Ոլորտային եռանկյունաչափություն

Ոլորտային եռանկյունաչափություն, գնդային եռանկյունաչափություն, սֆերիկ եռանկյունաչափություն, մաթեմատիկայի բաժին, որ ուսումնասիրում է ոլորտին պատկանող եռանկյունների՝ ոլորտային եռանկյունների կողմերի և անկյունների միջև եղած առնչությունները։

Ծագում

Ոլորտային եռանկյունաչափությունը, որ նախորդել է հարթ եռանկյունաչափությանը, իր ծագման և զարգացման համար պարտական է աստղագիտությանը և սկզբում աստղագիտության բաժիններից մեկն էր։ (1՛—3՛) բանաձևերը և դրանց միջոցով եռանկյունների լուծման տարբեր խնդիրներ հանդիպում են Մենելայոսի «Աֆերիկա» և Պտղոմեոսի «Ալմագեստ» աշխատություններում։ (2) բանաձևը հայտնի էր 6-րդ դարում, իսկ ապացուցումը տվել է Ալ-Բատտանին։ (1)-ը ապացուցել է Աբու ալ Վեֆը։ Ոլորտային եռանկյունաչափությունը որպես ինքնուրույն գիտություն սկզբնավորվել է Նասրեդդին Թուսիի և Ռեգեմոնտանուսի աշխատություններում։ Ոլորտային եռանկյունաչափության զարգացմանը մեծապես նպաստել են Լ․ Էյլերի աշխատանքները։

Ոլորտային եռանկյունաչափության բանաձևեր

Եթե ${\hat {A}}$-ն, ${\hat {B}}$-ն, ${\hat {C}}$-ն գնդային եռանկյան $A,B,C$ անկյունների մեծություններն են, $a$-ն, $b$-ն, $c$-ն՝ համապատասխանաբար $A$-ի, $B$-ի, $C$-ի դիմաց ընկած կողմերի երկարությունները (${\hat {A}},{\hat {B}},{\hat {C}},a,b,c$ թվերը անվանում են գնդային եռանկյան տարրեր․ ${\hat {A}}=aR,{\hat {B}}=bR,{\hat {C}}=cR$, որտեղ $R$-ը ոլորտի շառավիղն է), ապա այդ անկյունները և կողմերը կապված են ոլորտային եռանկյունաչափության հիմնական բանաձևերով.

${\frac {sina}{sin{\hat {A}}}}={\frac {sinb}{sin{\hat {B}}}}={\frac {sinc}{sin{\hat {C}}}}={\frac {D}{\Delta }}\qquad (1)$

$cosa=cosbcosc+sinbsinccos{\hat {A}}\qquad (2)$

$cos{\hat {A}}=-cos{\hat {B}}cos{\hat {C}}+sin{\hat {B}}sin{\hat {C}}cosa\qquad (3)$

$sinacos{\hat {B}}=cosbsinc+sinbcosccosA\qquad (4)$

$sin{\hat {A}}cosb=cos{\hat {B}}sin{\hat {C}}+sin{\hat {B}}cos{\hat {C}}cosA\qquad (5)$

որտեղ

$D^{2}=1-cos^{2}a-cos^{b}-cos^{2}c+2cosacosbcosc$

$\Delta ^{2}=1-cos^{2}{\hat {A}}-cos^{2}{\hat {B}}-cos^{2}{\hat {C}}+2cos{\hat {A}}cos{\hat {B}}cos{\hat {C}}$:

(1—5) բանաձևերում կատարելով անկյունների և կողմերի շրջանային փոխարինում՝ ${\hat {A}}$-ն ${\hat {B}}$-ով, ${\hat {B}}$-ն ${\hat {C}}$-ով, ${\hat {C}}$-ն ${\hat {A}}$-ով, $a$-ն $b$-ով, $b$-ն $c$-ով, $c$-ն $a$-ով $({\hat {A}}\to {\hat {B}}\to {\hat {C}}\to {\hat {A}},a\to b\to c\to a)$, կստանանք շատ այլ առնչություններ։ (1—5), ինչպես նաև դրանց հանգույն բանաձևերը հնարավորություն են տալիս գնդային եռանկյան տրված երեք տարրերի միջոցով գտնել մյուս երեք տարրերը։

Եթե գնդային եռանկյունը ուղղանկյուն է (ասենք՝ $C=90^{\circ }$), ապա տեղի ունեն հետևյալ բանաձևերը․

$sinb=sincsinB,\qquad (1')$

$cosc=cosbcosa,\qquad (2')$

$sinccos{\hat {B}}=cosbcosa:\qquad (3')$

Նմանություն կա ոլորտային եռանկյունաչափության և հարթ եռանկյունաչափության բանաձևերի միջև.

Հարթ եռանկյուն $({\hat {C}}=90^{\circ })$

$a=csin{\hat {A}}$

$a=btg{\hat {A}}$

$sin{\frac {\hat {A}}{2}}={\sqrt {\frac {(p-b)(p-c)}{bc}}}$

Գնդային եռանկյուն $({\hat {C}}=90^{\circ })$

$sina=sincsin{\hat {A}}$

$tga=tgbtg{\hat {A}}$

$sin{\frac {\hat {A}}{2}}={\sqrt {\frac {sin(p-b)sin(p-c)}{sinbsinc}}}$

Դելամբրի բանաձևեր

$sin{\frac {a}{2}}cos{\frac {{\hat {B}}-{\hat {C}}}{2}}=sin{\frac {\hat {A}}{2}}sin{\frac {b+c}{2}}$,

$sin{\frac {a}{2}}sin{\frac {B-{\hat {C}}}{2}}=cos{\frac {\hat {A}}{2}}sin{\frac {b-c}{2}}$,

$cos{\frac {a}{2}}cos{\frac {{\hat {B}}+{\hat {C}}}{2}}=sin{\frac {\hat {A}}{2}}cos{\frac {b+c}{2}}$,

$cos{\frac {a}{2}}sin{\frac {{\hat {B}}+{\hat {C}}}{2}}=cos{\frac {\hat {A}}{2}}cos{\frac {b-c}{2}}$

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 8, էջ 609)։