Հիպերբոլական ֆունկցիաների ինտեգրալների ցանկ

Ինտեգրալների ցանկ
Տարրական ֆունկցիաներ Ռացիոնալ ֆունկցիաներ Իռացիոնալ ֆունկցիաներ Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ Հիպերբոլական ֆունկցիաներ Էքսպոնենցիալ ֆունկցիաներ Լոգարիթմական ֆունկցիաներ Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ Հակադարձ հիպերբոլական ֆունկցիաներ

Այց ցանկում ընդգրկված են հիպերբոլական ֆունկցիաների ինտեգրալները։ Անորոշ ինտեգրալների համար ինտեգրման հաստատունը բաց է թողնված։

Ինտեգրալներ

$\int \operatorname {sh} cx\,dx={\frac {1}{c}}\operatorname {ch} cx$

$\int \operatorname {ch} cx\,dx={\frac {1}{c}}\operatorname {sh} cx$

$\int \operatorname {sh} ^{2}cx\,dx={\frac {1}{4c}}\operatorname {sh} 2cx-{\frac {x}{2}}$

$\int \operatorname {ch} ^{2}cx\,dx={\frac {1}{4c}}\operatorname {sh} 2cx+{\frac {x}{2}}$

$\int \operatorname {sh} ^{n}cx\,dx={\frac {1}{cn}}\operatorname {sh} ^{n-1}cx\operatorname {ch} cx-{\frac {n-1}{n}}\int \operatorname {sh} ^{n-2}cx\,dx\qquad {\mbox{( }}n>0{\mbox{)}}$

նաև` $\int \operatorname {sh} ^{n}cx\,dx={\frac {1}{c(n+1)}}\operatorname {sh} ^{n+1}cx\operatorname {ch} cx-{\frac {n+2}{n+1}}\int \operatorname {sh} ^{n+2}cx\,dx\qquad {\mbox{( }}n<0{\mbox{, }}n\neq -1{\mbox{)}}$

$\int \operatorname {ch} ^{n}cx\,dx={\frac {1}{cn}}\operatorname {sh} cx\operatorname {ch} ^{n-1}cx+{\frac {n-1}{n}}\int \operatorname {ch} ^{n-2}cx\,dx\qquad {\mbox{( }}n>0{\mbox{)}}$

նաև` $\int \operatorname {ch} ^{n}cx\,dx=-{\frac {1}{c(n+1)}}\operatorname {sh} cx\operatorname {ch} ^{n+1}cx-{\frac {n+2}{n+1}}\int \operatorname {ch} ^{n+2}cx\,dx\qquad {\mbox{(}}n<0{\mbox{, }}n\neq -1{\mbox{)}}$

$\int {\frac {dx}{\operatorname {sh} cx}}={\frac {1}{c}}\ln \left|\operatorname {th} {\frac {cx}{2}}\right|={\frac {1}{c}}\ln \left|{\frac {\operatorname {ch} cx-1}{\operatorname {sh} cx}}\right|={\frac {1}{c}}\ln \left|{\frac {\operatorname {sh} cx}{\operatorname {ch} cx+1}}\right|={\frac {1}{c}}\ln \left|{\frac {\operatorname {ch} cx-1}{\operatorname {ch} cx+1}}\right|$

$\int {\frac {dx}{\operatorname {sh} ^{2}cx}}=-{\frac {1}{c}}\operatorname {cth} cx$

$\int {\frac {dx}{\operatorname {ch} cx}}={\frac {2}{c}}\operatorname {arctg} e^{cx}$

$\int {\frac {dx}{\operatorname {ch} ^{2}cx}}={\frac {1}{c}}\operatorname {th} cx$

$\int {\frac {dx}{\operatorname {sh} ^{n}cx}}={\frac {\operatorname {ch} cx}{c(n-1)\operatorname {sh} ^{n-1}cx}}-{\frac {n-2}{n-1}}\int {\frac {dx}{\operatorname {sh} ^{n-2}cx}}\qquad {\mbox{( }}n\neq 1{\mbox{)}}$

