Մասնակից:Աբազյան Լիաննա/Բևեռային կոորդինատային համակարգ

Ուշադրություն, այս էջը կամ բաժինը այլ լեզվով հոդվածի վատ թարգմանություն է։ Դուք կարող եք բարելավել թարգմանությունը։ Օրիգինալ տեքստը կարող եք գտնել ձախ կողմի «այլ լեզուներով» ենթաբաժնում։ Եթե յոթ օրվա ընթացքում բովանդակությունը չվերանայվի, հոդվածը կջնջվի։ Հոդվածը պիտակողին՝ խնդրում ենք տեղադրել այս {{subst:Ծանուցում/Վատ թարգմանություն|Աբազյան Լիաննա/Բևեռային կոորդինատային համակարգ}} հաղորդագրությունը հոդվածը ստեղծած մասնակցի քննարկման էջում։ Հոդվածը պիտակվել է՝ 09.06.2020-ին։ Մեքենական թարգմանությունը ենթակա է ջնջման առանց զգուշացման։

Աբազյան Լիաննա/Բևեռային կոորդինատային համակարգ

Բևեռանին ցանց, որի վրա նշվում է աստիճաններով մի քանի անկյուն:

Բևեռային կոորդինատային համակարգ երկչափ կոորդինատային համակարգ, որում հարթության յուրաքանչյուր կետը որոշվում է երկու թվով `բևեռային անկյուն և բևեռային շառավղի միջոցով: Բևեռային կոորդինատների համակարգը հատկապես օգտակար է այն դեպքերում, երբ կետերի միջև հարաբերությունները ավելի հեշտ են պատկերել ռադի և անկյունների տեսքով, ավելի տարածված Դեկարդյան կամ ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում այդպիսի փոխհարաբերությունները կարող են հաստատվել միայն տրիգոմետրիկ հավասարումների կիրառմամբ:Բևեռային կոորդինատների համակարգը որոշվում է ճառագայթով, որը կոչվում է զրոյական ճառագայթ կամ բևեռային առանցք: Այն կետը, որից դուրս է գալիս այս ճառագայթը, կոչվում է կոորդինատի սկիզբ կամ բևեռ:Հարթության ցանկացած կետ որոշվում է երկու բևեռային կոորդինատներով `ճառագայթային և անկյունային: Ճառագայթային կոորդինատ (սովորաբար նշվում է$r$) համապատասխանում է կետից մինչև կոորդիտատի սկզբնակետի հեռավորությանը:Անկյունային կոորդինատը կոչվում է նաև բևեռային անկյուն կամ ազիմուտ և նշվում է $\varphi$-ով հավասար է այն անկյունին, որով բևեռային առանցքը պետք է շրջվի հակառակ ուղղությամբ, որպեսզի հասնի այս կետին:

Այս եղանակով սահմանված ճառագայթային կոորդինատներին կարող է տրվոել արժեքներ` զրոյից մինչև անսահմանություն, իսկ անկյունային կոորդինատը տատանվում է 0 ° -ից մինչև 360 °: Այնուամենայնիվ, հարմարության համար բևեռային կոորդինատորի արժեքների շրջանակը կարող է ընդլայնվել ամբողջ անկյան տակ, և նաև թույլ տալ, որ այն ընդունի բացասական արժեքներ, ինչը համապատասխանում է բևեռային առանցքի ժամացույցի սլաքի պտտման ուղղությանը:

Պատմություն

Անկյան և շառավիղի մասին գաղափարը հայտնի էին դեռ մ.թ.ա. առաջին հազարամյակում: Հույն աստղագետ Հիպարչուսը (մ.թ.ա. 190-120) ստեղծեց սեղան,որում ակորդի երկարությունները տրված էին տարբեր անկյունների համար: Կան ապացույցներ բևեռային կոորդինատների օգտագործման վերաբերյալ ՝ դրանք օգտագործել են երկնային մարմինների դիրքը որոշելու համար:Արքիմեդն իր «Պարույր» աշխատության մեջ նկարագրում է այսպես կոչված արքիմեդյան պարույրի գործառույթը որի շառավղը կախված է անկյան դիրքից:Հույն հետազոտողների աշխատանքը, այնուամենայնիվ, չի բացահայտել կոորդինատների համակարգի ամբողջական իմաստը:

