«Մասնակից:Dminasyan/Ավազարկղ-մաթ»–ի խմբագրումների տարբերություն

Content deleted Content added

Գծային

12:15, 3 Հուլիսի 2020-ի տարբերակ

Կրամերի մեթոդ

Կրամերի մեթոդը գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգի լուծման մեթոդ է, որում հավասարումների թիվը համընկնում է ոչզրոյական մատրիցայի գործակիցների համակարգի գլխավոր որոշիչին, ընդ որում այդպիսի հավասարումների լուծումը գոյություն ունի և միակն է)^[1]։

Մեթոդի նկարագրությունը

$n$ անհայտով $n$ գծային հավասարումների համակարգի համար

{\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\ldots +a_{1n}x_{n}=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\ldots +a_{2n}x_{n}=b_{2}\\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\ldots +a_{nn}x_{n}=b_{n}\\\end{cases}}

համակարգի ոչզրոյական $\Delta$ մատրիցայի որոշիչով, լուծումը գրվում է հետևյալ տեսքով՝

x_{i}={\frac {1}{\Delta }}{\begin{vmatrix}a_{11}&\ldots &a_{1,i-1}&b_{1}&a_{1,i+1}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&\ldots &a_{2,i-1}&b_{2}&a_{2,i+1}&\ldots &a_{2n}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\a_{n-1,1}&\ldots &a_{n-1,i-1}&b_{n-1}&a_{n-1,i+1}&\ldots &a_{n-1,n}\\a_{n1}&\ldots &a_{n,i-1}&b_{n}&a_{n,i+1}&\ldots &a_{nn}\\\end{vmatrix}}

(համակարգի մատրիցայի $i$ -րդ սյունը փոխարինվում է ազատ անդամների սյունքվ)։ Մեկ այլ ձևով Կրամերի կանոնը ձևակերպվում է հետևյալ տեսքով՝ ցանկացած c₁, c₂, …, c_n գործակիցների համար իրավացի է հետևյալ հավասարությունը՝

(c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\dots +c_{n}x_{n})\cdot \Delta =-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}&b_{2}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}&b_{n}\\c_{1}&c_{2}&\ldots &c_{n}&0\\\end{vmatrix}}

Այս ձևով Կրամերի մեթոդը իրավացի է առանց ենթադրության, որ $\Delta$ զրոյից տարբեր է, նույնիսկ անհրաժեշտ չէ, որ համակարգի գործակիցները լինեն ամբողջական շրջանի էլեմենտներ (համակարգի որոշիչը կարող է լինել նույնիսկ գործակիցների շրջանում զրոյի բաժանարար)։ Կարելի է նույնիսկ ընդունել, որ $b_{1},b_{2},...,b_{n}$ և $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ , կամ $c_{1},c_{2},...,c_{n}$ կազմված են ոչ թե համակարգի գործակիցների շրջանի էլեմենտներից, այլ այդ շրջանի ինչ որ մոդուլը։ Այս տեսքով Կրամերի բանաձևը օգտագործվում է, օրինակ, Գրամի որոշիչի և Նակայամայի լեմմայի բանաձևերի ապացուցման համար։

Օրինակ

Իրական գործակիցներով հավասարումների համակարգ՝

{\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}=b_{2}\\a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3}=b_{3}\\\end{cases}}

Որոշիչներ՝

\Delta ={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{vmatrix}},\ \ \Delta _{1}={\begin{vmatrix}b_{1}&a_{12}&a_{13}\\b_{2}&a_{22}&a_{23}\\b_{3}&a_{32}&a_{33}\\\end{vmatrix}},\ \

\Delta _{2}={\begin{vmatrix}a_{11}&b_{1}&a_{13}\\a_{21}&b_{2}&a_{23}\\a_{31}&b_{3}&a_{33}\\\end{vmatrix}},\ \ \Delta _{3}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&b_{2}\\a_{31}&a_{32}&b_{3}\\\end{vmatrix}}

Որոշիչներում գործակիցների սյունը համապատասխան անհայտով փոխարինվում է համակարգի ազատ անդամների սյունով:

