Կոր

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Կոր տոպոլոգիական տարածությունում

Կոր տոպոլոգիական տարածությունում, R^1 թվային ուղղի ցանկացած [a,b], (a<b), հատվածի անընդհատ արտապատկերում կամայական տոպոլոգիական տարածության մեջ։ Եթե t\in[a,b] թվի իմաստը ժամանակն է, իսկ x=f(t) համապատասխան կետը՝ շարժվող կետի դիրքն է պահին, ապա երբ ta-ից b ուղղությամբ անընդհատ անցնում է [a,b] հատվածը, f(t) կետը անցնում է որոշ «անընդհատ կոր»՝ f կորի «հետագիծը»։ Ընդ որում, թույլատրվում Է, որ շարժվող կետը ժամանակի տարբեր պահերին տարածության միևնույն կետով անցնի մի քանի անգամ կամ որոշ ժամանակահատվածում մնա «անշարժ»։ Դեռ ավելին, չեն բացառվում նաև f:[a,b]\rightarrow X հաստատուն կորեր, որոնց համար f արտապատկերումը հաստատուն է, այսինքն յուրաքանչյուր t-ի համար f(t)=x_0, որտեղ x_0X տարածության որևէ սևեռված կետ է։ Կորի f(t) կետերի անցման կարգը էական է, և այդ պատճառով յուրաքանչյուր f կորը ստանում է որոշ ուղղություն՝ f(a) սկզբնակետից դեպի f(b) վերջնակետը։ Նկարում այդ ուղղությունը նշվում է սլաքով։ f:[a,b]\rightarrow X կորը կոչվում է փակ, եթե նրա ծայրակետերը համընկնում են [f(a)=f(b)], և փակ պարզ կորը, եթե նաև [f(t_1) \neq f(t_2)] յուրաքանչյուր t_1, t_2-ի համար, որտեղ a<t1<t2<b։ R^n էվկլիդեսյան տարածության f' կորը կոչվում է անընդհատ դիֆերենցելի, եթե գոյություն ունի անընդհատ f^1 ածանցյալ։ Անհրաժեշտ է ընդգծել, որ f:[a,b]\rightarrow X կորը դա f արտապատկերումն է, և ոչ թե նրա x=f(t) կետերի բազմությունը։ X տարածության միևնույն ենթաբազմությունը կարող է դիտվել որպես կետերի բազմություն այդ տարածության տարբեր կորերի համար։ Օրինակ, դիցուք CR^2 հարթության որևէ շրջանագիծ է, O-ն նրա կենտրոնը, իսկ l \subset R^2O գագաթով սևեռված ճառագայթ։ Այդ շրջանագծի վրա ընտրենք շրջանցման դրական ուղղություն և կառուցենք f:[0,l] \rightarrow R^2 փակ կոր հետևյալ կերպ՝ f(o)l ճառագայթի և C շրջանագծի հատման կետն է, իսկ f(t)-ն, 0 \leqslant t \leqslant 1, C շրջանագծի այնպիսի կետ է, որի համար l ճառագայթի և O կետը f(t) կետի հետ միացնող հատվածի միջև կազմված անկյունը հավասար է 2 \pi t (տես նկարը)։ Պարզ է, որ փոխելով l ճառագայթի դիրքը՝ կստանանք անթիվ բազմությամբ տարբեր կետեր, որոնց համար կետերի բազմությունը C շրջանագիծն է։ X տարածության բոլոր կորերի բազմությունում մտցվում է համարժեքության հարաբերություն հետևյալ կերպ՝ f:[a,b]\rightarrow X և g:[c,d]\rightarrow X կետերը կոչվում են համարժեք, եթե տեղի ունի f=goh առնչությունը, որտեղ h:[a,b]\rightarrow [c,d][a,b] հատվածի այնպիսի տոպոլոգիական արտապատկերում է [c,d] հատվածի վրա, որի համար h(a)=c, իսկ h(b)=d։ Եթե f:[a,b]\rightarrow X որևէ կոր է, ապա կարելի է կառուցել այնպիսի g:[0,l] \rightarrow X կոր, որը լինի համարժեք f կորին։ Օրինակ, g=foh, որտեղ h:[0,l] \rightarrow [a,b] տոպոլոգիական արտապատկերումը տրվում է h(t)=(b-a)t+a բանաձևով։ Այս հանգամանքը հնարավորություն է տալիս դիտարկել միայն այնպիսի կորեր, որոնց որոշման տիրույթը [0,l] հատվածն է։

Վերը նշված համարժեքության հարաբերության հետևանքով X տարածության բոլոր կորերի բազմությունը տրոհվում է իրար համարժեք կորերի դասերի։ Լրիվ խստությամբ X տարածության կորը կոչվում է յուրաքանչյուր այդպիսի համարժեքության դաս։ Կորի նշված գաղափարի հետ սերտորեն կապված է գծի բավականաչափ ընդհանուր գաղափարը։ Ժամանակակից տոպոլոգիան առաջադրեց գծի մասին պատկերացման ճշգրտության խնդիրը, որը լուծեց խորհրդային մաթեմատիկոս Պ.Ուրիսոնը (1921)։ Ըստ նրա սահմանման, գիծ է կոչվում յուրաքանչյուր միաչափ կոնտինուում, այսինքն միաչափ, կապակցված, բիկոմպակտ, հաուսդորֆյան տարածություն։ Հարթ գծի սահմանումը (որը համապատասխանում Է Ուրիսոնի սահմանման հետ) տվել է դեռևս Գ.Կանտորը, հարթ գծերը հաճախ անվանում են կանտորյան գծեր։ Որպեսզի X \subset R^2 կոնտինուումը լինի կանտորյան գիծ, անհրաժեշտ է և բավարար, որ XR^2 հարթության նկատմամբ չունենա ոչ մի ներքին կետ։

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Հայկական սովետական հանրագիտարանից, որի նյութերը թողարկված են Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) թույլատրագրի ներքո։ CC-BY-SA-icon-80x15.png