Աստիճանային շարք
Աստիճանային շարք մեկ փոփոխականով, դա ֆորմալ հանրահաշվական արտահայտություն է։
որում գործակիցներ ընտրվում է մի ինչ որ օղակից։
Աստիճանային շարքերի տարածություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Տարածությունը մեկ փոփոխականով աստիճանային շարքով և գործակիցներ -ից նշանակում են. տարածությունը ունի դիֆերենցիալ հանրահաշվի կառուցվածք (կոմուտատիվ օղակով, ամբողջական, միավորով, եթե այդպիսին է ) օղակը։ Այն հաճախ օգտագործում են մաթեմատիկայում նկատի առնելով, որ նրանում հեշտ ներկայացնելի և լուծելի է ֆորմալ դիֆերենցիալ-հանրահաշվական և նույնիսկ ֆունկցիոնալ հարաբերակցությունը (տես․ մեթոդ ածանցավոր ֆունկցիաներ)։ Դրա օգտագործումով այդ հարաբերակցությունը փոխակերպվում է աստիճանական գործակիցներով հանրահաշվական հավասարման։ Եթե այն թույլատրվում է, ասում է ֆորմալ աստիճանային շարքի տրված խնդրի լուծման մասին։
- ում սահմամված է գումարման, բազմապատկման, ֆորմալ դիֆերենցում և ֆորմալ վերադրում գործողությունները։
Ենթադրենք
Այդ ժամանակ։
- (այդ դեպում անհրաժեշտ է, որ պահպանվի )
Աստիճանային շարքի զուգամիտություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Իրական կամ կոմպլեքս գործակիցներով ֆորմալ աստիճանային շարքից, գրառման ճանապարհով, ինչ որ իրական ֆորմալ փոփոխականի մեծությունից, իրական և կոմպլեքս դաշտում կարելի է ստանալ աստիճանային շարք։ Աստիճանային շարքը համարվում է զուգամիտվող (գումարվող), եթե զուգամիտվում է մասնակի հաջորդականության գումարը, կազմված նրա անդամներից և կոչվում է բացարձակ զուգամիտություն, եթե զուգամիտվում է մասնակի հաջորդականության գումարը, կազմված նրա անդամներից, վերցրած մոդուլով (նորմայով)։
Զուգամիտության հայտանիշներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Աստիճանային շարքի համար գոյություն ունի մի քանի թեորեմ, նկարագրելով պայմանը և բնույթը զուգամիտության։
- Աբելի առաջին թեորեմ։ Ենթադրենք շարքը զուգամիտվում է կետում։ Այդ ժամանակ այդ շարքը զուգամիտվում է բացարձակապես շրջանում և հավասարաչափորեն այդ շրջանի ցանկացած կոմպակտ ենթաբազմությունում։ Հակադարձելով այդ թեորեմային, ստանում ենք, եթե աստիճանային շարքը տարամիտվում է դեպքում, այն տարամիտվում է ցանկացած դեպքում, այնպիսիք որ ։ Աբելի առաջին թեորեմայից նույնպես հետևում է, որ գոյություն ունի շրջանագծի այդպիսի շառավիղ ( հնարավոր է, զրոյական կամ անվերջ), որ -ի դեպքում շարքը զուգամիտում է բացարձակապես (և հավասարաչափորեն այդ շրջանի -ի ) կոմպակտ ենթաբազմությունում, իսկ դեպքում տարամիտում է։ Այդ մեծությանը անվանում են շարքի զուգամիտության շառավիղ, իսկ շրջանը՝ զուգամիտության շրջան։
- Կոշի-Ադամարի բանաձև։ Աստիճանային շարքի զուգամիտության շառավղի մեծությունը (եթե վերևի սահման գոյություն ունի և դրական է, Աստիճանային շարքի մասին Ադամարի թեորեմ) կարելի է հաշվել հետևյալ բանաձևով․
(Վերին սահմանի սահմանման առիթով տես․ «Հաջորդականության մասնակի սահման» հոդվածը)։
Ենթադրենք և , երկու աստիճանային շարք են և զուգամիտության շառավիղներով։ Այդ ժամանակ
Եթե շարքի համար -ը զրոյական ազատ անդամ է, ապա
Հարցը վերին սահմանի կետերում զուգամիտության շարքի մասին բավականին բարդ է շրջանի զուգամիտությունը և այստեղ ընդհանուր պատասխան չկա։ Ահա մի քանիսը շարքի զուգամիտության սահմանային կետերում շրջանի զուգամիտության մասին թեորեմայից։
- Դալամբերի հայտանիշ։ Եթե և դեպքում,
- անհավասարությունը տեղի ունի,
- ապա աստիճանային շարքը զուգամիտվում է շրջանի բոլոր կետերում և հավասարաչափ -ով։
- Դիրիխլիի հայտանիշ։ Եթե աստիճանային շարքի բոլոր գործակիցները դրական են և հաջորդականությունը մոնոտոն զուգամիտվում է 0-ի, ապա այդ շարքը զուգամիտվում է շրջանագծի բոլոր կետերում, բացի, գուցե կետում։
Աստիճանային շարքի գումարը, ինչպես կոմպլեքս պարամետրի ֆունկցիա, հանդիսանում է վերլուծական ֆունկցիայի տեսության ուսումնասիրման առարկա։
Փոփոխակումներ և ընդհանրացումներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
n փոփոխականով աստիճանային շարք, դա ֆորմալ հանրահաշվական տեսքի արտահայտություն է,
- կամ բազմաինդեքս նշանակումներ,
որտեղ -ը վեկտորն է, -ն ՝ մուլտիինդեքսը, -ն միանդամը։ պարամետրերով և գործակիցներով աստիճանային շարքի տարածությունը նշանակվում է՝ ։ Նրանում սահմանված է գումարման, բազմապատկման, յուրաքանչյուր փոփոխականի դիֆերենցման և -տեղային վերադրման գործողություններ։ Ենթադրենք
Ապա.
տարածության մասին կարելի է գործնականում ասել նույնը, ինչ և ։
Վիքիպահեստն ունի նյութեր, որոնք վերաբերում են «Աստիճանային շարք» հոդվածին։ |
|
Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից (հ․ 8, էջ 469)։ |