Լուծում՝

x_{1}={\frac {\Delta _{1}}{\Delta }},\ \ x_{2}={\frac {\Delta _{2}}{\Delta }},\ \ x_{3}={\frac {\Delta _{3}}{\Delta }}

Օրինակ՝

{\begin{cases}2x_{1}+5x_{2}+4x_{3}=30\\x_{1}+3x_{2}+2x_{3}=150\\2x_{1}+10x_{2}+9x_{3}=110\\\end{cases}}

Որոշիչներ՝

\Delta ={\begin{vmatrix}2&5&4\\1&3&2\\2&10&9\\\end{vmatrix}}=5,\ \ \Delta _{1}={\begin{vmatrix}30&5&4\\150&3&2\\110&10&9\\\end{vmatrix}}=-760,\ \

\Delta _{2}={\begin{vmatrix}2&30&4\\1&150&2\\2&110&9\\\end{vmatrix}}=1350,\ \ \Delta _{3}={\begin{vmatrix}2&5&30\\1&3&150\\2&10&110\\\end{vmatrix}}=-1270.

$x_{1}=-{\frac {760}{5}}=-152,\ \ x_{2}={\frac {1350}{5}}=270,\ \ x_{3}=-{\frac {1270}{5}}=-254$

Հաշվարկային բարդություն

Կրամերի մեթոդը պահանջում է $n\times n$ չափի $n+1$ -րդ որոշիչի հաշվում։ Գաուսի մեթոդի կիրառման դեպքում որոշիչների հաշվարկի համար գումարման և բազմապատկման գործողությունների պարզ էլեմենտար բարդության մեթոդը ունի $O(n^{4})$ կարգ, որը ավելի բարդ է, քան Գաուսի մեթոդով համակարգի ուղիղ լուծման դեպքում։ Այդ իսկ պատճառով, հաշվարկի համար ժամանակի ծախսատարության տեսանկյունից, համարվում է ոչնպատակահարմար։ Սակայն 2010 թվականին ցույց է տրվել, որ Կրամերի մեթոդը կարող է իրականացվել $O(n^{3})$ բարդությամբ, որը համեմատելի է Գաուսի մեթոդի բարդությանը]]^[2]։

Գրականություն

Ի․Ա․ Մացև։ Գծային հանրահաշվի հիմունքները։ — 3-րդ հրատ․, վերամշակված, Մոսկվա, «Նաուկա», 1970 թվական — 400 էջ

Տես նաև

Գաուսի մեթոդ

Ծանոթագրություն

↑ Cramer, Gabriel (1750). «Introduction à l'Analyse des lignes Courbes algébriques» (ֆրանսերեն). Geneva: Europeana. էջեր 656–659. Վերցված է 2012-05-18-ին.
↑ Ken Habgood and Itamar Arel. 2010. Revisiting Cramer's rule for solving dense linear systems. In Proceedings of the 2010 Spring Simulation Multiconference (SpringSim '10)

[1] Cramer, Gabriel (1750). «Introduction à l'Analyse des lignes Courbes algébriques» (ֆրանսերեն). Geneva: Europeana. էջեր 656–659. Վերցված է 2012-05-18-ին.

[2] Ken Habgood and Itamar Arel. 2010. Revisiting Cramer's rule for solving dense linear systems. In Proceedings of the 2010 Spring Simulation Multiconference (SpringSim '10)

[1]

[2]