$\int {\frac {dx}{\operatorname {ch} ^{n}cx}}={\frac {\operatorname {sh} cx}{c(n-1)\operatorname {ch} ^{n-1}cx}}+{\frac {n-2}{n-1}}\int {\frac {dx}{\operatorname {ch} ^{n-2}cx}}\qquad {\mbox{( }}n\neq 1{\mbox{)}}$

$\int {\frac {\operatorname {ch} ^{n}cx}{\operatorname {sh} ^{m}cx}}dx={\frac {\operatorname {ch} ^{n-1}cx}{c(n-m)\operatorname {sh} ^{m-1}cx}}+{\frac {n-1}{n-m}}\int {\frac {\operatorname {ch} ^{n-2}cx}{\operatorname {sh} ^{m}cx}}dx\qquad {\mbox{( }}m\neq n{\mbox{)}}$

նաև` $\int {\frac {\operatorname {ch} ^{n}cx}{\operatorname {sh} ^{m}cx}}dx=-{\frac {\operatorname {ch} ^{n+1}cx}{c(m-1)\operatorname {sh} ^{m-1}cx}}+{\frac {n-m+2}{m-1}}\int {\frac {\operatorname {ch} ^{n}cx}{\operatorname {sh} ^{m-2}cx}}dx\qquad {\mbox{( }}m\neq 1{\mbox{)}}$

նաև` $\int {\frac {\operatorname {ch} ^{n}cx}{\operatorname {sh} ^{m}cx}}dx=-{\frac {\operatorname {ch} ^{n-1}cx}{c(m-1)\operatorname {sh} ^{m-1}cx}}+{\frac {n-1}{m-1}}\int {\frac {\operatorname {ch} ^{n-2}cx}{\operatorname {sh} ^{m-2}cx}}dx\qquad {\mbox{( }}m\neq 1{\mbox{)}}$

$\int {\frac {\operatorname {sh} ^{m}cx}{\operatorname {ch} ^{n}cx}}dx={\frac {\operatorname {sh} ^{m-1}cx}{c(m-n)\operatorname {ch} ^{n-1}cx}}+{\frac {m-1}{m-n}}\int {\frac {\operatorname {sh} ^{m-2}cx}{\operatorname {ch} ^{n}cx}}dx\qquad {\mbox{( }}m\neq n{\mbox{)}}$

նաև` $\int {\frac {\operatorname {sh} ^{m}cx}{\operatorname {ch} ^{n}cx}}dx={\frac {\operatorname {sh} ^{m+1}cx}{c(n-1)\operatorname {ch} ^{n-1}cx}}+{\frac {m-n+2}{n-1}}\int {\frac {\operatorname {sh} ^{m}cx}{\operatorname {ch} ^{n-2}cx}}dx\qquad {\mbox{( }}n\neq 1{\mbox{)}}$

նաև` $\int {\frac {\operatorname {sh} ^{m}cx}{\operatorname {ch} ^{n}cx}}dx=-{\frac {\operatorname {sh} ^{m-1}cx}{c(n-1)\operatorname {ch} ^{n-1}cx}}+{\frac {m-1}{n-1}}\int {\frac {\operatorname {sh} ^{m-2}cx}{\operatorname {ch} ^{n-2}cx}}dx\qquad {\mbox{( }}n\neq 1{\mbox{)}}$

$\int x\operatorname {sh} cx\,dx={\frac {1}{c}}x\operatorname {ch} cx-{\frac {1}{c^{2}}}\operatorname {sh} cx$

$\int x\operatorname {ch} cx\,dx={\frac {1}{c}}x\operatorname {sh} cx-{\frac {1}{c^{2}}}\operatorname {ch} cx$