9-րդ դարում պարսկական մաթեմատիկոս Հաբբաշ ալ-Խասիբը (ալ-Մարվացի) օգտագործեց քարտեզագրական կանխատեսումների և գնդաձև եռանկյունաչափության մեթոդները ՝ բևեռային կոորդինատները ոլորտի որոշ կետերում կենտրոնացած մեկ այլ կոորդինատային համակարգ վերափոխելու համար, այս դեպքում ՝ որոշելու համար Քիբլան ՝ ուղղությունը դեպի Մեքքա: Պարսկական աստղագետ Աբու Ռեյհան Բիրունին (973-1048) առաջ քաշեց գաղափարներ, որոնք նման են բևեռային կոորդինատների համակարգի նկարագրությանը:Նա առաջինն էր , ով շուրջ 1025 թվականին նկարագրված է բևեռային հավասար-ազիմուտալ հավասարումը երկնային ոլորտում:

Բևեռային կոորդինատների ՝ որպես պաշտոնական կոորդինատների համակարգի ներդրման վերաբերյալ կան տարբեր վարկածներ. Ծագման և հետազոտության ամբողջ պատմությունը նկարագրված է Հարվարդի պրոֆեսոր Ջուլիան Լոուել Քուլիջի «Բևեռային կոորդինատների ծագումը» աշխատության մեջ:Գրեգոր դե Սենտ-Վինսենտը և Բոնավենտուրչ Կավալերին անկախ միմյանցից նմանատիպ հայեցակարգի են եկել XVII դարի կեսերին: Սեն-Վինսենթը անձնական նոտաներում նկարագրել է բևեռային համակարգը 1625 թ., Տպելով իր գործերը 1647 թ. և Կավալիերին հրատարակեց իր գործերը 1635 թվականին, իսկ վերանայված տարբերակը ՝ 1653-ին: Կավալիերին օգտագործում էր բևեռային կոորդինատները ՝ հաշվարկելու համար վարդապետների պարույրով սահմանափակված տարածքը: Բլիզ Պասկալը հետագայում օգտագործեց բևեռային կոորդինատներ ՝ պարաբոլիկ կամարների երկարությունները հաշվարկելու համար:

«Ֆլուքսի մեթոդ » գրքում (англ. Method of Fluxions, գրվել է 1671թվականին , տպագրվել` 1736 թվականին) Սըր Իսահակ Նյուտոնը հետաքննել է բևեռային կոորդինատների միջև փոխակերպումը, որը նա նշանակել է ««Յոթերորդ մեթոդը. Պարույրների համար»(«անգլ.՝ Seventh Manner; For Spirals»), և ինը այլ համակարգված համակարգեր: Acta eruditorum Ամսագրում տպագրված 1691-ին հոդվածում

Յակոբ Բեռնունին օգտագործում էր ուղիղ գծի վրա կետ ունեցող համակարգ, որը նա անվանում էր համապատասխանաբար բևեռ և բևեռային առանցք:. Կոորդինատները սահմանվում էին որպես բևեռից հեռավորություն և բևեռային առանցքից անկյուն: Բեռնուլիի աշխատանքը նվիրված էր այս կոորդինատային համակարգում սահմանված կորերի թեքության շառավիղը գտնելու խնդրին:

«Բևեռային կոորդինատներ» տերմինի ներդրումը վերագրվում է Գրեգորիո Ֆոնտանա:XVIII դարում դա մտավ իտալացի հեղինակների բառապաշար:Տերմինը անգլերեն լեզվով մտել է Սիլվեսթեր Լակրոքի «Դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշվարկ» տրակտատի թարգմանության միջոցով, որը կատարվել է 1816-ին ՝ Georgeորջ Պիկոկի կողմից Եռաչափ տարածության համար բևեռային կոորդինատներն առաջին հերթին առաջարկել են Ալեքսի Կլիրաուն, իսկ Լեոնարդ Էյլերը առաջինն է, որ մշակել է համապատասխան համակարգը.

