Աստիճանային շարք մեկ փոփոխականով, դա ֆորմալ հանրահաշվական արտահայտություն է։
որում գործակիցներ ընտրվում է մի ինչ որ օղակից
Տարածությունը մեկ փոփոխականով աստիճանային շարքով և գործակիցներ -ից նշանակում են.
տարածությունը ունի դիֆֆերենցիալ հանրահաշվի կառուցվածք ( կոմուտատիվ օղակով, ամբողջական, միավորով, եթե այդպիսին է ) օղակը։ Այն հաճախ օգտագործում են մաթեմատիկայում նկատի առնելով, որ նրանում հեշտ ներկայացնելի և լուծելի է ֆորմալ դիֆֆերենցիալ-հանրահաշվական և նույնիսկ ֆունկցիոնալ հարաբերակցությունը ( տես․ մեթոդ ածանցավոր ֆունկցիաներ)։Դրա օգտագործումով այդ հարաբերակցությունը փոխակերպվում է աստիճանական գործակիցներով հանրահաշվական հավասարման։ Եթե այն թույլատրվում է, ասում է ֆորմալ աստիճանային շարքի տրված խնդրի լուծման մասին։
- ում սահմամված է գումարման, բազմապատկման, ֆորմալ դիֆֆերենցում և ֆորմալ վերադրում գործողությունները։
Ենթադրենք
Այդ ժամանակ:
- (այդ դեպում անհրաժեշտ է, որ պահպանվի )
Իրական կամ կոմպլեքս գործակիցներով ֆորմալ աստիճանային շարքից, գրառման ճանապարհով, ինչ որ իրական ֆորմալ փոփոխականի մեծությունից, իրական և կոմպլեքս դաշտում կարելի է ստանալ աստիճանային շարք։ Աստիճանային շարքը համարվում է զուգամիտվող (գումարվող), եթե զուգամիտվում է մասնակի հաջորդականության գումարը,կազմված նրա անդամներից և կոչվում է բացարձակ զուգամիտություն, եթե զուգամիտվում է մասնակի հաջորդականության գումարը, կազմված նրա անդամներից, վերցրած մոդուլով (նորմայով)
Աստիճանային շարքի համար գոյություն ունի մի քանի թեորեմ, նկարագրելով պայմանը և բնույթը զուգամիտության։
- Աբելի առաջին թեորեմ: Ենթադրենք շարքը զուգամիտվում է կետում։ Այդ ժամանակ այդ շարքը զուգամիտվում է բացարձակապես շրջանում և հավասարաչափորեն այդ շրջանի ցանկացած կոմպակտ ենթաբազմությունում։
Հակադարձելով այդ թեորեմային , ստանում ենք, եթե աստիճանային շարքը տարամիտվում է դեպքում, այն տարամիտվում է ցանկացած դեպքում, այնպիսիք որ ։Աբելի առաջին թեորեմայից նույնպես հետևում է , որ գոյություն ունի շրջանագծի այդպիսի շառավիղ ( հնարավոր է, զրոյական կամ անվերջ), որ -ի դեպքում շարքը զուգամիտում է բացարձակապես (և հավասարաչափորեն այդ շրջանի -ի ) կոմպակտ ենթաբազմությունում, իսկ դեպքում տարամիտում է։ Այդ մեծությանը անվանում են շարքի զուգամիտության շառավիղ, իսկ շրջանը՝ զուգամիտության շրջան։
- Կոշի- Ադամարի բանաձև: Աստիճանային շարքի զուգամիտության շառավղի մեծությունը (եթե վերևի սահման գոյություն ունի և դրական է, Աստիճանային շարքի մասին Ադամարի թեորեմ) կարելի է հաշվել հետևյալ բանաձևով․
(Վերին սահմանի սահմանման առիթով տես․ «Հաջորդականության մասնակի սահման» հոդվածը)։
Ենթադրենք և , երկու աստիճանային շարք են и զուգամիտության շառավիղներով։Այն ժամանակ
Եթե շարքի համար -ը զրոյական ազատ անդամ է, ապա
Հարցը վերին սահմանի կետերում զուգամիտության շարքի մասին բավականին բարդ է շրջանի զուգամիտությունը և այստեղ ընդհանուր պատասխան չկա։ Ահա մի քանիսը շարքի զուգամիտության սահմանային կետերում շրջանի զուգամիտության մասին թեորեմայից։
- Դալամբերի հայտանիշ: Եթե և դեպքում,
- անհվասարությունը տեղի ունի,
- ապա աստիճանային շարքը զուգամիտվում է շրջանի բոլոր կետերում և հավասարաչափ -ով։
- Դիրիխլիի հայտանիշ: Եթե աստիճանային շարքի բոլոր գործակիցները դրական են և հաջորդականությունը մոնոտոն զուգամիտվում է 0-ի, ապա այդ շարքը զուգամիտվում է շրջանագծի բոլոր կետերում, բացի, գուցե կետում։.
Աստիճանային շարքի գումարը, ինչպես կոմպլեքս պարամետրի ֆունկցիա, հանդիսանում է վերլուծական ֆունկցիայի տեսության ուսումնասիրման առարկա։
n փոփոխականով աստիճանային շարք, դա ֆորմալ հանրահաշվական տեսքի արտահայտություն է,
- կամ բազմաինդեքս նշանակումներ,
որտեղ -ը վեկտորն է, -ն ՝ մուլտիինդեքսը, -ն միանդամը։
պարամետրերով և գործակիցներով աստիճանային շարքի տարածությունը նշանակվում է՝ ։Նրանում սահմանված է գումարման,բազմապատկման, յուրաքանչյուր փոփոխականի դիֆֆերենցման և -տեղային վերադրման գործողություններ։ Ենթադրենք
Ապա:
տարածության մասին կարելի է գործնականում ասել նույնը, ինչ և .