականում կարելի է միանգամից անցնել վերջին հավասարությանը)	$ax^{2}+c=0$ $ax^{2}=-c;$ $x^{2}=-{\frac {c}{a}};$ $x_{1,2}=\pm {\sqrt {-{\frac {c}{a}}}}.$ Եթե $-{\frac {c}{a}}>0;$, ապա հավասարումը ունի երկու իրական արմատներ , եթե $-{\frac {c}{a}}=0;$, ապա $x=0.$, իսկ եթե $-{\frac {c}{a}}<0;$, ապա հավասարումը չունի իրական արմատներ.	$ax^{2}+bx=0;$ $x(ax+b)=0;$ $x=0$ կամ $ax+b=0;$ $x=-{\frac {b}{a}}.$ Այդպիսի հավասարումը անպայման ունի երկու իրական արմատներ

IV եղանակ.Գործակիցների մասնակի հարաբերակցությունների օգտագործում

Գոյություն ունի քառակուսային հավասարման մասնավոր դեպքեր, որում գործակիցները գտնվում են միմյանց միջև հարաբերակցության մեջ, թույլատրվում է լուծել այն անհամեմատ ավելի պարզ:

Քառակուսային հավասարման արմատներ, որի ավագ գործակցի և ազատ անդամի գումարը հավասար է երկրորդ գործակցին

Եթե $ax^{2}+bx+c=0$ քառակուսային հավասարման առաջին գործակցի և ազատ անդամի գումարը հավասար է երկրորդ գործակցին՝ $a+c=b$, ապա նրա արմատ է հանդիսանում $-1$ և ազատ անդամի հարաբերությունը ավագ անդամին՝ հակադիր նշանով թիվը ($-{\frac {c}{a}}$).

Եղանակ 1. Սկզբից պարզենք, իրոք այդպիսի հավասարումը ունի արմատ (այդ թվում ,երկու համընկնող)

$D=b^{2}-4ac=(a+c)^{2}-4ac=a^{2}+2ac+c^{2}-4ac=a^{2}-2ac+c^{2}=(a-c)^{2}$.

Այո, դա այդպես է, չէ որ ցանկացած իրական գործակիցների դեպքում $(a-c)^{2}\geqslant 0$, իսկ դա նշանակում է տարբերիչը ոչ բացասական է: Այսպիսով, եթե $a\not =c$, ապա հավասարումը ունի երկու արմատ, իսկ եթե $a=c$, ապա այն ունի միայն մեկ արմատ: Գտնենք այդ արմատները:

$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}={\frac {-(a+c)\pm {\sqrt {(a-c)^{2}}}}{2a}}={\frac {-a-c\pm |a-c|}{2a}}={\frac {-a-c\pm a\mp c}{2a}}$.

$x_{1}={\frac {-a-c-a+c}{2a}}={\frac {-2a}{2a}}=-1;$

$x_{2}={\frac {-a-c+a-c}{2a}}={\frac {-2c}{2a}}=-{\frac {c}{a}}.$

Մասնավորապես, եթե $a=c$, ապա կլինի մեկ արմատը՝ $-1.$

Եղանակ 2.

Օգտվենք քառակուսային հավասարման երկրաչափական մոդելից, մենք այն կդիտենք ինչպես $y=ax^{2}+bx+c$ պարաբոլի աբսցիսների առանցքի հետ հատման կետեր: Յուրաքանչյուր պարաբոլ անկախ նրա տրված արտահայտությունից հանդիսանում է պատկեր, համաչափ $x=-{\frac {b}{2a}}$ ուղղի նկատմամբ:Դա ցույց է տալիս, որ այդ ուղղին ուղղահայաց հուրաքանչյուր հատված , նրան հատվող պարաբոլը բաժանում է առանցքը համաչափ երկու հավասար մասերի: Ասվածը, մասնավորապես ճշմարիտ է և աբսցիսների առանցքի համար: Այսպիսով ցանկացած պարաբոլի համար ճշմարիտ է հետևյալ հավասարություններից մեկը՝ $-{\frac {b}{2a}}+\rho (x_{1};-{\frac {b}{2a}})=x_{2}$ (если $x_{1}<x_{2}$) կամ $-{\frac {b}{2a}}-\rho (-{\frac {b}{2a}};x_{1})=x_{2}$ (եթե ճշմարիտ է հակադիր իմաստով անհավասարությունը:) Օգտագործելով նույնությունը $\rho (a;b)=|a-b|$, արտահայտված մոդուլի երկրաչափական իմաստ, նույնպես ընդունելով, որ $x_{1}=-1$ ( դա կարող ենք ապացուցել, տեղադրելով հավասարությունը քառակուսային եռանդամի մեջ $a\cdot (-1)^{2}+b\cdot (-1)+c=(a+c)-b=0$, դրա համար -1 այդ հավասարման արմատն է), անցնենք հաջորդ հավասարության՝ $-{\frac {b}{2a}}\pm |-{\frac {b}{2a}}-(-1)|=x_{2}.$: Եթե հաշվի առնենք, որ տարբերությունը այդ դեպքում, երբ ավելացնում ենք մոդուլը, միշտ դրական է, այն դեպքում, երբ հանում ենք՝ բացասական, որը ասում է այդ դեպքերում նույնությունների մասին և հիշելովէ հավասարության մասին $b-a=c$, բացենք մոդուլը $x_{2}=-{\frac {b}{2a}}-{\frac {b}{2a}}+1=-{\frac {2b-2a}{2a}}=-{\frac {b-a}{a}}=-{\frac {c}{a}}$: Երկրորդ դեպքում կատարենք անալոգ ձևափոխություններ, հանգում ենք նույն արդյունքի }}