Գրաֆիկական ներկայացումը

Կետը բևեռային կոորդինատների համակարգում:

Բևեռային կոորդինատային համակարգում յուրաքանչյուր կետ կարելի է սահմանել երկու բևեռային կոորդինատներով,որոնք սովորաբար կոչվում են $r$ (ճառագայթային կոորդինատ, կա նշանակման $\rho$ տարբերակ ) և $\varphi$ (անկյունային կոորդինատ, բևեռային անկյուն, փուլային անկյուն, ազիմուտ, դիրքի անկյուն, երբեմն գրում են $\theta$ կամ $t$): $r$ կոորդինատը համապատասխանում է կենտրոնից կետի հեռավորությանը կամ կոորդինատային համակարգի բևեռին և $\varphi$ կոորդինատներին հավասար է անկյունից, որը հաշված է ճառագայթից հակառակ ուղղությամբ սլաքի ուղղությամբ` 0 ° -ով (երբեմն կոչվում է կոորդինատների համակարգի բևեռային առանցք).

Բևեռային շառավիղը սահմանվում է հարթության ցանկացած կետի համար և միշտ վերցնում է ոչ բացասական արժեքներ $r\geqslant 0$: $\varphi$բևեռային անկյունը սահմանվում է հարթության ցանկացած կետի համար բացառությամբ $O$ բևեռի և վերցնում է $-\pi <\varphi \leqslant \pi$ արժեքներ: Բևեռային անկյունը չափվում է ռադիաններով և բևեռային առանցքից հաշվում է.

• դրական ուղղությամբ (հակառակ ուղղությամբ), եթե անկյունը դրական է.
• բացասական ուղղությամբ (ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ), եթե անկյունը բացասական է:

Օրինակ ՝ $(3,\;60^{\circ })$կոորդինատներով կետ գրաֆիկի վրա այն նման կլինի ճառագայթի կետին, որը գտնվում է բևեռային առանցքի 60 ° անկյան տակ, բևեռից 3 միավորի հեռավորության վրա: $(3,\;-300^{\circ })$ կոորդինատներով կետը նկարվելու է նույն տեղում:

Բևեռային կոորդինատային համակարգի կարևոր առանձնահատկություններից մեկն այն է, որ նույն կետը կարող է ներկայացվել անսահման թվով եղանակներով:Դա այն է, որ մի կետի ազիմուտը որոշելու համար հարկավոր է պտտել բևեռային առանցքը, որպեսզի այն մատնանշի մի կետ:Բայց ուղղությունը դեպի կետ չի փոխվի, եթե կամայական թվով լրացուցիչ լիակատար փոփոխություններ իրականացվեն: Ընդհանրապես, $(r,\;\varphi )$ կետը կարող է ներկայացվել որպես $(r,\;\varphi \pm n\times 360^{\circ })$կամ $(-r,\;\varphi \pm (2n+1)\times 180^{\circ })$,որտեղ $n$ -ն կամայական ամբողջ թիվ է .

Կոորդինատները օգտագործվում են բևեռը նշելու համար $(0,\;\varphi )$: Անկախ կոորդինատից$\varphi$ բևեռից զրոյական հեռավորության վրա գտնվող կետը միշտ դրա վրա է: Մի կետի բցրձակ կոորդինատները ձեռք բերելու համար սովորաբար պետք է հեռավորությունը սահմանափակեք ոչ բացասական արժեքներից $r\geqslant 0$, $\varphi$ անկյունը $[0,\;360^{\circ })$ կամ $(-180^{\circ },\;180^{\circ }]$ միջակայքում:( $[0,\;2\pi )$ կամ $(-\pi ,\;\pi ]$ ռադիաներում).

