Դիսպերսիայի օրենք

Անվան այլ կիրառումների համար տե՛ս՝ Դիսպերսիա (այլ կիրառումներ)

Լույսի փնջի տարալուծումը սպեկտրում՝ ապակե պրիզմայի միջով անցման ժամանակ (Դիսպերսիայի «հայտնվելը»՝ ապակու մեջտեղում):

Դիսպերսիայի օրենք կամ դիսպերսիոն համապատասխանություն ալիքների տեսության մեջ, կապ ալիքային վեկտորի և հաճախության մեջ

$\omega =\omega (\mathbf {k} )\,$

Այս օրենքը արտահայտում է ալիքի ժամանակային և տարածական պարաբերությունների կապը։ Դիսպերսիայի օրենքից կարելի է ստանալ ալիքի փուլային և խմբային արագությունները՝

$\mathbf {v} _{ph}={\omega \over k}\cdot {\mathbf {k} \over k}\,;\quad \mathbf {v} _{gr}={d\omega \over d\mathbf {k} }\,$

Դիսպերսիա հասկացությունը առաջին անգամ օպտիկայում հայտնվել է հատվածակողմով սպիտակ լույսի տարալուծմից հետո։ Դիսպերսիա անվանում են ալիքի փուլային արագության կախումը լուսային ալիքի հաճախությունից կամ երկարությունից,կամ օպտիկայում բեկման ցուցչի կախումը ալիքի հաճախությունից և երկարությունից տվյալ միջավայրում, եթե արագությունը կախված չէ ալիքի հաճախությունից կամ երկարությունից,ապա խոսքը դիսպերսիայի բացակայության մասին է։

Այսինքն,եթե գծային։ լույսի համար դիսպերսիայի օրենքը ապակու մեջ բերում է դիսպերսիայի դասական օրենքին։ Հիմնվելով քվանտային պատկերացումների վրա, որ ամեն մի ալիքի համապատասխանում է որոշակի մասնիկ կամ քվազիմասնիկ և հակառակը, դիսպերսիայի օրենքը կարելի է տարածել նաև մասնիկների համար։ Մասնավորապես,պինդ մարմնի ֆիզիկայում այս օրենքը կապ է հաստատում մասնիկի (օրինակ՝ էլեկտրոն, ֆոտոն) էներգիայի ևնրա ալիքային վեկտորի միջև։

Շղթայի համար դուրսբերում

Ենթադրենք տրված է ատոմների միաչափ գծային շղթա $m$ զանգվածով, որոնց միջև հեռավորությունը $u_{n}$ է։ Տեղադրենք $n$ կարճ հեռավորության վրա $u_{n}$։ Այդ դեպքում շեղման փոքրության պատճառով ատոմների փողազդեցության ուժը կարելի է համարել քվազիառաձգական։ Նշանակումները՝

$k$՝ ալիքային թիվ,

$\omega$՝ հաճախություն։

Հաշվի առնելով հարևան անդամները՝

$F_{n}=-\beta (u_{n}-u_{n+1})-\beta (u_{n}-u_{n-1})=\beta (u_{n+1}-2u_{n}+u_{n-1}),$

որտեղ՝

$\beta$՝ քվազիառաձգականության գործակիցն է։ Գրենք շարժման հավասարումը $n$-րդ ատոմի համար՝ $ma=F\quad \Longleftrightarrow \quad m{\cfrac {d^{2}u_{n}}{dt^{2}}}=\beta (u_{n+1}-2u_{n}+u_{n-1})$ Թող հավասարումը ունենա հետևյալ տեսքը՝ $Ae^{i(kd-\omega t)}.$։ Այդ դեպքում՝ $-m\omega ^{2}=\beta (e^{ikd}+e^{-ikd}-2)=-2\beta (1-\cos kd)=-4\beta \sin ^{2}(kd/2)\quad \Rightarrow \quad \omega =\pm \omega _{m}\sin {kd/2},$ որտեղ

$\omega _{m}=2{\sqrt {\cfrac {\beta }{m}}}$։

Սա էլ հենց արտահայտում է հաճախության կապը ալիքային թվի հետ, այսինքն միատոմ շղթայի դիսպերսիայի օրենքը։

Տես նաև

• Ալիքների դիսպերսիա

Գրականություն

• Ֆեյնմանի դասախոսությունը դիսպերսիայի մասին

Վիքիպահեստն ունի նյութեր, որոնք վերաբերում են «Դիսպերսիայի օրենք» հոդվածին։