Այստեղից, նախքան ինչ-որ քառակուսային հավասարում լուծել, հետևում է ստուգել նրա նկատմամբ այդ թեորեմայի հնարավորությունը՝ համեմատել ավագ գործակցի և ազատ անդամի գումարը երկրորդ գործակցի հետ:

Քառակուսային հավասարման արմատներ, որի բոլոր գործակիցների գումարը հավասար է զրոյի

Եթե քառակուսային հավասարման բոլոր արմատների գումարը հավասար է 0-ի՝($a+b+c=0$), ապա այդպիսի հավասարման արմատը հանդիսանում է $1$-ը և ազատ անդամի հարաբերությունը ավագ գործակցին՝ (${\frac {c}{a}}$).

Եղանակ 1. Ամենից առաջ նկատենք, որ $a+b+c=0$ հավասարությունից հետևում է, որ $b=-(a+c)$ Որոշենք արմատների թիվը

$D=b^{2}-4ac=(-(a+c))^{2}-4ac=a^{2}+2ac+c^{2}-4ac=a^{2}-2ac+c^{2}=(a-c)^{2}.$

գործակիցների ցանկացած արժեքների դեպքում հավասարումը ունի առնվազը մեկ արմատ, իրոք, ցանկացած գործակիցների դեպքում՝ $(a-c)^{2}\geqslant 0$, իսկ նշանակում է և տարբերիչը ոչ բացասական է: Ուշադրություն դարձրեք, որ եթե $a\not =c$, ապա հավասարումը ունի երկու արմատ, եթե $a=c$, ապա միայն մեկ արմատ: Գտնենք այդ արմատները.

$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}={\frac {a+c\pm {\sqrt {(a-c)^{2}}}}{2a}}={\frac {a+c\pm |a-c|}{2a}}={\frac {a+c\pm a\mp c}{2a}};$

$x_{1}={\frac {a+c+a-c}{2a}}={\frac {2a}{2a}}=1;$

$x_{2}={\frac {a+c-a+c}{2a}}={\frac {2c}{2a}}={\frac {c}{a}},$

ինչը և պահանջվում էր ապացուցել:

մասնավորապես, եթե $a=c$, ապա հավասարումը ունի միայն մեկ արմատ, որը հանդիսանում է $1$-ը:.

Եղանակ 2. Օգտվենք վերը նշված քառակուսային հավասարման որոշումից, հայտնաբերենք տեղադրման եղանակով, որ 1 թիվը ներկայացնում է այնպիսի դեպք՝ ճշմարիտ հավասարության $a\cdot 1^{2}+b\cdot 1+c=0$, հետևաբար միավորը այդպիսի քառակուսային հավասարման արմատն է, Հետո, Վիետի թեորեմի համաձայն գտնենք երկրորդ արմատը, համաձայն այդ թեորեմի հավասարման արմատների արտադրյալը հավասար է թվի՝ հավասար ազատ անդամի առաջին գործակցի հարաբերությանը:- $x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}\Rightarrow x_{2}={\frac {c}{ax_{1}}}={\frac {c}{a\cdot 1}}={\frac {c}{a}}$, ч.т.д. }}

Այսպիսով նախ, ստանդարտ եղանակով հավասարումը լուծելուց առաջ հետևում է ստուգել դրա նկատմամբ այդ թեորեմի կիրառելությունը, գումարել այդ հավասարման բոլոր գործակիցները և տեսնել հավասար է 0-ի այդ գումարը:

V եղանակ. Քառակուսային եռանդամի վերլուծումը գծային արտադրիչների

Եթե $ax^{2}+bx+c(a\not =0)$ տեսքի եռսնդամը հաջողվում է ինչ-որ կերպով ներկայացնել $(kx+m)(lx+n)=0$ գծային բազմապատկիչների արտադրյալի, ապա կարելի է գտնել $ax^{2}+bx+c=0$ հավասարման արմատները, այն կլինեն $-{\frac {m}{k}}$ և $-{\frac {n}{l}}$, իրոք, չէ որ $(kx+m)(lx+n)=0\Longleftrightarrow kx+m=0\cup lx+n=0$, իսկ լուծելով գծային տրված հավասարումները, կստանանք վերը գրվածը:Նշենք, որ քառակուսային եռանդամը միշտ չէ բաշխվում իրական գործակիցներով գծային բազմատկիչների,դա հնարավոր է, եթե նրան համապատասխան հավասարումը ունի իրական արմատներ:

Դիտարկենք մի քանի մասնավոր դեպքեր.