@@ Տող 1. / Տող 1. @@
+== Կրամերի մեթոդ ==
-Բանաձևեր
+'''Կրամերի մեթոդը''' [[գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգ]]ի լուծման մեթոդ է, որում հավասարումների թիվը համընկնում է ոչզրոյական մատրիցայի գործակիցների համակարգի գլխավոր [[մատրիցայի որոշիչ|որոշիչ]]ին, ընդ որում այդպիսի հավասարումների լուծումը գոյություն ունի և միակն է)<ref>{{cite web
-H<sub>2</sub>O
+  | title = Introduction à l'Analyse des lignes Courbes algébriques
+  | author = Cramer, Gabriel
+  | year = 1750
+  | location = Geneva
+  |lang=fr
+  | url = http://www.europeana.eu/resolve/record/03486/E71FE3799CEC1F8E2B76962513829D2E36B63015
+  | accessdate = 2012-05-18
+  | publisher = Europeana
+  | pages = 656–659
+}}</ref>։
+== Մեթոդի նկարագրությունը ==
-մ x 6մ x 3մ = 36 մ <sup>3</sup>
+<math>n</math> անհայտով <math>n</math> գծային հավասարումների համակարգի համար
+: <math>\begin{cases}
+a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n = b_1\\
+a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n = b_2\\
+\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots\cdots\\
+a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \ldots + a_{nn}x_n = b_n\\
+\end{cases}</math>
+համակարգի ոչզրոյական <math> \Delta </math> մատրիցայի որոշիչով, լուծումը գրվում է հետևյալ տեսքով՝
+: <math>x_i=\frac{1}{\Delta}\begin{vmatrix}
+a_{11} & \ldots & a_{1,i-1} & b_1  & a_{1,i+1} & \ldots & a_{1n} \\
+a_{21} & \ldots & a_{2,i-1} & b_2 & a_{2,i+1} & \ldots & a_{2n} \\
+\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
+a_{n-1,1} & \ldots & a_{n-1,i-1} & b_{n-1} & a_{n-1,i+1} & \ldots & a_{n-1,n} \\
+a_{n1} & \ldots & a_{n,i-1} & b_n & a_{n,i+1} & \ldots & a_{nn} \\
+\end{vmatrix}</math>
+(համակարգի մատրիցայի <math>i</math>-րդ սյունը փոխարինվում է ազատ անդամների սյունքվ)։
+Մեկ այլ ձևով Կրամերի կանոնը ձևակերպվում է հետևյալ տեսքով՝ ցանկացած c<sub>1</sub>, c<sub>2</sub>, …, c<sub>n</sub> գործակիցների համար իրավացի է հետևյալ հավասարությունը՝
+: <math>(c_1x_1+c_2x_2+\dots+c_nx_n)\cdot\Delta = -\begin{vmatrix}
+a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} & b_1\\
+a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} & b_2\\
+\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\
+a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} & b_n\\
+c_{1}  & c_{2}  & \ldots & c_{n}  & 0\\
+\end{vmatrix}</math>
+Այս ձևով Կրամերի մեթոդը իրավացի է առանց ենթադրության, որ <math>\Delta</math> զրոյից տարբեր է, նույնիսկ անհրաժեշտ չէ, որ համակարգի գործակիցները լինեն ամբողջական շրջանի էլեմենտներ (համակարգի որոշիչը կարող է լինել նույնիսկ գործակիցների շրջանում զրոյի բաժանարար)։ Կարելի է նույնիսկ ընդունել, որ <math>b_1,b_2,...,b_n</math> և <math>x_1,x_2,...,x_n</math>, կամ <math>c_1,c_2,...,c_n</math> կազմված են ոչ թե համակարգի գործակիցների շրջանի էլեմենտներից, այլ այդ շրջանի ինչ որ մոդուլը։ Այս տեսքով Կրամերի բանաձևը օգտագործվում է, օրինակ, Գրամի որոշիչի և Նակայամայի լեմմայի բանաձևերի ապացուցման համար։
-մ x 6մ x 3մ = 36 մ <math>^3</math>
+== Օրինակ ==