Բևեռային կոորդինատներում անկյունները նշվում են կամ աստիճաններով կամ ռադիաններով, մինչդեռ $2\pi \;\mathrm {RAD} =360^{\circ }$. Ընտրությունը սովորաբար կախված է կիրառությունից: Նավիգացիայի ընթացքում ավանդաբար օգտագործում են աստիճանները, մինչդեռ ֆիզիկայի որոշ ճյուղերում և մաթեմատիկայի գրեթե բոլոր ճյուղերում նրանք օգտագործում են ռադիաններ.

Կապը դեկարտյան և բևեռային կոորդինատների միջև

Մի զույգ $r$ և $\varphi$ բևեռային կոորդինատները կարելի է փոխակերպել $x$ և $y$ դեկարտյան կոորդինատների կիրառելով սինուս և կոսինուս ֆունկցիաների գործառույթները (ենթադրվում է, որ բևեռային կոորդինատների համակարգի զրոյական ճառագայթը համընկնում է $x$առանցքի հետ ):

$x=r\cos \varphi ,$

$y=r\sin \varphi ,$

Մինչդեռ երկու $x$ և $y$ դեկարտյան կոորդինատները կարող է փոխարկվել $r$ բևեռային կոորդինատի :

$r^{2}=y^{2}+x^{2}$ (Ըստ Պյութագորասի թեորեմի).

$\varphi$ -ի անկյունային կոորդինատը որոշելու համար պետք է հաշվի առնել հետևյալ երկու նկատառումները`

• ${r\equiv 0}$-ի համար, $\varphi$ կարող է լինել կամայական իրական թիվ:
• $r\neq 0$-ի համար, որպեսզի $\varphi$-ն ստանա բացարձակ արժեք , պետք է սահմանափակենք $2\pi$ միջակայքում : Սովորաբար ընտրենք $[0,\;2\pi )$ կամ $(-\pi ,\;\pi ]$ միջակայքը:

ՀԱշվարկել $\varphi$ միջակայքում $[0,\;2\pi )$,կարող եք օգտագործել այս հավասարումները($\mathrm {arctg}$ նշանակում է տանգենսի հակադարձ ֆունկցիա):

$\theta ={\begin{cases}\operatorname {arctg} ({\frac {y}{x}}),&x>0,y\geq 0\\\operatorname {arctg} ({\frac {y}{x}})+2\pi ,&x>0,y<0\\\operatorname {arctg} ({\frac {y}{x}})+\pi ,&x<0\\{\frac {\pi }{2}},&x=0,y>0\\{\frac {3\pi }{2}},&x=0,y<0\\-&x=0,y=0\end{cases}}$

Հաշվարկել $\varphi$ միջակայքում $(-\pi ,\;\pi ]$, կարող եք օգտագործել այս հավասարումները:

$\theta ={\begin{cases}\operatorname {arctg} ({\frac {y}{x}}),&x>0\\\operatorname {arctg} ({\frac {y}{x}})+\pi ,&x<0,y\geq 0\\\operatorname {arctg} ({\frac {y}{x}})-\pi ,&x<0,y<0\\{\frac {\pi }{2}},&x=0,y>0\\-{\frac {\pi }{2}},&x=0,y<0\\-&x=0,y=0\end{cases}}$