Գումարի (տարբերության) քառակուսու բանաձևի օգտագործումը

Եթե քառակուսային եռանդամը ունի $(ax)^{2}+2abx+b^{2}$ տեսք, ապա կիրառելով տրված բանաձևը, մենք կարող ենք վերլուծել այն գծային բազմապատկիչների և նշանակում է գտնել արմատները:

$(ax)^{2}+2abx+b^{2}=(ax+b)^{2};$

$(ax+b)^{2}=0;$

$x=-{\frac {b}{a}}.$

Գումարի (տարբերության) լրիվ քառակուսու անջատումը

Նմանապես տրված բանաձևը կիրառում են, օգտվելով մեթոդից, ստանալով «գումարի (տարբերության) լրիվ քառակուսու անջատումը» անվանումը: Բերված քառակուսային հավասարման համեմատ ներմուծված նախկին նշանակումներով, դա ցույց է տալիս հետևյալը

1. Գումարում և հանում ենք նույն թիվը
   $x^{2}+px+({\frac {p}{2}})^{2}-({\frac {p}{2}})^{2}+q=0;$.
2. կիրառվում է բանաձևը ստացված արտահայտությունում, հանելին և ազատ անդամը տեղափոխում են աջ մաս
   $(x^{2}+2{\frac {p}{2}}x+({\frac {p}{2}})^{2})+(-({\frac {p}{2}})^{2}+q)=0;$
   $(x+{\frac {p}{2}})^{2}={\frac {p^{2}}{4}}-q;$
3. աջ և ձախ մասերից դուրս են բերում քառակուսային հավասարման արմատը և արտահայտում է փոփոխականով
   $x+{\frac {p}{2}}=\pm {\sqrt {{\frac {p^{2}}{4}}-q}};$
   $x_{1,2}=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {p^{2}}{4}}-q}}.$

Ծանոթություն: եթե նկատել եք, տրված բանաձևը համընկնում է «Բերված քառակուսային հավասարման արմատները» առաջարկված բաժնի հետ, որը իր հերթին, կարելի է ստանալ (1)ընդհանուր բանաձևից, a=1 հավասարության տեղադրման եղանակով:Այդ փաստը պարզապես համընկում չէ, նկարագրված մեթոդով, դուրս բերելով, ճշմարիտ է մի քանի լրացուցիչ դատողություններ կարելի է բերել ընդհանուր բանաձևով, և նույնպես ապացուցել տարբերիչի հատկությունը:

VI եղանակ. Վիետի ուղիղ և հակադարձ թեորեմի օգտագործումը

Վիետի ուղիղ թեորեմը (տես ստորև համանուն բաժնում) և նրա հակադարձ թեորեմը թույլ են տալիս բանավոր լուծել բերված քառակուսային հավասարումները, չդիմելով բավարար մեծածավալ բանաձևային հաշվարկումներին (1):

Համաձայն հակադարձ թեորեմայի, ցանկացած թվերի զույգ (թիվ) $x_{1},x_{2}$,լինելով ստորև բերված հավասարումների համակարգի լուծումներ, հանդիսանում են $x^{2}+px+q=0$ հավասարման արմատներ:

${\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-p;\\x_{1}x_{2}=q;\end{cases}}$

Ընտրել բանավոր թվեր, այդ հավասարումներին բավարարելով, կօգնի ուղիղ թեորեմը:Նրա օգնությամբ կարելի է որոշել արմատների նշանները, չիմանալով հենց արմատները: Դրա համար հետևում է ղեկավարվել կանոններով.

1) Եթե ազատ անդամը բացասական է, ապա արմատները ունեն տարբեր նշաններ և մոդուլով ամենամեծ արմատի նշանը՝հ ավասարման երկրորդ գործակցի հակադիր նշանը:

2) Եթե ազատ անդամը դրական է, ապա երկու արմատները ունեն միանման նշաններ և այդ նշանը՝ հակադիր է երկրորդ գործակցի նշանին:

VII եղանակ. «Տեղափոխումների» մեթոդ

Այսպես կոչված «տեղափոխումների» մեթոդը թույլ է տալիս հանգեցել չբերված և չձևափոխված լուծումը ամբողջ գործակիցներով բերված տեսքի այն հավասարման ավագ գործակցին բաժանելու եղանակով՝ ամբողջ գործակիցներով բերվածի լուծման: Այն եզրափակվում է հետևյալում.

