Կառնոյի թեորեմ

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Carnot.gif

Թեորեմ։ Սուրանկյան եռանկյանն արտագծած շրջանագծի կենտրոնից եռանկյան կողմերն ունեցած հեռավորությունների գումարը հավասար է ներգծած և արտածած շրջանագծերի շառավիղների գումարին։

Ապացուցում[խմբագրել]

Դիցուք PABC եռանկյան արտագծյալ շրջանագծի կենտրոնն է։ Այդ կետի հեռավորությունները եռանկյան a,b,c կեղմերից նշանակենք համապատասխանաբար PA', PB', PC':CA'OB' քառանկյանը կարելի է արտագծել շրջանագիծ(\angle{PB'C}=90,\angle{PA'C}=90 =>\angle{PB'C}+\angle{PA'C}=180 )։ Նկատենք, որ ըստ Պտղոմեոսի թեորեմի

 AP \cdot B'C'=C'P \cdot AB'+B'P \cdot AC' կամ  R \cdot \frac{a}{2}=PC' \cdot \frac{b}{2}+PC' \cdot \frac{c}{2} (1)

Դիտարկենք BC'OA' և CA'OB' քառանկյունները։ Կստանանք՝

 R \cdot \frac{c}{2}=PB' \cdot \frac{a}{2}+PA' \cdot \frac{b}{2} (2)

 R \cdot \frac{b}{2}=PA' \cdot \frac{c}{2}+PC' \cdot \frac{a}{2} (3)

Գումարելով (1), (2), (3) հավասարությունները, կստանանք՝

R \cdot p=PA \cdot \frac{b+c}{2}+PB \cdot \frac{a+c}{2}+PC \cdot \frac{a+b}{2}

որտեղ pABC եռանկյան կիսապարագիծն է։

R \cdot p=PA \cdot (p-\frac{a}{2})+PB \cdot (p-\frac{b}{2})+PC \cdot (p-\frac{c}{2})

R \cdot p=(PA+PB+PC) \cdot p-(\frac{a \cdot PA}{2}+\frac{b \cdot PB}{2}+\frac{c \cdot PC}{2})

R \cdot p=(PA+PB+PC) \cdot p-S

R \cdot p=(PA+PB+PC) \cdot p-pr որտեղից՝

R+r=PA+PB+PC