Մասնակից:Զաբելա Աբելյան/ավազարկղ 23
Գալուայի խումբը — խումբ, միավորելով դաշտի ընդարձակումը.Կարևոր դեր է խաղում դաշտի ընդլայնման հետազոտման դեպքում,մասնավորապես՝ Գալուայի տեսությունում։ 1832 թվականին Էվերիստ Գալուան ներմուծեց մաթեմատիայում (Խմբերի այդ հասկացության, բազմությունների) արմատների տեղափոխությունը։
Սահմանում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Ենթադրենք K դաշտը հանդիսանում է P-ի Գալուայի ընդլայնված դաշտ։ K դաշտի փոխադարձաբար համարժեք պատկերումները՝ -ը, իր վրա անվանում են автоморфизмом, եթե նա գումարը վերածում է գումարի, արտադրյալը՝ արտադրյալի, այսինքն՝ եթե K դաշտի ցանկացած տարրերի համար ճիշտ է հավասարությունը .
Գալուայի խումբը տրված ընդլայնված դաշտի համար կոչվում է K դաշտի բոլոր ավտոմորֆիզմի համախումբ, պահպաննելով P դաշտի տարրեր: .Սովորաբար նշանակում են G(K,P) կամ Gal(K,P).
Հատկություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
- Գալուայի խմբի վերջավոր ընդլայնումը վերջավոր է։ Նրա հաջորդականությունը (տարրերի քանակը) հավասար է ընդլայնման աստիճանին [K:P].
Օրինակներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
- Եթե ընդլայնված դաշտը համընկնում է սկզբնականի հետ, ապա Գալուայի խումբը պարունակում է միայն մեկ տարր, միավոր՝ (նույնական автоморфизм).
- Բնական թվերի դաշտի ընդլայնումը մինչև բոլոր կոմպլեքս թվերի դաշտի, Գալուայի խումբը պարունակում է 2 տարր՝ միավորը և կոմպլեքս համալուծը։
- ընդլայնված դաշտը կազմված է տեսքի թվերից, որտեղ a, b-ն ռացիոնալ են։ Այստեղ Գալուայի խումբը պարունակում է 2 տարր՝ միավոր և երկրորդ գումարելին փոքրացնող նշանի գործողություն։
- Ենթադրենք p-ն պարզ թիվ է, դիտարկենք и վերջավոր դաշտերը, նրանցից առաջինը բնական կերպով ներդրված է երկրորդին։ Գալուայի խմբի տրված ընդլայնումը՝ ցիկլային է, այն ծնում է Ֆրոբենիուսի ավտոմորֆիզմը՝ .
- Հանրահաշվական հավասարման Գալույի խումբը։ Դիտարկենք չորրորդ աստիճանի հանրահաշվական հավասարում ։ Այն թույլ է տալիս հետևյալ ձևափոխումը x փոփոխականով: . Для -ի համար հետևում է , այսինքն՝ .։ Ուստի -ից հետևում է, որ , что ։ Դա ցույց է տալիս, որ հավասարումը թույլ է տալիս ձևափոխությունը։ -ի համար ստացվում է ։Այդ հավասարման բաժանումը սկզբնական հավասարման տալիս է ։Այսպիսով ձևափոխությունը նույնպես թույլատրում է հավասարմանը։Նման ձևով ձևափոխությունների համար կարելի է ստանալ ձևափոխության հետևյալ բանաձևը՝ ։ Օգտագործելով տեղափոխությունը գտնում ենք, որ что և այլն։ Այժմ ապացուցենք, որ հավասարումը թույլ է տալիս անվերջ ձևափոխությունների խմբեր, որտեղ -ը ընդունում է բոլոր ամբողջ (դրական և բացասական) արժեքները, բազմապատիկ հինգի։Դրա համար անհրաժեշտ է ցույց տալ, որ թույլատրվում է ձևափոխությունը։Դրա համար ունենք ձևափոխությունը։ -ի բացասական ամբողջ արժեքները ստացվում է ձևափոխության օգտագործումից։ Դժվար չէ ապացուցել, որ ստացված ձևափոխությունները կազմում են խումբ։ Կազմած խմբի փոխարկումը տեղափոխում է հավասարման յուրաքանչյուր արմատ այդ նույն հավասարման արմատի։ Այժմ հետևենք ինչպես է հավասարման յուրաքանչյուր արմատ ձևափոխվում այդ խմբի ձևափոխությունների ազդեցության տակ։ Հանրահվի կուրսից հայտնի է, որ -ն հավասարման արմատները