Քվատերնիոններ
Այս հոդվածն աղբյուրների կարիք ունի։ Դուք կարող եք բարելավել հոդվածը՝ գտնելով բերված տեղեկությունների հաստատումը վստահելի աղբյուրներում և ավելացնելով դրանց հղումները հոդվածին։ Անհիմն հղումները ենթակա են հեռացման։ |
Քվատերնիոնները կոմպլեքս թվերի ընդհանրացում են։ Նրանք ասոցատիվ, ոչ-կոմուտատիվ *-հանրահաշիվների օրինակ են։ Որպես գծային տարածություն նրանք համարժեք են քառաչափ գծային տարածությանը։ Նրանց առաջին անգամ սահմանել և նկարագրել է իրլանդացի մաթեմատիկոս Վիլյամ Ռոուեն Համիլտոն-ը 1843 թվին։
Պատմություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
1835 թ-ին 30 տարեկանում Համիլտոնը գիտակցեց, որ կոմպլեքս թվերը կարելի է ներկայացնել որպես իրական թվերի մի զույգ՝ (x,y)։ Ոգևորված -ի և երկչափ երկրաչափության կապով նա փորձում էր եռաչափ տարածությունը նկարագրող մի ավելի մեծ հանրահաշիվ կառուցել։
![Բրուգհեմի կամրջի հուշատախտակը.](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a2/William_Rowan_Hamilton_Plaque_-_geograph.org.uk_-_347941.jpg/220px-William_Rowan_Hamilton_Plaque_-_geograph.org.uk_-_347941.jpg)
Հետագայում նա գրում էր իր որդուն. «Վերը նշված ամսվա ամեն առավոտյան, երբ ես իջնում էի նախաճաշելու, քո կրտսեր եղբայրը` Վիլյամ Էդվինն ու դու ինձ հարցնում էիք. ՛Հայրիկ, դու սովորե՞լ ես բազմապատկել տրիպլետները։՛ Դրան ես ստիպված էի գլուխս տխուր թափահարելով պատասխանել. ՛Ոչ, ես դրանք միայն գումարել և հանել եմ կարողանում։՛»
Վերջապես, 1843 թ-ի հոկտեմբերի 16-ին, կնոջ հետ Դուբլինում Թագավորական Ջրանցք-ի կողքով դեպի Իրլանդական Թագավորական Ակադեմիայում հանդիպման քայլելիս նա կատարեց իր հայտնագործությունը։ «Կարելի է ասել, ես զգացի, որ մտքերիս գալվանական շղթան փակվեց. և այդ փակումից աջառացած կայծերը i,j և k-ի միջև ֆունդամենտալ հավասարումներն էին»։ Եվ մաթեմատիկական վանդալիզմի հայտնի ակտում Համիլտոնը Բրուգհեմի կամրջի քարի վրա փորագրում է հայտնի հավասարումները՝
Սահմանում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Քվատերնիոն կանվանենք
տեսքի կամայական տարր, որտեղ բազիսային էլէեմենտները ասոցատիվ են և բավարարում են (1) առնչություններին։ Քվատերնիոնային հանրահաշիվն օժտված է նաև *-գործողությամբ, որը սահմանվում է հետևյալ կերպ՝
Հեշտ է ստուգել (հաշվի առնելով (1) և (2) սահմանումները), որ
Հատկություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Արտադրյալ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Ձախից և աջից (1) առնչությունները բազմապատկելով -ով կստանանք համարժեք առնչություններ՝
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8c/Quaternion_arm.png/220px-Quaternion_arm.png)
Ժամսլաքի ուղղությամբ շարժվելիս, կամայական երկու էլեմենտների արտադրյալը հավասար է երրորդին։ Ժամսլաքին հակառակ ուղղությամբ շարժվելիս, արտադրյալը ձեռք է բերում «-» նշանը։
Նորմ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Քվատերնիոնային նորմը սահմանվում հետևյալ կերպով՝
Հեշտ է ստուգել, որ քվատերնիոնները նորմավորված հանրահաշիվ են՝
Թենզորային ներկայացում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Նշանակենք : Այս նշանակման միջոցով քվատերնիոնների արտադրյալը կարելի է գրել ավելի կոմպակտ տեսքով՝
Քլիֆորդի հանրհահաշիվ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Հաշվի առնելով (3) առնչությունը կարող ենք գրել՝
Այս առնչությունները սահմանում են Քլիֆորդի հանրահաշիվը։ Այսպիսով, հեշտ է տեսնել, որ :