Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Անորոշը ինտեգրալը
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)\,}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)\,}
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)\,}
F
(
x
)
{\displaystyle F(x)\,}
F
′
(
x
)
=
f
(
x
)
{\displaystyle F'(x)=f(x)\,}
a
<
x
<
b
{\displaystyle a<x<b\,}
∫
f
(
x
)
d
x
=
F
(
x
)
+
C
,
{\displaystyle \int f(x)dx=F(x)+C,\,}
a
<
x
<
b
{\displaystyle a<x<b\,}
որտեղ С-ն անկախ հաստատուն է։
d
(
∫
f
(
x
)
d
x
)
=
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle d\left(\int f(x)dx\right)=f(x)dx}
∫
d
(
F
(
x
)
)
=
F
(
x
)
+
C
{\displaystyle \int d(F(x))=F(x)+C}
∫
a
⋅
f
(
x
)
d
x
=
a
⋅
∫
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int a\cdot f(x)dx=a\cdot \int f(x)dx}
∫
(
f
(
x
)
±
g
(
x
)
)
d
x
=
∫
f
(
x
)
d
x
±
∫
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int (f(x)\pm g(x))dx=\int f(x)dx\pm \int g(x)dx}
Եթե
∫
f
(
x
)
d
x
=
F
(
x
)
+
C
{\displaystyle \int f(x)dx=F(x)+C}
∫
f
(
u
)
d
u
=
F
(
u
)
+
C
{\displaystyle \int f(u)du=F(u)+C}
u
=
φ
(
x
)
{\displaystyle u=\varphi (x)}
Դիֆերենցիալով հիմքի կառուցման ժամանակ օգտագործվում են հետևյալ հատկությունները՝
d
u
=
d
(
u
+
C
)
{\displaystyle du=d(u+C)\,}
d
u
=
1
a
d
(
a
u
)
{\displaystyle du={1 \over a}d(au)}
f
′
(
u
)
⋅
d
u
=
d
(
f
(
u
)
)
{\displaystyle f'(u)\cdot du=d(f(u))}
1. Նոր արգումենտի ներմուծման մեթոդ ։ Եթե
∫
g
(
x
)
d
x
=
G
(
x
)
+
C
,
{\displaystyle \int g(x)dx=G(x)+C,\,}
ապա
∫
g
(
u
)
d
u
=
G
(
u
)
+
C
,
{\displaystyle \int g(u)du=G(u)+C,\,}
որտեղ
u
=
φ
(
x
)
{\displaystyle u=\varphi (x)\,}
2. Բաժանման մեթոդ ։ Եթե
g
(
x
)
=
g
1
(
x
)
+
g
2
(
x
)
,
{\displaystyle g(x)=g_{1}(x)+g_{2}(x),\,}
ապա
∫
g
(
x
)
d
x
=
∫
g
1
(
x
)
d
x
+
∫
g
2
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle \int g(x)dx=\int g_{1}(x)dx+\int g_{2}(x)dx.\,}
3. Տեղադրման մեթոդ ։ Եթե
g
(
x
)
{\displaystyle g(x)\,}
x
=
φ
(
t
)
,
{\displaystyle x=\varphi (t),\,}
φ
(
t
)
{\displaystyle \varphi (t)\,}
φ
′
(
t
)
{\displaystyle \varphi '(t)\,}
∫
g
(
x
)
d
x
=
∫
g
(
φ
(
t
)
)
φ
′
(
t
)
d
t
.
{\displaystyle \int g(x)dx=\int g(\varphi (t))\varphi '(t)dt.\,}
4. Մասերով ինտեգրում
u
{\displaystyle u\,}
v
{\displaystyle v\,}
x
{\displaystyle x\,}
∫
u
d
v
=
u
v
−
∫
v
d
u
.