Հաշվի առնելով, որ բևեռային անկյունը հաշվարկելու համար բավարար չէ իմանալ $y$ -ից $x$ հարաբերակցությունը , և դեռ պետք է լինեն այս համարներից մեկի նշանները, ժամանակակից ծրագրավորման լեզուներից շատերն իրենց գործառույթների թվում ունեն նաև ատան Ֆունկցիան բացի, որոշվում է որոշ թվերի arctangens-ը,կա նաև լրացուցիչ գործառույթ atan2, որն ունի ուրիշ արգումենտներ նշանակվող համարիչի համար: Ծրագրավորման լեզուներում, որոնք նախընտրում են ընտրովի արգումենտներ (օրինակ.` Common Lisp-ում),atan ֆունկցիան կարող է ստանալ կոորդինատների $x$ արժեքը:

Բևեռային կոորդինատներում կորերի հավասարումը

Բևեռային կոորդինատային համակարգի ճառագայթային բնույթի պատճառով որոշ կորեր կարելի է պարզապես նկարագրել բևեռային հավասարմամբ, մինչդեռ ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում հավասարումը շատ ավելի բարդ կլիներ: Առավել հայտնի կորերից են՝ բևեռային վարդը, վարդապետական ​​պարույրը, Լեմենիսկատան, Պասկալի խխունջը և կարդոիդը:

Շրջանառություն

$\scriptstyle {r(\varphi )=1}$ հավասարությունուվ տրված շրջանագիծ

Մի շրջանակի ընդհանուր հավասարումը, որի վրա կենտրոնացած է ($r_{0},\;\theta$) և շառավղով $a$ ունի ձևը:

$r^{2}-2rr_{0}\cos(\varphi -\theta )+r_{0}^{2}=a^{2}.$

Այս հավասարումը կարող է պարզեցվել հատուկ դեպքերի համար, օրինակ

$r(\varphi )=a$

բևեռի և շառավիղի վրա կենտրոնացած շրջանաձև սահմանող հավասարություն է $a$:

Ուղիղ

Ռադիալ գծերը (դրանք, որոնք անցնում են բևեռով) սահմանվում են հավասարման միջոցով

$\varphi =\theta ,$

ուր $\theta$ — այն անկյունը, որով գիծը շեղվում է բևեռային առանցքից, այսինքն $\theta =\mathrm {arctg} \,m$ ուր $m$ — գծի լանջը ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում: Ոչ ռադիացիոն գիծ, ​​ուղղահայաց, ճառագայթային գիծը հատելու համար $\varphi =\theta$ կետում $(r_{0},\;\theta )$ սահմանված հավասարմամբ

$r(\varphi )=r_{0}\sec(\varphi -\theta ).$

Բևեռային վարդ

Բևեռային վարդը տրված է $\scriptstyle {r(\varphi )=2\sin 4\varphi }$ հավասարությունով

Բևեռային վարդ— հայտնի մաթեմատիկական կոր, որը նման է ծաղիկներով ծաղկի: Դա կարող է որոշվել բևեռային կոորդինատներում պարզ հավասարմամբ.

$r(\varphi )=a\cos(k\varphi +\theta _{0})$

կամայական կայունության համար $\theta _{0}$ (ներառյալ 0)։ Եթե $k$ — ամբողջական, ապա այս հավասարումը կորոշի վարդը հետ $k$ лепестками для нечётных $k$, կամ էլ $2k$ лепестками для чётных $k$. Եթե $k$ — հավասարման կողմից տրված ռացիոնալ, բայց ոչ ամբողջը, գրաֆիկը ձևավորում է վարդի նման մի գործիչ, բայց ծաղկաթերթերը համընկնվելու են: Եթե $k$ — իռացիոնալ, ապա բարձրացավ բաղկացած է անսահման թվով մասամբ համընկնող ծաղկաթերթերից: 2, 6, 10, 14 և այլն ծաղկաթերթերով վարդեր հնարավոր չէ որոշել այս հավասարման միջոցով: Փոփոխական $a$ определяет длину лепестков.