1)բազմապատկում ենք երկու մասը արտահայտությամբ

$ax^{2}+bx+c=0|\cdot a$

$(ax)^{2}+b(ax)+ac=0$

2) ներմուծենք նոր փոփոխական y=ax:

$y^{2}+by+ac$.

Հետո հավասարումը լուծվում է բանավոր վերը նշված եղանակով, հետո վերադառնում ենք տրված ներմուծմանը և գտնում հավասարման արմատները $y_{1}=ax_{1}$ и $y_{2}=ax_{2}$.

Ենթադրենք, մենք ցանկանում ենք լուծել $8x^{2}+2x-1=0$ հավասարումը օգտագործելով Վիետի հակադարձ թեորեմը:Եթե մենք փորձենք նրա երկու մասը 8-ի բաժանենք, ապա կստանանք կոտորակային գործակիցներով բերված տեսքի հավասարում, դրա համար կիրառել թեորեմը, կլինի շատ դժվար:Սակայն օգտվելով տեղափոխումների մեթոդից, մենք կարող ենք ստանալ բերված ամբողջ գործակիցներով:

$8x^{2}+2x-1=0|\cdot 8;$

$(8x)^{2}+2(8x)-8=0;$.

y=8x բանաձևով կատարենք փոփոխականի փոխարինում, կհանգենք հավասարման.

$y^{2}+2y-8=0$.

Ակնհայտ է,որ նրա արմատները կլինեն -4 и 2 թվերը:. Անենք հակադարձ փոխարինումը.

$8x_{1}=-4;\ 8x_{2}=2;$

$x_{1}=-0,5;\ x_{2}=0,25.$

Երկրաչափական իմաստ

Քառակուսային ֆունկցիայի գրաֆիկը հանդիսանում է պարաբոլ. Քառակուսային հավասարման լուծումներ «արմատներ» անվանում են պարաբոլի աբսցիսների առանցքի հատման կետի աբսցիսը:Եթե քառակուսային ֆունկցիան նկարագրող պարաբոլը, չի հատվում աբսցիսների առանցքի հետ, հավասարումը իրական արմատներ չունի: Եթե պարաբոլը հատվում է աբսցիսների առանցքի հետ մի կետում (պարաբոլի գագաթում), հավասարումը ունի մեկ իրական արմատ (նույնպես ասում են հավասարումը ունի երկու համընկած արմատներ):Եթե պարաբոլը հատվում է աբսցիսների առանցքի հետ երկու կետերում, հավասարումը ունի երկու իրական արմատ (տես. պատկերը աջից):

Եթե $a$ գործակիցը դրական է, պարաբոլի ճյուղերը ուղղված են վերև և ընդհակառակը:Եթե $b$ գործակիցը դրական է (դրական $a$-ի դեպքում, ընդհակառակը բացասականի դեպքում), ապա պարաբոլի գագաթը գտնվում է ձախ կիսահարթությունում և ընդահակառակը:

Քառակուսային հավասարման լուծման գրաֆիկական եղանակ

Բացի վերը նկարագրված ունիվերսալ եղանակից, գոյություն ունի այսպես կոչված գրաֆիկական եղանակ: Ընդհանուր առմամբ այս եղանակը $f(x)=g(x)$ ռացիոնալ տեսքի հավասարման լուծումը կայանում է հետևյալում, միևնույն կոորդինատային հարթությունում կառուցվում է $y=f(x)$ и $y=g(x)$ ֆունկցիաները և գտնում են գրաֆիկների ընդհանուր կետի աբսցիսը, գտնված թիվը և կլինի հավասարման արմատը:

Կան քառակուսային հավասարման գրաֆիկական լուծման հինգ եղանակներ:

Եղանակ I

Այդ եղանակով $ax^{2}+bx+c=0$ քառակուսային հավասարման լուծման համար կառուցում են $y=ax^{2}+bx+c$ ֆունկցիայի գրաֆիկը և գտնում $x$ առանցքի հետ հատման կետերի աբսցիսները:

Եղաննակ II

Այդ եղանակով նույն հավասարման լուծման համար այն ձևափոխում են $ax^{2}=-bx-c$ տեսքի և կառուցում են միևնույն կոորդինատային համակարգում $y=ax^{2}$ քառակուսային ֆունկցիայի և $y=-bx-c$ գծային ֆունկցիայի գրաֆիկները, հետո գտնում են նրանց հատման կետի աբսցիսը:

