Եռանիստ անկյուն

նկ. 1 Եռանիստ անկյուն

Եռանիստ անկյուն, ընդհանուր գագաթ և զույգ առ զույգ ընդհանուր կողեր ունեցող, բայց մի հարթության մեջ չընկած երեք հարթ անկյուններով սահմանափակված տարածության մաս։

Թեորեմներ

Ցանկացած եռանիստ անկյան համար գոյություն ունեն հետևյալ թեորեմները․

Թեորեմ $1$

Եռանիստ անկյուն

Ցանկացած եռանիստ անկյան 2 հարթ անկյունների գումարը միշտ ավելի մեծ է, քան երրորդ հարթ անկյունը։

$\alpha +\beta <\gamma$

$\alpha +\gamma <\beta$

$\beta +\gamma <\alpha$

Թեորեմ $2$

Եռանիստ անկյան հարթ անկյունների գումարը միշտ փոքր է $360^{0}$ից։

$\alpha +\beta +\gamma <360^{0}$

Կոսինուսների թեորեմը եռանիստ անկյան համար

Դիցուք տրված է եռանիստ անկյուն (տես նկարը), α-ն, β-ն, γ-ն նրա հարթ անկյուններն են, A-ն, B-ն, C-ն՝ β և γ, α և γ, α և β անկյունների հարթություններով կազմված երկնիստ անկյուններ։

Կոսինուսների առաջին թեորեմը եռանիստ անկյան համար՝

• $\cos {\alpha }=\cos {\beta }\cos {\gamma }+\sin {\beta }\sin {\gamma }\cos {A}$։

Կոսինուսների երկրորդ թեորեմը եռանիստ անկյան համար՝

• $\cos {A}=-\cos {B}\cos {C}+\sin {B}\sin {C}\cos {\alpha }$։

Սինուսների թեորեմը եռանիստ անկյան համար

${\sin {\alpha } \over \sin A}={\sin \beta \over \sin B}={\sin \gamma \over \sin C}$

Ապացուցում  

OABC՝ տրված եռանիստ անկյուն է (նյ. նկ. 1): Դիտարկենք A գագաթով եռանիստ անկյուն, ABO, ACO կազմած հարթություններով և BAC անկյունով։ Գրենք անհավասարությունը.

$\angle BAC<\angle BAO+\angle CAO$

Համպատասխանաբար B և C գագաթների համար.

$\angle ABC<\angle ABO+\angle CBO$

$\angle ACB<\angle ACO+\angle BCO$

Գումարելով այդ անհավասարությունները և հաշվի առնելով, որ ABC եռանկյան անկյունների գումարը հավասար է 180°, ստանում ենք

$180<\angle BAO+\angle CAO+\angle ABO+\angle CBO+\angle BCO+\angle ACO=180-\angle AOB+180-\angle BOC+180-\angle AOC$

Հետևաբար։ $\angle AOB+\angle BOC+\angle AOC<360$

Աղբյուրներ

• Երկրաչափության 10–րդ դասարանի դասագիրք Արխիվացված 2016-03-04 Wayback Machine