հանդիսանում են թվեր՝ ։ ձևափոխությունը տեղափոխում է արմատը -ում, արմատ -ը՝ -ում, արմատ -ը՝ -ում, արմատ -ը -ում։ Ստացված տեղափոխությունները նշանակում են Полученная подстановка обозначается ։Նման ձևով կարելի է ցույց տալ, որ ձևափոխությունները բերվում է տեղափոխության։ ձևափոխությունը բերվում է տեղափոխության։ Մնացած ձևափոխությունները չի տալիս նոր տեղափոխության։ Այսպիսով հավասարման արմատների ձևափոխությունների խումբը մակածում է չորս կարգավորված վերջավոր խմբերի, կազմված հետևալ տարերից է ։ Այդ վերջավոր խմբերին անվանում են հավասարման Գալուայի խմբեր.[1]
Կիրառում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Դաշտի ընդլայնում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Դիտարկենք դաշտի ընդլայման հաջորդկան օղակները՝ Կառուցենք դաշտի համար Գալուայի խմբերը եզրային օղակներում՝ Համաձայն Գալուայի տեսության հիմնական թեորեմայի, օղակում դաշտի յուրաքանչյուր միջակայքի ընդլայնումը համապատասխանում է G խմբի ենթախմբին, այսինքն ընդլայնված դաշտի օղակը կարելի է համադրել ենթախմբի ներդրված օղակին , որը նեղանում է G-ից մինչև տրիվիալ ենթախմբերի։ Եթե անմիջապես դիտենք միջակայքային դաշտը ( այսինքն՝ տեսքի դաշտը), տրված համապատասխանությունը հանդիսանում է դաշտի միջակայքային բազմություններից բիեկցիա Գալուայի խմբերի ենթախմբերի բազմությունում։Այդ ենթախմբերում, данное համապատասխան նորմալ ընդլայնումը, հանդիսանում է G նորմալ ենթախումբ և ընհակառակը։
Խմբերի տեսության օգնությամբ այս համապատասխանությունը թույլ է տալիս հետազոտել դաշտեր ընդլայնումը։Օրինակ․ նրանից անմիջապես հետևում է դաշտերի միջակայքային թիվը տրված նորմալ ընդլայնման համար միշտ վերջավոր է (ինչպես ենթախմբի թիվը վերջավոր խմբերում)։
Հանրահաշվական հավասարում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Հանրահաշվական հավասարման հիմնական դաշտը կոչվում է թվերի համախումբ, որը կարելի է ստանալ այդ հավասարման գործակիցներից գումարման, հանման, բազմապատկման և բաժանմանգործողությունների օգնությամբ։ Դաշտերի վերլուծումը անվանում են թվերի համախումբ, որը կարելի է ստանալ այդ գործողություններով վերջավոր թվի օգնությամբ,ելնելեվ գործակիցներից և հավասարման արմատներից։ Ընդհանուր դեպքում դաշտը կազմված է միայն դաշտի վերլուծման ենթադաշտից։
Ընդունված է Գալուայի խումբը, դաշտի վերլուծման կազմված ավտոիզոմորֆիզմից, անվանել այդ հավասարման Գալուայի խումբ։ G(K,P)Գալուայի խմբից ցանկացած ավտոմորֆիզմ փոխադրում է ցանկացած բազմանդամի արմատ P դաշտի վրա, նորից այդ նույն բազմանդամի արմատ։ Այսպիսով, հանրահաշվական հավասարման Գալուայի խումբը չունենալով բազմապատիկ արմատ, կաելի է դիտել ինչպես խմբերի տեղափոխություն (հենց այդպես դիտարկեց նույն ինքը՝ Էվերիստ Գալուան)
Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
- ↑ Н. Х. Ибрагимов Азбука группового анализа. М.: Знание, 1989, Короткое отступление о группе Галуа, с. 42
Գրականություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
- Артин Э. Теория Галуа. М.: МЦНМО, 2008. ISBN 978-5-94057-062-2.
- Постников М. М. Теория Галуа. М.: Наука, 1963, 517.1 П 63, 220 с.;
Категория:Теория Галуа Категория:Теория групп Категория:Теория полей