Եթե ​​ենթադրենք, որ շառավղը չի կարող բացասական լինել, ապա ցանկացած բնականի համար $k$ մենք կունենանք $k$-ծաղկաթերթ վարդ: Այսպիսով, հավասարումը $r(\varphi )=\cos(2\varphi )$ նույնականացնելու է վարդը երկու ծաղկաթերթով: Երկրաչափական տեսանկյունից շառավղը հեռավորությունն է բևեռից մինչև կետ, և այն չի կարող բացասական լինել:

Վարդապետ պարույր

Արքիմեդի պարույրներից մեկը, որ տրված է $\scriptstyle {r(\varphi )=\varphi }$ հավասարությունով $\scriptstyle {0<\theta <6\pi }$ համար

Վարդապետական ​​պարույրը կոչվում է իր գյուտարարի՝ հին հունական մաթեմատիկոս Արքիմեդի անունով: Այս պարույրը կարելի է որոշել պարզ բևեռային հավասարման միջոցով.

$r(\varphi )=a+b\varphi .$

Պարամետրը փոխվում է $a$ հանգեցնել պարույրի պտտմանը, իսկ պարամետրը $b$ — շրջադարձերի միջև եղած հեռավորությունը, որը որոշակի պարույրի համար հաստատուն է: Արքիմեդի պարույրը ունի երկու մասնաճյուղ, մեկը` համար $\varphi >0$ և ևս մեկը $\varphi <0$։ Երկու ճյուղ սահուն միացված է բևեռին: Հայլորացնելով մեկ մասնաճյուղ անկյունով անցնող ուղիղ գծի համեմատ 90°/270°,կտա մեկ այլ ճյուղ: Այս կորը հետաքրքիր է, քանի որ մաթեմատիկական գրականության մեջ այն նկարագրվել է որպես առաջիններից մեկը՝ կոնաձև հատվածից հետո, և այն ավելի լավ է որոշվում, քան մյուսները՝ բևեռային հավասարման միջոցով:

Կոնաձև հատվածներ

Էլիպս

Մի կոնաձև հատված, որի կիզակետերից մեկը գտնվում է բևեռում, իսկ մյուսը՝ բևեռային առանցքի վրա (այնպես, որ փոքրիկ առանցքը ընկած է բևեռային առանցքի երկայնքով) տրված է հավասարման միջոցով։

$r={\frac {\ell }{1-e\cos \varphi }},$

ուր $e$ — էքսցենտրիկություն, а $\ell$ — կիզակետային պարամետր: Եթե $e>1$, այս հավասարումը սահմանում է հիպերբոլա; եթե $e=1$, ապա պարաբոլա; եթե $e<1$, ապա էլիպս: Առանձնահատուկ դեպք է $e=0$, ճառագայթով սահմանող շրջանակը $\ell$։

Բարդ թվեր

$\scriptstyle {z}$ կոմպլեքս թվի օրինակ, որ տրված է կոմպլեքս հարթության վրա

Կոմպլեքս թվի օրինակ, որ տրված է գրաֆիկի վրա՝ Էյլերի բանաձևի կիրառմամբ

Յուրաքանչյուր բարդ համարը կարող է ներկայացվել բարդ հարթության վրա գտնվող կետով, և ըստ այդմ՝ այս կետը կարող է որոշվել ուղղանկյան կոորդինատներում (ուղղանկյուն կամ քարտեզիական) կամ բևեռային կոորդինատներում (բևեռային ձև): Բարդ համարը $z$ կարելի է գրել ուղղանկյուն ձևով այսպիսին է։

$z=x+iy,$

ուր $i$ — երևակայական միավոր, կամ բևեռային (տե՛ս վերևում համակարգված համակարգերի միջև փոխակերպման բանաձևերը):

$z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi )$

և այստեղից.

