Ներգծյալ քառանկյուն

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Jump to navigation Jump to search

Էվկլիդեսյան երկրաչափության մեջ ներգծյալ են անվանում այն քառանկյունը որի բոլոր գագաթները գտնվում են միևնույն շրջանագծի վրա։ Ի տարբերություն եռանկյունների ոչ բոլոր քառանկյուններին է հնարավոր արտագծել շրջանագիծ։

Հայտանիշներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ուռուցիկ քառանկյանը հնարավոր է արտագծել շրջանագիծ միայն այն դեպքում, եթե քառանկյան կողմերի միջնուղահայացները հատվում են մի կետում[1]։

Ուռուցիկ քառանկյանը հնարավոր է արտագծել շրջանագիծ միայն այն դեպքում երբ քառանկյան հանդիպակած անկյունների գումարը հավասար է ուղիղ անյանը[1]։ Կամ որ նունն է՝

Ուռուցիկ քառանկյանը հնարավոր է արտագծել շրջանագիծ միայն այն դեպքու եթե քառանկյան յուրաքանչյուր անկյան արտաքին անկյունը հավասար է հանդիպակած անկյան ներիքին անկյանը[2]։

Ուռուցիկ քառանկյանը հնարավոր է արտագծել շրջանագիծ միայն այն դեպքում, եթե քառանկյան կողմի և անկյունագծի կազմած անկյունը հավասար է հանդիպակած կողմի և մյուս անկյունագծի կազմած անկյանը[3]։

Պտղոմեոսի թեորեմը ցույց է տալիս որ ուռուցիկ քառանկյանը հնարավոր է արտագծել շրջանագիծ այն և միայն այն դեպքում, եթե քառանկյան անկյունագծերի արտադրյալը հավասար հանդիպակած կողմերի արտադրյալների գումարին[4] :էջ.25։

Ուռուցիկ քառանկյանը հնարավոր է արտագծել շրջանագիծ միայն այն դեպքում երբ[5]

Եթե AC և BD հատվածները հատվում են X կետում ապա ստացված քառանկյանը հնարավոր է արտագծել շրջանագիծ միայն այն դեպքում եթե[6]

Մակերես[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ներգծյալ քառանկյան S մակերեսը կարելի է հաշվել Բրահմագուպտայի բանաձևով[4]։

որտեղ p-ն հավասար է քառանկյան կիսապարագծին իսկ a, b, c և d քառանկյան կողմերը։ Այս բանաձևը կարելի դիտարկել որպես Բրետշնայդերի բանաձևի մասնավոր դեպք։ d=0 դեպքում ներգծյալ քառանկյունը վերծվում է եռանկյան և իսկ բանաձևը Հերոնի բանաձևի։

Ներգծյալ քառանկյունը նույն կողմերն ունեցող քառանկյուներից ամենամեծն է։ Սա կարելի է ապացուցել Բրետշնեյդերի բանաձևի ինչպես նաև մաթեմատիկական անալիզի միջոցով[7]։

Ուռուցիկ քառանկյան մակերեսը կարելի է արտահայտել a, b, c, d կողմերով և a, b կողմերի կաղմած A անկյունով[4]

բանաձևով,

կամ[4]

որտեղ θ անկյունագծերի կազմած անկյունն է։

Եթե A հավասար չէ ուղիղ անկյան մակերեսը կարելի է արտահայտել նաև[4]

բանաձևով

Ներգծյալ քառանկյան մակերեսը կարելի է արտահայտել նաև արտագծյալ շրջանագծի շառավղի միջոցով հետևյալ բանաձևի միջոցով[8]՝

որպես ուղղակի հետևանք[9]

անհավասարությունը հավասար է այն և միայն այն դեպքում երբ քառանկյունը քառակուսի է։

Անկյունագծեր[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Եթե ներգծյալ քառանկյան գագաթներն են A, B, C, D և kողմերը a=AB, b=BC, c=CD և d=DA անկյունագծեր AC-ի և BD-ի համապատասխանաբար p և q արժեքները կարելի է գտնել հետևյալ բանաձևերով՝