-<math> \sqrt[3]{x^2-3x+1} </math>
+Իրական գործակիցներով հավասարումների համակարգ՝
+: <math>\begin{cases}
+a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 = b_1\\
+a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3 = b_2\\
+a_{31}x_1 + a_{32}x_2 + a_{33}x_3 = b_3\\
+\end{cases}</math>
+[[Որոշիչ]]ներ՝
-<math> \mbox{abc}_\mathrm{def} </math>
+:<math>\Delta=\begin{vmatrix}
+a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
+a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
+a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
+\end{vmatrix},\ \ \Delta_1=\begin{vmatrix}
+b_1 & a_{12} & a_{13} \\
+b_2 & a_{22} & a_{23} \\
+b_3 & a_{32} & a_{33} \\
+\end{vmatrix},\ \ </math>
+:<math>
+\Delta_2=\begin{vmatrix}
+a_{11} & b_1 & a_{13} \\
+a_{21} & b_2 & a_{23} \\
+a_{31} & b_3 & a_{33} \\
+\end{vmatrix},\ \ \Delta_3=\begin{vmatrix}
+a_{11} & a_{12} & b_1 \\
+a_{21} & a_{22} & b_2 \\
+a_{31} & a_{32} & b_3 \\
+\end{vmatrix}</math>
+Որոշիչներում գործակիցների սյունը համապատասխան անհայտով փոխարինվում է համակարգի ազատ անդամների սյունով:
-<math> H_2 O </math>
+Լուծում՝
-<math>a(1 + e^2 / 2)</math>
+: <math>x_1=\frac{\Delta_1}{\Delta},\ \ x_2=\frac{\Delta_2}{\Delta},\ \ x_3=\frac{\Delta_3}{\Delta}</math>
+Օրինակ՝
-<math>A \xleftarrow{n+\mu-1} B \xrightarrow[T]{n\pm i-1} C</math>
+: <math>\begin{cases}
+x_1 + 5x_2 + 4x_3 = 30\\
+x_1 + 3x_2 + 2x_3 = 150\\
+x_1 + 10x_2 + 9x_3 = 110\\
+\end{cases}</math>
+Որոշիչներ՝
+: <math>\Delta=\begin{vmatrix}
+& 5 & 4 \\
+& 3 & 2 \\
+& 10 & 9 \\
+\end{vmatrix}=5,\ \ \Delta_1=\begin{vmatrix}30&5&4\\150&3&2\\
+& 10 & 9 \\
+\end{vmatrix}=-760,\ \ </math>
+: <math>
+\Delta_2=\begin{vmatrix}
+& 30 & 4 \\
+& 150 & 2 \\
+& 110 & 9 \\
+\end{vmatrix}=1350,\ \ \Delta_3=\begin{vmatrix}
+& 5 & 30 \\
+& 3 & 150 \\
+& 10 & 110 \\
+\end{vmatrix}=-1270.</math>
+<math>x_1=-\frac{760}{5}=-152,\ \ x_2=\frac{1350}{5}=270,\ \ x_3=-\frac{1270}{5}=-254</math>
+== Հաշվարկային բարդություն ==
+Կրամերի մեթոդը պահանջում է <math>n\times n</math> չափի <math>n+1</math>-րդ որոշիչի հաշվում։ Գաուսի մեթոդի կիրառման դեպքում որոշիչների հաշվարկի համար գումարման և բազմապատկման գործողությունների պարզ էլեմենտար բարդության մեթոդը ունի <math>O(n^4)</math> կարգ, որը ավելի բարդ է, քան Գաուսի մեթոդով համակարգի ուղիղ լուծման դեպքում։ Այդ իսկ պատճառով, հաշվարկի համար ժամանակի ծախսատարության տեսանկյունից, համարվում է ոչնպատակահարմար։ Սակայն 2010 թվականին ցույց է տրվել, որ Կրամերի մեթոդը կարող է իրականացվել <math>O(n^3)</math> բարդությամբ, որը համեմատելի է Գաուսի մեթոդի բարդությանը]]<ref>''Ken Habgood and Itamar Arel.'' 2010. Revisiting Cramer's rule for solving dense linear systems. In Proceedings of the 2010 Spring Simulation Multiconference (SpringSim '10)</ref>։
+== Գրականություն ==
+* ''Ի․Ա․ Մացև''։ Գծային հանրահաշվի հիմունքները։ — 3-րդ հրատ․, վերամշակված, Մոսկվա,  «Նաուկա», 1970 թվական — 400 էջ
+== Տես նաև ==
+* [[Գաուսի մեթոդ]]
+== Ծանոթագրություն ==
+{{Ծանցանկ}}
+[[Կատեգորիա:Մաթեմատիկա]]
+[[Կատեգորիա:Որոշիչներ]]