Եղանակ III

Այդ եղանակով լուծելու համար տրված հավասարումը նախապես ձևափոխում են $a(x+l)^{2}+m=0$ տեսքի, օգտվելով գումարի (տարբերության) լրիվ քառակուսու առանձնացման մեթոդից և հետո $a(x+l)^{2}=-m$:Դրանից հետո կառուցվում $y=a(x+l)^{2}$ ֆունկցիայի գրաֆիկը (այն հանդիսանում է $y=ax^{2}$ ֆունկցիայի գրաֆիկը, տեղաշարժելով $|l|$ միավոր մասշտաբով աջ կամ ձախ կախված նշանից) և $y=-m$ ուղղից, զուգահեռ աբսցիսների առանցքին:Հավասարման արմատները կլինեն պարաբոլի և ուղղի հատման կետերի աբսցիսները:

Եղանակ IV

Քառակուսային հավասարումը ձևափոխվում է $ax^{2}+c=-bx$ տեսքի, կառուցվում է $y=ax^{2}+c$ ֆունկցիայի գրաֆիկը (այն ներկայացնում է $y=ax^{2}$ ֆունկցիայի գրաֆիկը, տեղափոխելով $c$ միավոր մասշտաբով վերև, եթե այդ գործակիցը դրական է կամ ներքև, եթե գործակիցը բացասական է ) և $y=-bx$, գտնում են նրանց ընդհանուր կետերի աբսցիսները:

Եղանակ V

Քառակուսային հավասարումը ձևափոխվում է հատուկ տեսքի.

${\frac {ax^{2}}{x}}+{\frac {bx}{x}}+{\frac {c}{x}}={\frac {0}{x}};$

$ax+b+{\frac {c}{x}}=0;$

հետո

$ax+b=-{\frac {c}{x}}.$.

վերջացնելով ձևափոխությունները կառուցվում է $y=ax+b$ գծային ֆունկցիայի գրաֆիկը և հակադարձ համեմատությամբ $y=-{\frac {c}{x}};\ (c\not =0)$-ը, գտնում են այդ ֆունկցիաների հատման կետերի աբսցիսները: Այդ մեթոդը ունի կիրառելիության սահման, եթե $c=0$, ապա մեթոդը չեն օգտագործում:

Քառակուսային հավասարումների լուծումը կարկինի և քանոնի օգնությամբ

Վերը նկարագրված գրաֆիկական մեթոդը ունեն գոյության թերություններ, այն բավականին աշխատատար է, այդ դեպքում կորերի՝ պարաբոլի և հիպերբոլի ճշգրտությամբ կառուցումը անբավարար: Տրված խնդիրները հատուկ չէ ստորև առաջադրված մեթոդին, ենթադրվում է ավելի ճշգրիտ կառուցումներ կարկնի և քանոնի նկատմամբ: Որպեսզի կատարենք այդպիսի լուծումը, պետք է կատարել հետևյալ գործողությունների հաջորդականությունը:

1. Oxy կոորդինատային համակարգում կառուցել $S(-{\frac {b}{2a}};{\frac {a+c}{2a}})$ կենտրոնով շրջանագիծ, y առանցքի հետ հատելով C(0;1)կետում:
2. Հետո հնարավոր է երեք դեպք.
   • շրջանագծի շառավղի երկարությունը գերազանցում է S կետից աբսցիսների առանցքին իջեցված ուղղահայացի երկարությանը: Այդ դեպքում շրջանագիծը հատվում է x առանցքի հետ երկու կետերում, իսկ հավասարումն ունենում է երկու իրական արմատներ, հավասար այդ կետերի աբսցիսներին:
   • շառավիղը հավասար է ուղղահայացին; մեկ կետ և 2-ի բազմապատիկ մեկ իրական արմատ;
   • շառավիղը փոքր է ուղղահայացից; $\mathbb {R}$ բազմությունում արմատներ չկան:

Դիտարկվող եղանակը ենթադրում է շրջանագծի կառուցում, հատվող օրդինատների առանցքին՝ կետերում (կետում), որի աբսցիսները հանդիսանում են լուծվող հավասարման արմատներ: Ինչպե՞ս կարելի է կառուցել այդպիսի շրջանագիծ: Ենթադրենք այն կառուցված է: Շրջանագիծը միարժեքորեն որոշվում է իր տրված երեք կետերով: Ենթադրենք այն դեպքում, եթե արմատները երկուսն են, դա թող լինի $A(x_{1};0),B(x_{2};0),C(0;1)$ կետերը, որտեղ $x_{1},x_{2}$, բնականաբար, քառակուսային հավասարման իրական արմատները (ընդգծում եմ, եթե նրանք գոյություն ունեն): Գտնենք այդպիսի շրջանագծի կենտրոնի կոորդինատները: Դրա համար ապացուցենք, որ այդ շրջանագիծը անցնում է $D(0;{\frac {c}{a}})$ կետերով: Իրոք, համաձայն հատողի թեորեմի,ընդունված նշանակումներում տեղի է ունենում $OA\cdot OB=OC\cdot OD$ հավասարությունը(տես. նկարը): Ձևափոխելով այդ արտահայտությունը , ստանում ենք OD հատվածը , որը և որոշում է որոնելի D կետի օրդինատը: $OD={\frac {OA\cdot OB}{OC}}={\frac {x_{1}x_{2}}{1}}={\frac {c}{a}}$ (վերջին ձևափոխություններում օգտագործված է Վիետի թեորեմը (տես, ստորև համանուն բաժնում)):Եթե արմատը մեկն է, ապա աբսցիսների առանցքը այդպիսի շրջանագծի շոշափող է և շրջանագիծը y առանցքի հետ հատվում է 1 կետում, ապա այն անպայման անցնում է նրանից և նշված օրդինատով կետից վերև (մասնավորապես, եթե 1=c/a, դա դեպքում համընկնող կետեր են), որ ապացուցում է հանգունորեն արդեն հատողի և շոշափողի մասին թեորեմի օգտագործումը, հանդիսանալով հատողի մասին թեորեմի մասնավոր դեպք: Առաջին դեպքում (${\frac {c}{a}}\not =1$), որոշվածը կլինի շփման կետ, y առանցքի կետ 1 օրդինատով, և նրա նույն կետը ${\frac {c}{a}}$ օրդինատով: Եթե c/a և 1, համընկնող կետեր են, իսկ արմատներն երկուս են, սահմանվածը կլինեն այդ կետերը և հատման կետերը աբսցիսների առանցքի հետ:Այն դեպքում, երբ (1=c/a) և արմատը մեկն է, ընդգծված տեղեկությունը բավարար է ապացուցման համար, որովհետև այդպիսի շրջանագիծը կարող է լինել միակը, նրա կենտրոնը կլինի քառակուսու գագաթը, առաջացած շոշոափողի և ուղղահայացի հատումից, իսկ շառավիղը՝ այդ քառակուսու կողմը կազմված 1:Ենթադրենք շրջանագծի կենտրոնը S-ն է,աբսցիսների առանցքի հետ ունենալով երկու ընդհանուր կետեր: Գտնենք նրա կոորդինատները, դրա համար այդ կետից իջեցնենք ուղղահայացներ առանցքներին: Այդ ուղղահայացների ծայրերը կլինեն AB и CD հատվածների միջնակետերը, չէ որ ASB и CSD եռանկյունները հավասարասրուն են, քանի որ AS=BS=CS=DS որպես միևնույն շրջանագծի շառավիղներ, հետևաբար, նրանց բարձրությունները տարված հիմքերին նույնպես հանդիսանում են միջնագծեր: Գտնենք նշված հատվածների միջնակետերի կոորդինատները: Քանի որ պարաբոլը համաչափ է $x=-{\frac {b}{2a}}$ ուղղի նկատմամբ,ապա այդ ուղղի կետը նույն աբսցիսով հանդիսանում է AB հատվածի միջնակետ: Հետևաբար, S կետի աբսցիսը հավասար է այդ թվին: Այն դեպքում, երբ հավասարումը ունի մեկ արմատ, ապա x առանցքը հանդիսանում է շոշափողային կապ շրջանագծին, դրա համար համաձայն նրա հատկությանը, նրա շառավիղը ուղղահայաց է առանցքներին, հետևաբար և այդ դեպքում նշված թիվը կենտրոնի աբսցիսն է: Նրա օրդինատը գտնենք այսպես. ${\frac {CD}{2}}={\frac {OC+(OC+CD)}{2}}={\frac {OC+OD}{2}}={\frac {1+{\frac {c}{a}}}{2}}={\frac {a+c}{2a}}$. Երրորդ հնարավոր դեպքը, երբc\a=1 (և նշանակում է, a=c), ապա ${\frac {c}{a}}=1={\frac {2a}{2a}}={\frac {a+c}{2a}}$:

Քառակուսային հավասարման արմատները կոմպլեքս թվերի բազմությունում

Իրական գործակիցներով հավասարում

$a,~b,~c$ իրական գործակիցներով քառակուսային հավասարումը ունի ճիշտ երկու կոմպլեքս արմատ, որի մասին ասում է հանրահաշվի հիմնական թեորեմը. Այդ դեպքում, $D=b^{2}-4ac$ տարբերիչի արժեքից կախված, ինչպես մեկ, այնպես էլ երկու արմատը կարող են չունենալ կեղծ մաս և լինել իրական:

• $D>0$ դեպքում, իրական արմատները երկուսն են և այն որոշվում է հետևյալ բանաձևով

  $x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}};$

• $D=0$ դեպքում, արմատը մեկն է (որի մասին կարող ենք ասել ինչպես երկու հավասար կամ համընկնող արմատներ), 2-ի բազմապատիկ:

  $x={\frac {-b\pm 0}{2a}}={\frac {-b}{2a}};$

• $D<0$ դեպքում իրական (իրական) արմատ չունի, սակայն գոյություն ունի երկու կոմպլեքս արմատ, արտահայտված նույն բանաձևով, ինչ դրական տարբերիչի դեպքում: Այդպես նրան կարելի կրկին գրել, արտահայտված արմատ բացասական թվի կեղծ միավորի արտադրյալի տեսքով:

  $x_{1,2}={\frac {-b\pm i{\sqrt {|D|}}}{2a}}.$

Կոմպլեքս գործակիցներով հավասարում

Կոմպլեքսի դեպքում՝ քառակուսային հավասարումը լուծվում է նույն (1) բանաձևով և վերը նշված իր տարբերակով, բայց տարբերելիությունը կայանում է միայն երկու դեպքում՝զրոյական տարբերիչ (մեկ կրկնակի արմատ) և ոչ զրոյական՝ (երկու պարզ արմատ):

Բերված քառակուսային հավասարման արմատներ

$x^{2}+px+q=0,$ տեսքի քառակուսային հավասարումը, որում ավագ գործակից $a$-ն հավասար է 1-ի, անվանում են բերված:Այս դեպքում արմատների համար (1) բանաձևը պարզեցվում է

$x_{1,2}=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q}}.$

Հուշամարզական կանոններ

• Из «Радионяни»:

 «Մինուս»ը գրենք սկզբից ,

 p կեսը  նրա կողքին ,

 «Պլյուս-մինուս»ը նշանն է արմատի,

 Ծանոթ է մեզ մանկությունից:

 Դե, իսկ արմատի տակ, բարեկամ,

 Ստացվում է ամբողջը դատարկ բան:

 p երկու կես և քառակուսի աստիճան 

 Մինուս՝ գեղեցիկ  q.

• Из «Радионяни» (այլ տարբերակ):

 p-ն, իր նշանով հակադիր,

 Բաժանենք նրան մենք երկուսի,

 Եվ զգուշությամբ արմատներից 

 Անջատենք «մինուս-պլյուս» նշանի:

 Իսկը շատ հարմար արմատների 

 p-ի կեսը քառակուսի աստիճան 

 Մինուս  q, և ահա լուծումը,

 Այսինքն, արմատները՝ հավասարման :

Վիետի թեորեմը

Հիմնական հոդված՝ Теорема Виета

Ձևակերպում

$x^{2}+px+q=0$ բերված քառակուսային հավասարման արմատների գումարը հավասար է $p$ գործակցին «մինուս» նշանով, իսկ արմատների արտադրյալը հավասար է $q$ ազատ անդամին:

$x_{1}+x_{2}=-p,\quad x_{1}x_{2}=q.$

Ընդհանուր տեսքի,այսինքն՝ $ax^{2}+bx+c=0$ չբերված քառակուսային հավասարման :

$x_{1}+x_{2}=-b/a,\quad x_{1}x_{2}=c/a.$

Օգտվելով այդ թեորեմից, կարելի է լուծել որոշ չբերված քառակուսային հավասարումներ բանավոր:

$x^{2}-8x+12=0;$

${\begin{cases}x_{1}+x_{2}=8;\\x_{1}x_{2}=12;\end{cases}}$

$x_{1}=2,\quad x_{2}=6.$

}}

Քառակուսային եռանդամի վերլուծումը արտադրիչների և նրանից հետևող թեորեմ

Եթե հայտնի է քառակուսային եռանդամի երկու արմատները, կարելի է այն վերլուծել հետևյալ բանաձևով

$ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})$ (2)

Ապացույց

Այդ պնդման ապացուցման համար օգտվենք Վիետի թեորեմից:Համաձայն այդ թեորեմի $x_{1}$ и $x_{2}$ արմատները $ax^{2}+bx+c=0$ քառակուսային հավասարումը ծնում համապատասխանություն նրա գործակիցների հետ : $x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}};\ x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}$. Տեղադրենք այդ համապատասխանությունը քառակուսի եռանդամի մեջ

$ax^{2}+bx+c=a(x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}})=a(x^{2}-(x_{1}+x_{2})x+x_{1}x_{2})=$

$=a(x^{2}-x_{1}x-x_{2}x+x_{1}x_{2})=a(x(x-x_{1})-x_{2}(x-x_{1}))=a(x-x_{1})(x-x_{2})$:

Զրոյական տարբերիչի դեպքում լինում է գումարի կամ տարբերության քառակուսու բանաձևի տարբերակներից մեկը:

(2) բանաձևից ունենք երկու կարևոր հետևություն.

Հետևություն 1

Եթե քառակուսային եռանդամը վերլուծվում է իրական գործակիցներով գծային արտադրիչների , ապա նա ունի նույն թվային բազմությանը պատկանող արմատներ:

Ապացույց

Ենթադրենք $ax^{2}+bx+c=(kx+m)(nx+l)$:Այդ ժամանակ կրկին գրենք այդ վերլուծությունը, կստանանք,

$(kx+m)(nx+l)=k(x+{\frac {m}{k}})n(x+{\frac {l}{n}})=kn(x-(-{\frac {m}{k}}))(x-(-{\frac {l}{n}}))$.