Ըստ Պտղոմեոսի երկրորդ թեորեմի՝

Օգտագործելով նույն թեորեմը ստանում են ակյունագծերի գումարի բանաձևը՝

Արտահայտությունները հավասար են միայն այն դեպքում երբ անկյունագծերը հավասար են։

Ցանկացաց ուռուցիկ ներգծյալ քառանկյան աանկյունագծերը հատվելիս քառանկյունը տրոհում են չորս եռանյուների, ընդ որում հանդիպակած եռանկյունները նման են։

Եթե ABCD-ն ներգծյալ քառանկյուն է ընդ որում AC և BD ուղիղների հատման կետը E-ն է ունեմն՝

Անկյուներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

a, b, c, d կողմերով s կիսապարագծով և a, b կողմերով կաղմված A անկյամբ ներգծյալ քառանկյան A անկյան եռանկյունաչափական ֆունկցիաները տրվում են հետևյալ բանաձևերով

Անկյունագծերի կազմած θ անկյան տանգենսը հավասար է՝

Եթե a և c հանդիպակած հատվածների շարունակությունները հատվելիս կազմում են անկյուն ապա՝

Պարամեշվարայի բանաձև[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Քառանկյան արտագծյալ շրջանագծի շառավիղը կարելի է արտահայտել քառանկյան a, b, c, d կողմերով Պարամեշվարայի բանաձև օգնությամբ

որտեղ s-ը քառանկյան կիսապարագիծն է։

Տես նաև[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  1. 1,0 1,1 Usiskin, Zalman; Griffin, Jennifer; Witonsky, David; Willmore, Edwin (2008), «10. Cyclic quadrilaterals», The Classification of Quadrilaterals: A Study of Definition, Research in mathematics education, IAP, pp. 63–65, ISBN 978-1-59311-695-8, https://books.google.am/books?id=ZkoUR5lRwdcC&pg=PA63 
  2. Joyce, D. E. (June 1997), «Book 3, Proposition 22», Euclid's Elements, Clark University, http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookIII/propIII22.html 
  3. Andreescu, Titu; Enescu, Bogdan (2004), «2.3 Cyclic quads», Mathematical Olympiad Treasures, Springer, pp. 44–46, 50, ISBN 978-0-8176-4305-8, https://books.google.am/books?id=mwUHJpvLOPsC&pg=PA44 
  4. 4,0 4,1 4,2 4,3 4,4 Durell, C. V.; Robson, A. (2003) [1930], Advanced Trigonometry, Courier Dover, ISBN 978-0-486-43229-8, https://books.google.am/books?id=3iYbExAsepEC 
  5. Hajja, Mowaffaq (2008), «A condition for a circumscriptible quadrilateral to be cyclic» (PDF), Forum Geometricorum 8: 103–6, http://forumgeom.fau.edu/FG2008volume8/FG200814.pdf 
  6. Bradley, Christopher J. (2007), The Algebra of Geometry: Cartesian, Areal and Projective Co-Ordinates, Highperception, p. 179, ISBN 1906338000, OCLC 213434422 
  7. Peter, Thomas (September 2003), «Maximizing the area of a quadrilateral», The College Mathematics Journal 34 (4): 315–6 
  8. Prasolov, Viktor (PDF), Problems in plane and solid geometry: v.1 Plane Geometry, http://students.imsa.edu/~tliu/Math/planegeo.pdf 
  9. Alsina, Claudi; Nelsen, Roger (2009), «4.3 Cyclic, tangential, and bicentric quadrilaterals», When Less is More: Visualizing Basic Inequalities, Mathematical Association of America, p. 64, ISBN 978-0-88385-342-9, https://books.google.am/books?id=U1ovBsSRNscC&pg=PA64