Վեկտորական տարածություն

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից

Գծային կամ վեկտորական տարածությունը հանդիսանում է գծային հանրահաշվի հիմնական ուսումնասիրման առարկան:

Սահմանում[խմբագրել]

 \{x_0, x_1, x_2 ....\}=L էլեմենտների բազմությունը կոչվում է գծային տարածություն, եթե տեղի ունեն հետևյալ պնդումները`

  1.  \forall x, y \in L համապատասխանության մեջ է դրած ինչ-որ  z \in L, որը կոչվում է  x, y գումար` x+y,
  2.  \forall \lambda իրական թվին և  \forall x \in L համապատասխանության մեջ է դրած z \in L, որը կոչվում է  \lambda*x արտադրյալ:

Հատկություններ[խմբագրել]

Վերոհիշյալ գործողությունները` գումարումը և բազմապատկումը, բավարարում են հետևյալ ութ աքսիոմներին`

  1.  x + y  = y + x, գումարումը կոմուտատիվ է
  2. (x + y) + z = x + (y + z), գումարումը ասոցիատիվ է
  3. գոյություն ունի տարածության մեջ զրոյական էլեմենտ, այնպիսին որ, \forall x \in L ճիշտ է x + 0 = x
  4. կամայական էլեմենտի ունի իր հակադիրը`  x + x^' = 0, x, x^' \in L
  5. գոյություն ունի միավոր` E*x=x, \forall x \in L
  6. (\lambda *\mu)*x=\lambda*(\mu*x) , \forall x \in L , որտեղ \lambda, \mu իրական թվեր են
  7. (\lambda +\mu)*x=\lambda*x + \mu*x, \forall x \in L , որտեղ \lambda, \mu իրական թվեր են
  8. \lambda(x+y)=\lambda*x +\lambda*y, \forall x, y \in L

Գծային տարածության բազիս և չափողականություն[խմբագրել]

L գծային տարածության x, y, z... էլեմենտները կոչվում են գծորեն կախված, եթե գոյություն ունեն \alpha, \beta, \gamma ... այնպիսին, որ միաժամանակ զերո չեն և \alpha x + \beta y + \gamma z = 0:

L գծային տարածության x, y, z... էլեմենտները կոչվում են գծորեն անկախ, եթե գոյություն չունեն նման սկալյարներ, այսինքն այդ համախմբից չկա այնպիսին, որը կարտահայտվի մյուսների գծային կոմբինացիաով:

Եթե էլեմենտների համախումբը պարունակում է զրոյական էլեմենտը, հետևաբար դրանք գծորեն կախված են: L գծային տարածության l_1, l_2, ...l_n համախումբը կոչվում է բազիս այդ տարածության մեջ, եթե դրանք գծորեն անկախ են և այդ տարածության կամայական x էլեմենտի համար գոյություն ունեն այնպիսի \alpha, \beta, \gamma սկալյարներ, որ x=\alpha l_1 + \beta l_2  + ... \gamma l_n