Համեմատենք ստացված արտահայտությունը (2) բանաձևի հետ, գտնում ենք, որ այդպիսի եռանդամի արմատները հանդիսանում են $-{\frac {m}{k}}$ և $-{\frac {l}{n}}$: Քանի որ գործակիցները իրական են, ապա և նրանց հակադիր հարաբերությամբ թիվը նույնպես հանդիսանում է $\mathbb {R}$ բազմության տարր:

Հետևություն 2

Եթե քառակուսային եռանդամը չունի իրական գործակիցներով արմատներ, ապա նա չի վերլուծվում իրական գործակիցներով գծային արտադրիչների:

Ապացույց

Իրոք, եթե մենք ենթադրենք հակառակը (որ այդպիսի եռանդամը վերլուծվում է գծային արտադրիչների), ապա համաձայն հետևություն 1-ի, նա ունի արմատներ $\mathbb {R}$ բազմությունում,որ հակասում է պայմանին և մեր ենթադրությունը ճշմարիտ չէ և այդպիսի եռանդամը չի վերլուծվում գծային արտադրիչների :

քառռակուսային ֆունկցիայի համար,
f (x) = x² − x − 2 = (x + 1)(x − 2) իրական փոփոխական x, x — կետերի կոորդինատներ, որտեղ գրաֆիկը հատվում է x առանցքի հետ, x = −1 и x = 2, հանդիսանում է քառակուսային հավասարման լուծումներ : x² − x − 2 = 0.

Քառակուսայինի բերվող հավասարումներ

Հանրահաշվական

$a\cdot f^{2}(x)+b\cdot f(x)+c=0$ տեդքի հավասարումը հանդիսանում  է քառակուսայինի բերված հավասարում:

Ընդհանուր դեպքում այն լուծվում է $f(x)=t,t\in E(f)$ տեղադրմամբ, լուծելով վերջին քառակուսային հավասարումը$a\cdot t^{2}+b\cdot t+c=0$.

Լուծման դեպքում կարելի է վարվել առանց փոխարինման, լուծել երկու հավասարումների համախումբը,

$f(x)={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4\cdot a\cdot c}}}{2a}}$ и

$f(x)={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4\cdot a\cdot c}}}{2a}}$

Եթե $f(x)=x^{2}$, ապա հավասարումը ընդունում է տեսքը,

$ax^{4}+bx^{2}+c=0$

Այդպիսի հավասարումը կոչվում է երկքառակուսի.

Փոխարինման միջոցով

$y=x+{\dfrac {k}{x}}$

քառակուսային հավասարումը հանգեցվում է

$ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+kbx+k^{2}a=0,$ հավասարման, հայտնի ինչպես

կրկնվող կամ ընհանրացված-համաչափ հավասարում.

Դիֆֆերանցիալ

Երկրորդ կարգի հաստատուն գործակիցներով համասեռ դիֆֆերենցիալ հավասարումը

$y''+py'+qy=0$

տեղադրմամբ $y=e^{kx}$ հանգեցվում է բնութագրական քառակուսային հավասարման,

$k^{2}+pk+q=0$

Եթե այդ հավասարման լուծումներն են $k_{1}$ և $k_{2}$ մեկը մյուսին ոչ հավասար, ապա լուծման ընդհանուր տեսքն է՝

$y=Ae^{k_{1}x}+Be^{k_{2}x}$, որտեղ $A$ և $B$, կամայական հաստատուներ են:

Կոմպլեքս արմատների՝ $k_{1,2}=k_{r}\pm k_{i}i$, համար կարելի է գրառել ընդհանուր լուծումը, օգտվելով Էյլերի բանաձևից:

$y=e^{k_{r}x}\left(A\cos {k_{i}x}+B\sin {k_{i}x}\right)=Ae^{k_{r}x}\cos(k_{i}x+\varphi )$

Եթե բնութագրական հավասարման լուծումները համընկնում են $k_{1}=k_{2}=k$, ընդհանուր լուծումը գրառվում է հետևյալ տեսքով

$y=Axe^{kx}+Be^{kx}$

Հաճախ այդպիսի տիպի հավասարումներ հանդիպում է մաթեմատիկայի և ֆիզիկայի ավելի տարաբնույթ խնդիրներում, օրինակ տատանման տեսություն կամ հաստատուն հոսանքի շղթայի տեսություն:

Գրականություն

• Квадратное уравнение; Квадратный трёхчлен // Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А. П. Савин. — М.: Педагогика, 1985. — С. 133-136. — 352 с.

Հղումներ

• Вывод формулы корней полного квадратного уравнения. Решение приведённых квадратных уравнений и уравнений с чётным вторым коэффициентом / Фестиваль педагогических идей «Открытый урок».
• Калькулятор квадратного уравнения.