Վեկտորական տարածություն

Գծային կամ վեկտորական տարածությունը հանդիսանում է գծային հանրահաշվի հիմնական ուսումնասիրման առարկան:

Սահմանում [խմբագրել]

$\{x_0, x_1, x_2 ....\}=L$ էլեմենտների բազմությունը կոչվում է գծային տարածություն, եթե տեղի ունեն հետևյալ պնդումները`

$\forall x, y \in L$ համապատասխանության մեջ է դրած ինչ-որ $z \in L$ , որը կոչվում է $x, y$ գումար` $x+y$ ,
$\forall \lambda$ իրական թվին և $\forall x \in L$ համապատասխանության մեջ է դրած $z \in L$ , որը կոչվում է $\lambda*x$ արտադրյալ:

Հատկություններ [խմբագրել]

Վերոհիշյալ գործողությունները` գումարումը և բազմապատկումը, բավարարում են հետևյալ ութ աքսիոմներին`

$x + y = y + x$ , գումարումը կոմուտատիվ է
$(x + y) + z = x + (y + z)$ , գումարումը ասոցիատիվ է
գոյություն ունի տարածության մեջ զրոյական էլեմենտ, այնպիսին որ, $\forall x \in L$ ճիշտ է $x + 0 = x$
կամայական էլեմենտի ունի իր հակադիրը` $x + x^' = 0, x, x^' \in L$
գոյություն ունի միավոր` $E*x=x, \forall x \in L$
$(\lambda *\mu)*x=\lambda*(\mu*x) , \forall x \in L$ , որտեղ $\lambda, \mu$ իրական թվեր են
$(\lambda +\mu)*x=\lambda*x + \mu*x, \forall x \in L$ , որտեղ $\lambda, \mu$ իրական թվեր են
$\lambda(x+y)=\lambda*x +\lambda*y, \forall x, y \in L$

Գծային տարածության բազիս և չափողականություն [խմբագրել]

$L$ գծային տարածության $x, y, z...$ էլեմենտները կոչվում են գծորեն կախված, եթե գոյություն ունեն $\alpha, \beta, \gamma ...$ այնպիսին, որ միաժամանակ զերո չեն և $\alpha x + \beta y + \gamma z = 0$ :

$L$ գծային տարածության $x, y, z...$ էլեմենտները կոչվում են գծորեն անկախ, եթե գոյություն չունեն նման սկալյարներ, այսինքն այդ համախմբից չկա այնպիսին, որը կարտահայտվի մյուսների գծային կոմբինացիաով:

Եթե էլեմենտների համախումբը պարունակում է զրոյական էլեմենտը, հետևաբար դրանք գծորեն կախված են: $L$ գծային տարածության $l_1, l_2, ...l_n$ համախումբը կոչվում է բազիս այդ տարածության մեջ, եթե դրանք գծորեն անկախ են և այդ տարածության կամայական $x$ էլեմենտի համար գոյություն ունեն այնպիսի $\alpha, \beta, \gamma$ սկալյարներ, որ $x=\alpha l_1 + \beta l_2 + ... \gamma l_n$