{\displaystyle \int udv=uv-\int vdu.\,}
∫
0
⋅
d
x
=
C
;
{\displaystyle \int 0\cdot dx=C;\,}
∫
1
⋅
d
x
=
x
+
C
;
{\displaystyle \int 1\cdot dx=x+C;\,}
∫
x
n
d
x
=
x
n
+
1
n
+
1
+
C
{\displaystyle \int x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C\,}
(
n
≠
−
1
)
;
{\displaystyle (n\neq -1);\,}
∫
1
x
d
x
=
ln
∣
x
∣
+
C
;
{\displaystyle \int {\frac {1}{x}}dx=\ln \mid x\mid +C;\,}
∫
e
x
d
x
=
e
x
+
C
;
{\displaystyle \int e^{x}dx=e^{x}+C;\,}
∫
a
x
d
x
=
a
x
ln
a
+
C
,
{\displaystyle \int a^{x}dx={\frac {a^{x}}{\ln a}}+C,\,}
(
a
>
0
,
a
≠
1
)
;
{\displaystyle (a>0,a\neq 1);\,}
∫
cos
x
d
x
=
sin
x
+
C
;
{\displaystyle \int \cos x\,dx=\sin x+C;\,}
∫
sin
x
d
x
=
−
cos
x
+
C
;
{\displaystyle \int \sin x\,dx=-\cos x+C;\,}
∫
d
x
cos
2
x
=
t
g
x
+
C
;
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\cos ^{2}x}}=\mathrm {tg} \,x+C;\,}
∫
d
x
sin
2
x
=
−
c
t
g
x
+
C
;
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\sin ^{2}x}}=-\mathrm {ctg} \,x+C;\,}
∫
d
x
1
−
x
2
=
arcsin
x
+
C
=
−
arccos
x
+
C
′
(
C
′
=
π
2
+
C
)
;
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\arcsin x+C=-\arccos x+C'(C'={\frac {\pi }{2}}+C);\,}
∫
d
x
1
+
x
2
=
a
r
c
t
g
x
+
C
;
{\displaystyle \int {\frac {dx}{1+x^{2}}}=\mathrm {arctg} \,x+C;\,}
∫
c
h
x
d
x
=
s
h
x
+
C
;
{\displaystyle \int \mathrm {ch} \,xdx=\mathrm {sh} \,x+C;\,}
∫
s
h
x
d
x
=
c
h
x
+
C
;
{\displaystyle \int \mathrm {sh} \,xdx=\mathrm {ch} \,x+C;\,}
Յուրաքանչյուր հավասարման ձախ մասում նախնական ֆունկցիայի ածանցյալն է (բայց որոշված) համապատասխան ինտեգրալի տակ ընկած ֆունկցիայի համար, իսկ աջ մասում՝ որոշված նախնական ֆունկցիան, որին նաև ավելացվում է այնպիսի
C
{\displaystyle C\,}
1.
{\displaystyle 1.}
∫
x
2
d
x
=
∫
x
n
d
x
=
x
n
+
1
n
+
1
+
C
=
x
3
3
+
C
{\displaystyle \int x^{2}\,dx=\int x^{n}\,dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C={\frac {x^{3}}{3}}+C}
2.
{\displaystyle 2.}
∫
(
a
x
+
cos
x
)
d
x
=
∫
a
x
d
x
+
∫
cos
x
d
x
=
a
x
ln
a
+
sin
x
+
C
{\displaystyle \int (a^{x}+\cos x)\,dx=\int a^{x}\,dx+\int \cos x\,dx={\frac {a^{x}}{\ln a}}+\sin x+C}
3.
{\displaystyle 3.}
∫
d
x
1
+
x
2
+
d
x
1
−
x
2
=
∫
d
x
1
+
x
2
+
∫
d
x
1
−
x
2
+
C
=
a
r
c
t
g
x
+
arcsin
x
+
C
{\displaystyle \int {\frac {dx}{1+x^{2}}}+{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\int {\frac {dx}{1+x^{2}}}+\int {\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}+C=\mathrm {arctg} \,x+\arcsin \,x+C}
