Պտղոմեոսի թեորեմ

Պտղոմեոսի թեորեմ, Էվկլիդեսյան երկրաչափության մեջ ցույց է տալիս կապը ներգծյալ քառանկյան անկյունագծերի և կողմերի միջև։ Թեորեմը անվանվել է hույն աստղագետ և մաթեմատիկոս Կլավդիոս Պտղոմեոսի պատվին։

Եթե ABCD ներգծյալ քառանկյան անկյունագծերն են AC-ն և BD-ն ուրեմն՝

$|{\overline {AC}}|\cdot |{\overline {BD}}|=|{\overline {AB}}|\cdot |{\overline {CD}}|+|{\overline {BC}}|\cdot |{\overline {AD}}|$

Այսինքն ներգծյալ քառանկյան անկյունագծերի արտադրյալը հավասար է հանդիպակաց կողմերի արտադրյալների գումարին։ Ճիշտ է նաև հակադարձ թեորեմը՝ եթե քառանկյան անկյունագծերի արտադրյալը հավասար է հադպակած կողմերի արտադրյալների գումարին ուրեմն քառանկյանը հնարավոր է արտագծել շրջանագիծ։

Ապացույց

ABCD ներգծյալ քառանկյան ∠BAC = ∠BDC, ∠ADB = ∠ACB քանի որ համապատասխանաբար հենված են BC և AB լարերի վրա։ AC հատվածի վրա գտնվող K կետի համար եթե ճիշտ է ∠ABK = ∠CBD հավասարումը ճիշտ են նաև ∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD, ∠CBK = ∠ABD. հավասարումները։ Այստեղից △ABK նման է △DBC-ին ինչպես նաև △ABD-ն △KBC-ին հետևաբար AK/AB = CD/BD, CK/BC = DA/BD կամ AK·BD = AB·CD, CK·BD = BC·DA. գումարելով երկու հավասարումները ստանում ենք AK·BD + CK·BD = AB·CD + BC·DA. կամ որ նույնն է. (AK+CK)BD = AB·CD + BC·DA. քանի որ AK և CK հատվածների գումարը հավասար է AC հատվածին.ստանում ենք AC·BD = AB·CD + BC·DA ինչը և պահանջվում էր ապացուցել։

Պտղոմեոսի անհավասարում

Պտղոմեոսի հավասարումը երբեք ճիշտ չէ քառանկյունների համար, որոնց հնարավոր չէ արտագծել շրջանագիծ։ Պտղոմեոսի անհավասարումը թեորեմի ընդլայնացված և առավել տարածված ձևն է։

${\overline {AB}}\cdot {\overline {CD}}+{\overline {BC}}\cdot {\overline {DA}}\geq {\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}$