Մոտավոր ինտեգրում

Մոտավոր ինտեգրում որոշյալ ինտեգրալների, հաշվողական մաթեմատիկայի բաժին, որն զբաղվում է որոշյալ ինտեգրալների հաշվման մեթոդների մշակմամբ և կիրառությամբ։ Եթե $y=f(x)$ ֆունկցիան անընդհատ է $[a,b]$ հատվածի վրա և հայտնի է $f(x)$-ի նախնական $F(x)$ ֆունկցիան, ապա $f(x)$-ի որոշյալ ինտեգրալը $[a,b]$-ի վրա $(I(f)$-ը) հաշվում են Լայբնից–Նյուտոնի բանաձևով՝

$I(f)=\int \limits _{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$։

Բայց միշտ չէ, որ հնարավոր է գտնել $f(x)$-ի նախնականը, ուստի հարկ է լինում փնտրել $I(f)$-ի հաշվման այլ ուղիներ։ Այդպիսի ուղիներից մեկը $I(f)$-ի մոտավոր հաշվումն է քառակուսային բանաձևերի միջոցով։ Պարզագույն քառակուսային բանաձևը, որն $I(f)$-ը արտահայտում է $f(x)$-ի ինչ–որ արժեքների գծային կոմբինացիայով, հետևյալ տեսքի է՝

$S_{n}(f)=\sum _{k=1}^{n}A_{k}f(x_{k})\qquad (1)$

այստեղ $x_{1},x_{2}....,x_{n}$-երը $[a,b]$-ի կետեր են (հանգույցներ են), իսկ $A_{k}$ գործակիցները՝ թվեր (կշիռներ), $I(f)$-ի արժեքը ընդունվում է մոտավորապես հավասար $S_{n}(f)$-ին՝ $S_{n}(f)\approx I(f)$։ $Rn(f)=I(f)-S_{n}(f)$-ը անվանում են քառակուսային բանաձևի սխալ։ $(1)$ բանաձևի մեջ մտնում են$f(x)$-ից անկախ $(2n+1)$ հատ պարամետրեր՝ $n,x_{1},x_{2}....,x_{n},A_{1},A_{2}....,A_{n}$։ Այդ պարամետրերը ընտրում են այնպես, որ $R_{n}(f)$ սխալը հնարավորին չափով փոքր լինի։

Պարզագույն քառակուսային բանաձևերի օրինակներ են․

Ուղղանկյունների բանաձևը

$A_{k}={\frac {b-a}{n}}=h,x_{k}=a+(k-{\frac {1}{2}}h)(k=1,2....,n)$, և հետևաբար

$S_{n}(f)=h\sum _{k=1}^{n}f(x_{k})$։ Եթե $|f''(x)|\leqslant M,x\in [ab]$, ապա

$R_{n}(f)\leqslant {\frac {(b-a)^{3}}{n^{2}}}\cdot M$

Սեղանների բանաձևը

$I(f)\approx S_{n}(f)={\frac {b-a}{n}}({\frac {(f_{0}+f_{n})}{2}}+f_{1}+f_{2}+....+f_{n-1})$,

որտեղ $f_{k}=f(a+kh),h={\frac {b-a}{n}}(k=0,1,2....,n)$։

Սիմպսոնի բանաձևը

ա

բ

$I(f)\approx S_{n}(f)={\frac {h}{3}}[(f_{0}+f_{2n}+4(f_{1}+f_{3}+....+f_{2n-1})+(f_{2}+f_{4}+....+f_{2n})]$

որտեղ

$h={\frac {b-a}{2n}},f_{k}=f(a+hk)(k=0,1,2....2n)$։

Ուղղանկյունների և սեղանների բանաձևի կիրառումը երկրաչափորեն նշանակում է՝ $y=f(x)$-ի գրաֆիկով և $x=a,x=b,y=0$ ուղիղներով սահմանափակված կորագիծ սեղանի մակերեսի՝ $I(f)$-ի փոխարինում համապատասխանաբար որոշակի ուղղանկյունների $(S_{1},S_{2},....,S_{n})$, սեղանների $(S_{1}^{1},S_{2}^{1},....,S_{n}^{1})$ մակերեսների գումարով (գծ․ ա, բ)։

«Մոտավոր ինտեգրում» տերմինը օգտագործում են նաև դիֆերենցիալ հավասարումների մոտավոր լուծման դեպքում։

Գրականություն

• Крылов В․ И․, Приближенное вычисление интегралов, 2 изд․, М․, 1967
• Березин И․ С․, Жидков Н․ П․, Методы вычислений, 2 изд․, т․ 2, М․, 1962

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 8, էջ 45)։