Մասնակից:Hakobyan.M.A/Ավազարկղ

Խորանարդ արմատ a- ից , $x$- ն է, որի խոանարդը հավասար է $a$- ի, գրվում է ${\sqrt[{3}]{a}}$ կամ a^1/3 ։ Այլ կերպ ասած $x^{3}=a$հավասարման լուծումն է (ենթադրվում է,որ այն իրական է) ։

$y={\sqrt[{3}]{x}}$ ֆունկցիայի գրաֆիկ

Իրական արմատ

Խորհանարդ արմատը կենտ ֆունկցիա է։ Ի տարբերություն քառակուսային արմատի, խորհանարդ արմատը կարող է նաև բացասական թվից հանվել(այնպես,որ ստացվի իրական արդյունք)։

${\sqrt[{3}]{-x}}=-{\sqrt[{3}]{x}}$

Կոմպլեքս արմատ

Խորանարդ արմատ կոմպլեքս թվերից (ցանկացած թվից) $c$-ն ունի երեք իմաստ(n-րդ աստիճան արմատի մասնավոր դեպք) ։

${\sqrt[{3}]{c}}={\sqrt[{3}]{\left|c\right|}}\left(\cos {\frac {\phi +2k\pi }{3}}+i\sin {\frac {\phi +2k\pi }{3}}\right),\quad k=0,1,2,\quad \phi =\arg {c}.$

Այստեղ ${\sqrt[{3}]{\left|c\right|}}$ տակ հասկացվում է թվաբանական արմատ դրական $\left|c\right|$թվից

Մասնվորապես

${\sqrt[{3}]{1}}={\begin{cases}1\\\cos {\frac {2\pi }{3}}+i\sin {\frac {2\pi }{3}}=-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\\cos {\frac {2\pi }{3}}-i\sin {\frac {2\pi }{3}}=-{\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\end{cases}}$

${\sqrt[{3}]{-1}}={\begin{cases}-1\\\cos {\frac {\pi }{3}}+i\sin {\frac {\pi }{3}}={\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\\cos {\frac {\pi }{3}}-i\sin {\frac {\pi }{3}}={\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\end{cases}}$

Իրական թվից խորանարդ արմատ հանելիս ունի երկու կոմպլեքս արժեք՝

${\sqrt[{3}]{x}}_{2,3}={\sqrt[{3}]{x}}\left(-{\frac {1}{2}}\pm i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)$ ։

Այս արտահայտության արժեքը պիտի իմանալ խորանարդ աստիճանի հավասարումները Կարդանոյի բանաձևով լուծելու համար։

Ցուցադական ձև

Կոմպլեքս թվերից արմատ կարող ենք հաշվել ասյպես՝

$x^{1/3}=\exp({\tfrac {1}{3}}\ln {x})$ ։

Որտեղ ln -ն բնական լոգարիթմի հիմնական ճյուղն է։

Եթե $x$-ը արտահայտենք ասյպես՝ $x=r\exp(i\theta )$ , ապա խորանարդ աստիճանի արմատի բանաձևը կլնի այսպես ՝ ${\sqrt[{3}]{x}}={\sqrt[{3}]{r}}\exp({\tfrac {1}{3}}i\theta )$։

Это геометрически означает, что в полярных координатах мы берем кубический корень радиуса и делим полярный угол на три, для того, чтобы определить кубический корень. Значит, если $x$ комплексное, то ${\sqrt[{3}]{-8}}$ будет обозначать не $-2$, а будет $1+i{\sqrt {3}}.$

Հետաքրքիր փաստեր

Кубический корень не может быть извлечён с помощью циркуля и линейки. Именно поэтому неразрешимы сводимые к извлечению кубического корня классические задачи: удвоение куба, трисекция угла, а также построение правильного семиугольника.

При постоянной плотности вещества размеры двух подобных тел относятся друг к другу как кубические корни их масс. Так, если один арбуз весит вдвое больше, чем другой, то его диаметр (а также окружность) будет всего лишь чуть больше, чем на четверть (на 26 %) больше, чем у первого; и на глаз будет казаться, что разница в весе не столь существенна. Поэтому при отсутствии весов (продажа на глазок) обычно более выгодно покупать бо́льший плод.

Հաշվման ձևերը

Столбиком

Перед началом необходимо разделить число на тройки (целую часть — справа налево, дробную — слева направо). Когда Вы достигли десятичной запятой, в конце результата необходимо поставить десятичную запятую.

Алгоритм таков:

1. Найдите число, куб которого меньше первой группы цифр, но при её увеличении на 1 она становится больше. Выпишите найденное число справа от данного числа. Под ним запишите число 3.
2. Запишите куб найденного числа под первой группой цифр и произведите вычитание. Результат после вычитания запишите под вычитаемым. Далее снесите следующую группу цифр.
3. Далее найденный промежуточный ответ заменим буквой $a$. Вычислите по формуле $300\times a^{2}\times x+30\times a\times x^{2}+x^{3}$ такое число $x$, что его результат меньше нижнего числа, но при увеличении на 1 становится больше. Запишите найденное $x$ справа от ответа. Если достигнута необходимая точность, прекратите вычисления.
4. Запишите под нижним числом результат вычисления по формуле $300\times a^{2}\times x+30\times a\times x^{2}+x^{3}$ и произведите вычитание. Перейдите к пункту 3.

Տես նաև

• Корень (математика)
• Квадратный корень

Գրականություն

• Корн Г., Корн Т. 1.3-3. Представление суммы, произведения и частного. Степени и корни // Справочник по математике. — 4-е издание. — М.: Наука, 1978. — С. 32—33.