$\int \operatorname {th} cx\,dx={\frac {1}{c}}\ln |\operatorname {ch} cx|$

$\int \operatorname {cth} cx\,dx={\frac {1}{c}}\ln |\operatorname {sh} cx|$

$\int \operatorname {th} ^{2}cx\,dx=x-{\frac {1}{c}}\operatorname {th} cx$

$\int \operatorname {cth} ^{2}cx\,dx=x-{\frac {1}{c}}\operatorname {cth} cx$

$\int \operatorname {th} ^{n}cx\,dx=-{\frac {1}{c(n-1)}}\operatorname {th} ^{n-1}cx+\int \operatorname {th} ^{n-2}cx\,dx\qquad {\mbox{( }}n\neq 1{\mbox{ )}}$

$\int \operatorname {cth} ^{n}cx\,dx=-{\frac {1}{c(n-1)}}\operatorname {cth} ^{n-1}cx+\int \operatorname {cth} ^{n-2}cx\,dx\qquad {\mbox{( }}n\neq 1{\mbox{)}}$

$\int \operatorname {sh} bx\operatorname {sh} cx\,dx={\frac {1}{b^{2}-c^{2}}}(b\operatorname {sh} cx\operatorname {ch} bx-c\operatorname {ch} cx\operatorname {sh} bx)\qquad {\mbox{( }}b^{2}\neq c^{2}{\mbox{)}}$

$\int \operatorname {ch} bx\operatorname {ch} cx\,dx={\frac {1}{b^{2}-c^{2}}}(b\operatorname {sh} bx\operatorname {ch} cx-c\operatorname {sh} cx\operatorname {ch} bx)\qquad {\mbox{( }}b^{2}\neq c^{2}{\mbox{)}}$

$\int \operatorname {ch} bx\operatorname {sh} cx\,dx={\frac {1}{b^{2}-c^{2}}}(b\operatorname {sh} bx\operatorname {sh} cx-c\operatorname {ch} bx\operatorname {ch} cx)\qquad {\mbox{( }}b^{2}\neq c^{2}{\mbox{)}}$

$\int \operatorname {sh} (ax+b)\sin(cx+d)\,dx={\frac {a}{a^{2}+c^{2}}}\operatorname {ch} (ax+b)\sin(cx+d)-{\frac {c}{a^{2}+c^{2}}}\operatorname {sh} (ax+b)\cos(cx+d)$

$\int \operatorname {sh} (ax+b)\cos(cx+d)\,dx={\frac {a}{a^{2}+c^{2}}}\operatorname {ch} (ax+b)\cos(cx+d)+{\frac {c}{a^{2}+c^{2}}}\operatorname {sh} (ax+b)\sin(cx+d)$

$\int \operatorname {ch} (ax+b)\sin(cx+d)\,dx={\frac {a}{a^{2}+c^{2}}}\operatorname {sh} (ax+b)\sin(cx+d)-{\frac {c}{a^{2}+c^{2}}}\operatorname {ch} (ax+b)\cos(cx+d)$

$\int \operatorname {ch} (ax+b)\cos(cx+d)\,dx={\frac {a}{a^{2}+c^{2}}}\operatorname {sh} (ax+b)\cos(cx+d)+{\frac {c}{a^{2}+c^{2}}}\operatorname {ch} (ax+b)\sin(cx+d)$

Տես նաև

• Ֆունկցիայի ածանցյալ
• Ածանցելի ֆունկցիաներ

Գրականություն

Գրքեր

• Градштейн И. С. Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (4-е издание). М.։ Наука, 1963. ISBN 0-12-294757-6 // EqWorld
• Двайт Г. Б. Таблицы интегралов СПб։ «Издательство и типография АО ВНИИГ им. Б. В. Веденеева», 1995.-176 с. ISBN 5-85529-029-8.
• D. Zwillinger. CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, 31st ed., 2002. ISBN 1-58488-291-3.
• M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 1964. ISBN 0-486-61272-4

Ինտեգրալների աղյուսակներ

• Ինտեգրալներ EqWorld-ում
• S.O.S. Մաթեմատիկա

Ինտեգրալների հաշվում

• The Integrator (Wolfram Research)
• Թվեր