Անորոշը ինտեգրալը
ֆունկցիայի համար իր նախնական ֆունկցիայի բոլոր տվյալների ամբողջությունն է։
Եթե
ֆունկցիան որոշված է և անընդհատ է
միջակայքում, իսկ իր նախնական
-ը, այսինքն՝
, երբ
, ապա
,
որտեղ С-ն անկախ հաստատուն է։
![{\displaystyle d\left(\int f(x)dx\right)=f(x)dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3825262be8b12723c2510a97e2f1aa0a89215d28)
![{\displaystyle \int d(F(x))=F(x)+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d8f9fe37662b160d0c1d999b61ce25022368bbe)
![{\displaystyle \int a\cdot f(x)dx=a\cdot \int f(x)dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d3d0f3965834b8cbb16302c401aa95bb8a37f0b)
![{\displaystyle \int (f(x)\pm g(x))dx=\int f(x)dx\pm \int g(x)dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36fa0d5bed88489456c0d7ed8b77245d665b80b3)
- Եթե
, ապա
ևս, որտեղ
, որը ածանցելի ֆունկցիա է անընդհատ ածանցյալով։
Դիֆերենցիալով հիմքի կառուցման ժամանակ օգտագործվում են հետևյալ հատկությունները՝
![{\displaystyle du=d(u+C)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8a88527ad9ffbdd37a8277621fb4f0f7ca246a7)
![{\displaystyle du={1 \over a}d(au)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abdcbccf8d20f77e454ed9599a21f8a3910573ec)
![{\displaystyle f'(u)\cdot du=d(f(u))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d2e07bd7621ecd5a63511960d338083936c4fd4)
1. Նոր արգումենտի ներմուծման մեթոդ։ Եթե
![{\displaystyle \int g(x)dx=G(x)+C,\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/428cb6230e7011b82206eafd43d65a9d0e4773f3)
ապա
![{\displaystyle \int g(u)du=G(u)+C,\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36b73f2a7a827c92d68565f8944950c5dac5d335)
որտեղ
՝ անընդհատ դիֆերենցվող ֆունկցիա։
2. Բաժանման մեթոդ։ Եթե
![{\displaystyle g(x)=g_{1}(x)+g_{2}(x),\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/408cdf74cdad6efe108ccd07824d1e708f4561bc)
ապա
![{\displaystyle \int g(x)dx=\int g_{1}(x)dx+\int g_{2}(x)dx.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00423d69bc46eb28827e017cc4b16bb5d1ef57ab)
3. Տեղադրման մեթոդ։ Եթե
-ն անընդհատ է, ապա ենթադրելով
,
որտեղ
անընդհատ է իր
ածանցյալի հետ միասին, կստանանք
![{\displaystyle \int g(x)dx=\int g(\varphi (t))\varphi '(t)dt.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e742dd4277efe95a74a45c94100c30480b88779b)
4. Մասերով ինտեգրում։ Եթե
և
՝ որոշ դիֆերենցվող ֆունկցիաներ են
-ից կախված, ապա
![{\displaystyle \int udv=uv-\int vdu.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/236532739d19528cf27f1428778804a0a3c5cb0b)
![{\displaystyle \int 0\cdot dx=C;\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63574092d8735693df3a29267978ba82a45546cf)
![{\displaystyle \int 1\cdot dx=x+C;\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37e03c21917806935851e6cd7677292cf986e181)
![{\displaystyle (n\neq -1);\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79ba3168f34feeccb7450b5be7a1cab3ce7b5e5d)
![{\displaystyle \int {\frac {1}{x}}dx=\ln \mid x\mid +C;\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/638b732b8ec4c7dbd38d35112611af621f76513f)
![{\displaystyle \int e^{x}dx=e^{x}+C;\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e3f2e23682f27a730365cade6dd91669c82039b)
![{\displaystyle (a>0,a\neq 1);\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/949c6868276fdc2d78a8cbf7664ceba088e87409)
: ![{\displaystyle \int \sin x\,dx=-\cos x+C;\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d4f46d3f023ebdb874fa84cbabc14315f0074b6)
![{\displaystyle \int {\frac {dx}{\cos ^{2}x}}=\mathrm {tg} \,x+C;\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2a90e217ad146a52dcb1c30c5131a6ab594e347)
![{\displaystyle \int {\frac {dx}{\sin ^{2}x}}=-\mathrm {ctg} \,x+C;\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaef7722813ef11dfb74f2fa0724388de9975353)
![{\displaystyle \int {\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\arcsin x+C=-\arccos x+C'(C'={\frac {\pi }{2}}+C);\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5705e45ffc1c75b958be88838e30d27f482d5dec)
![{\displaystyle \int {\frac {dx}{1+x^{2}}}=\mathrm {arctg} \,x+C;\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72ea8946b8c8d117daa5c50ebb6ea78759818367)
![{\displaystyle \int \mathrm {ch} \,xdx=\mathrm {sh} \,x+C;\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/913d4bd2fcfba6f6459344cf5b9bbdec2d64fe56)
![{\displaystyle \int \mathrm {sh} \,xdx=\mathrm {ch} \,x+C;\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddc6c0b14a66c528823d9fdbbc50b067af08223e)
Յուրաքանչյուր հավասարման ձախ մասում նախնական ֆունկցիայի ածանցյալն է (բայց որոշված) համապատասխան ինտեգրալի տակ ընկած ֆունկցիայի համար, իսկ աջ մասում՝ որոշված նախնական ֆունկցիան, որին նաև ավելացվում է այնպիսի
, որ պահպանվի հավասարությունը ֆունկցիաների միջև։
Այս բանաձևերում նախնական ֆունկցիաները որոշված են և անընդհատ են այն միջակայքերում, որում որոշված են և անընդհատ ինտեգրալի տակ ընկած ֆունկցիաները։ Այս օրինաչափությունը պատահական չէ, քանի որ ինչպես վերը նշված է, ցանկացած անընդհատ ֆունկցիա ինչ-որ միջակայքում ունի իր անընդհատ նախնական ֆունկցիան։
![{\displaystyle 1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af8c4e445819b13a052647aa3eb2be990b0a4b24)
![{\displaystyle 2.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f2b3373a07e65d3312989163b5ebd400af86480)
![{\displaystyle 3.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d75e17f7e7094c457fa7c8f743c3d8622eebd8ef)