Ներգծյալ քառանկյուն

Էվկլիդեսյան երկրաչափության մեջ ներգծյալ են անվանում այն քառանկյունը որի բոլոր գագաթները գտնվում են միևնույն շրջանագծի վրա։ Ի տարբերություն եռանկյունների ոչ բոլոր քառանկյուններին է հնարավոր արտագծել շրջանագիծ։

Հայտանիշներ

Ուռուցիկ քառանկյանը հնարավոր է արտագծել շրջանագիծ միայն այն դեպքում, եթե քառանկյան կողմերի միջնուղահայացները հատվում են մի կետում։

Ուռուցիկ քառանկյանը հնարավոր է արտագծել շրջանագիծ միայն այն դեպքում երբ քառանկյան հանդիպակաց անկյունների գումարը հավասար է ուղիղ անյանը։ $A+C=B+D=\pi =180^{\circ }.$ Կամ որ նունն է՝

Ուռուցիկ քառանկյանը հնարավոր է արտագծել շրջանագիծ միայն այն դեպքու եթե քառանկյան յուրաքանչյուր անկյան արտաքին անկյունը հավասար է հանդիպակաց անկյան ներիքին անկյանը։

Ուռուցիկ քառանկյանը հնարավոր է արտագծել շրջանագիծ միայն այն դեպքում, եթե քառանկյան կողմի և անկյունագծի կազմած անկյունը հավասար է հանդիպակաց կողմի և մյուս անկյունագծի կազմած անկյանը։

Պտղոմեոսի թեորեմը ցույց է տալիս որ ուռուցիկ քառանկյանը հնարավոր է արտագծել շրջանագիծ այն և միայն այն դեպքում, եթե քառանկյան անկյունագծերի արտադրյալը հավասար հանդիպակաց կողմերի արտադրյալների գումարին ^:էջ.25։

$\displaystyle pq=ac+bd.$

Ուռուցիկ քառանկյանը հնարավոր է արտագծել շրջանագիծ միայն այն դեպքում երբ

$\tan {\frac {A}{2}}\tan {\frac {C}{2}}=\tan {\frac {B}{2}}\tan {\frac {D}{2}}=1.$

Եթե AC և BD հատվածները հատվում են X կետում ապա ստացված քառանկյանը հնարավոր է արտագծել շրջանագիծ միայն այն դեպքում եթե$\displaystyle AX\cdot XC=BX\cdot XD.$

Մակերես

Ներգծյալ քառանկյան S մակերեսը կարելի է հաշվել Բրահմագուպտայի բանաձևով։

$S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}\,$ որտեղ p-ն հավասար է քառանկյան կիսապարագծին իսկ a, b, c և d քառանկյան կողմերը։ Այս բանաձևը կարելի դիտարկել որպես Բրետշնայդերի բանաձևի մասնավոր դեպք։ d=0 դեպքում ներգծյալ քառանկյունը վերծվում է եռանկյան և իսկ բանաձևը Հերոնի բանաձևի։

Ներգծյալ քառանկյունը նույն կողմերն ունեցող քառանկյուներից ամենամեծն է։ Սա կարելի է ապացուցել Բրետշնեյդերի բանաձևի ինչպես նաև մաթեմատիկական անալիզի միջոցով։

Ուռուցիկ քառանկյան մակերեսը կարելի է արտահայտել a, b, c, d կողմերով և a, b կողմերի կաղմած A անկյունով

$K={\tfrac {1}{2}}(ab+cd)\sin {B}$ բանաձևով,

կամ

$K={\tfrac {1}{2}}(ac+bd)\sin {\theta }$

որտեղ θ անկյունագծերի կազմած անկյունն է։

Եթե A հավասար չէ ուղիղ անկյան մակերեսը կարելի է արտահայտել նաև

$K={\tfrac {1}{4}}(a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2})\tan {A}.$ բանաձևով

Ներգծյալ քառանկյան մակերեսը կարելի է արտահայտել նաև արտագծյալ շրջանագծի շառավղի միջոցով հետևյալ բանաձևի միջոցով՝

$\displaystyle K=2R^{2}\sin {A}\sin {B}\sin {\theta }$

որպես ուղղակի հետևանք

$K\leq 2R^{2}$

անհավասարությունը հավասար է այն և միայն այն դեպքում երբ քառանկյունը քառակուսի է։

Անկյունագծեր

Եթե ներգծյալ քառանկյան գագաթներն են A, B, C, D և kողմերը a=AB, b=BC, c=CD և d=DA անկյունագծեր AC-ի և BD-ի համապատասխանաբար p և q արժեքները կարելի է գտնել հետևյալ բանաձևերով՝

$p={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}}}$

$q={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ab+dc)}{ad+bc}}}.$

Ըստ Պտղոմեոսի երկրորդ թեորեմի՝

${\frac {p}{q}}={\frac {ad+cb}{ab+cd}}$

Օգտագործելով նույն թեորեմը ստանում են ակյունագծերի գումարի բանաձևը՝

$p+q\geq 2{\sqrt {ac+bd}}$

Արտահայտությունները հավասար են միայն այն դեպքում երբ անկյունագծերը հավասար են։

Ցանկացաց ուռուցիկ ներգծյալ քառանկյան աանկյունագծերը հատվելիս քառանկյունը տրոհում են չորս եռանյուների, ընդ որում հանդիպակաց եռանկյունները նման են։

Եթե ABCD-ն ներգծյալ քառանկյուն է ընդ որում AC և BD ուղիղների հատման կետը E-ն է ունեմն՝

${\frac {AE}{CE}}={\frac {AB}{CB}}\cdot {\frac {AD}{CD}}$

Անկյուներ

a, b, c, d կողմերով s կիսապարագծով և a, b կողմերով կաղմված A անկյամբ ներգծյալ քառանկյան A անկյան եռանկյունաչափական ֆունկցիաները տրվում են հետևյալ բանաձևերով

$\cos A={\frac {a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2}}{2(ad+bc)}}$

${\displaystyle }$$\sin A={\frac {2{\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}{(ad+bc)}}$

$\tan {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {(s-a)(s-d)}{(s-b)(s-c)}}}$

Անկյունագծերի կազմած θ անկյան տանգենսը հավասար է՝

$\tan {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {(s-b)(s-d)}{(s-a)(s-c)}}}$

Եթե a և c հանդիպակաց հատվածների շարունակությունները հատվելիս կազմում են $\phi$ անկյուն ապա՝

$\cos {\frac {\phi }{2}}={\sqrt {\frac {(s-b)(s-d)(b+d)^{2}}{(ab+cd)(ad+bc)}}}$

Պարամեշվարայի բանաձև

Քառանկյան արտագծյալ շրջանագծի շառավիղը կարելի է արտահայտել քառանկյան a, b, c, d կողմերով Պարամեշվարայի բանաձև օգնությամբ

$R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}$

որտեղ s-ը քառանկյան կիսապարագիծն է։

Տես նաև

• Քառանկյուն