Կառնոյի թեորեմ

Կառնոյի առաջին թեորեմը

Թեորեմ։ Եռանկյանն արտագծած շրջանագծի կենտրոնից եռանկյան կողմերն ունեցած հեռավորությունների գումարը հավասար է ներգծած և արտածած շրջանագծերի շառավիղների գումարին։

Ապացուցում

Դիցուք $D$-ն $ABC$ եռանկյան արտագծյալ շրջանագծի կենտրոնն է։ Այդ կետի հեռավորությունները եռանկյան $a,b,c$ կողմերից նշանակենք համապատասխանաբար $G,H,F:GDHB$ քառանկյանը կարելի է արտագծել շրջանագիծ($\angle {DHB}=90,\angle {DGB}=90=>\angle {DHB}+\angle {DGB}=180$)։ Նկատենք, որ ըստ Պտղոմեոսի թեորեմի

$AP\cdot B'C'=C'P\cdot AB'+B'P\cdot AC'$ կամ $R\cdot {\frac {a}{2}}=PC'\cdot {\frac {b}{2}}+PC'\cdot {\frac {c}{2}}$ (1)

Դիտարկենք $BC'OA'$ և $CA'OB'$ քառանկյունները։ Կստանանք՝

$R\cdot {\frac {c}{2}}=PB'\cdot {\frac {a}{2}}+PA'\cdot {\frac {b}{2}}$ (2)

$R\cdot {\frac {b}{2}}=PA'\cdot {\frac {c}{2}}+PC'\cdot {\frac {a}{2}}$ (3)

Գումարելով (1), (2), (3) հավասարությունները, կստանանք՝

$R\cdot p=PA\cdot {\frac {b+c}{2}}+PB\cdot {\frac {a+c}{2}}+PC\cdot {\frac {a+b}{2}}$

որտեղ $p$-ն $ABC$ եռանկյան կիսապարագիծն է։

$R\cdot p=PA\cdot (p-{\frac {a}{2}})+PB\cdot (p-{\frac {b}{2}})+PC\cdot (p-{\frac {c}{2}})$

$R\cdot p=(PA+PB+PC)\cdot p-({\frac {a\cdot PA}{2}}+{\frac {b\cdot PB}{2}}+{\frac {c\cdot PC}{2}})$

$R\cdot p=(PA+PB+PC)\cdot p-S$

$R\cdot p=(PA+PB+PC)\cdot p-pr$ որտեղից՝

$R+r=PA+PB+PC$