$z=re^{i\varphi },$

ուր $e$ — Էյլերի համարը: Էյուլերի բանաձևի շնորհիվ երկու ներկայացուցչությունները համարժեք են (Պետք է նշել, որ այս բանաձևում, ինչպես և այլ բանաձևեր, որոնք պարունակում են անկյունների էքսպոզիցիա, անկյուն $\varphi$ տրված ռադիաներով)։

Բարդ թվերի ուղղանկյուն և բևեռային ներկայացման միջև անցման համար կարող են օգտագործվել կոորդինատային համակարգերի միջև վերը նշված վերափոխման բանաձևերը:

Բարդ թվերով բազմապատկումը, բաժանումը և էքսպենսիվացումը սովորաբար ավելի հեշտ է իրականացվում բևեռային ձևով: Ցուցահանդես. կանոնների համաձայն.

• Բազմապատկում:

$r_{0}e^{i\varphi _{0}}\cdot r_{1}e^{i\varphi _{1}}=r_{0}r_{1}e^{i(\varphi _{0}+\varphi _{1})}.$

• Բաժին:

${\frac {r_{0}e^{i\varphi _{0}}}{r_{1}e^{i\varphi _{1}}}}={\frac {r_{0}}{r_{1}}}e^{i(\varphi _{0}-\varphi _{1})}.$

• Իշխանության բարձրացում (Մավավա բանաձև).

$(re^{i\varphi })^{n}=r^{n}e^{in\varphi }.$

Մաթեմատիկական վերլուծության մեջ

Մաթեմատիկական վերլուծության գործողությունները կարող են ձևակերպվել նաև բևեռային կոորդինատների միջոցով։

Դիֆերենցիալ հաշվարկ

Հետևյալ բանաձևերը ուժի մեջ են.

$r{\frac {\partial }{\partial r}}=x{\frac {\partial }{\partial x}}+y{\frac {\partial }{\partial y}},$

${\frac {\partial }{\partial \varphi }}=-y{\frac {\partial }{\partial x}}+x{\frac {\partial }{\partial y}}.$

Գծապատկերի թեքության անկյունի անկյունը գտնելու համար գտնել բևեռային կորի ցանկացած տվյալ կետ $r(\varphi )$ քարտեզյան կոորդինատներում մենք դրանք արտահայտում ենք պարամետրային ձևով հավասարումների համակարգի միջոցով.

$x=r(\varphi )\cos \varphi ,$

$y=r(\varphi )\sin \varphi .$

Տարբերում են երկու հավասարումները`կապված $\varphi$ մենք ստանում ենք.

${\frac {dx}{d\varphi }}=r'(\varphi )\cos \varphi -r(\varphi )\sin \varphi ,$

${\frac {dy}{d\varphi }}=r'(\varphi )\sin \varphi +r(\varphi )\cos \varphi .$

Բաժանելով այս հավասարումները (երկրորդը առաջին հերթին), մենք ստանում ենք ցանկալի շեղանկյունը`քարտի կոորդինատների համակարգում նախանշվածի թեքման անկյան տակ $(r,\;r(\varphi ))$:

${\frac {dy}{dx}}={\frac {r'(\varphi )\sin \varphi +r(\varphi )\cos \varphi }{r'(\varphi )\cos \varphi -r(\varphi )\sin \varphi }}.$

Ինտեգրալ հաշվարկ

Թող $R$, բևեռային կորի ձևավորած շրջանը $r(\varphi )$և ճառագայթները $\varphi =a$ и $\varphi =b$, где $0<b-a<2\pi$: Այնուհետև այս շրջանի տարածքը որոշվում է որոշակի ինտեգրալով.

${\frac {1}{2}}\int \limits _{a}^{b}[r(\varphi )]^{2}\,d\varphi .$

Նման արդյունքը կարելի է ստանալ հետևյալ կերպ: Սկզբում մենք խախտում ենք ինտերվալը $[a,\;b]$ ենթաբազմությունների կամայական թվով $n$: Այսպիսով, նման ենթածրագրի երկարությունը $\Delta \varphi$ հավասար է $b-a$ (ամբողջ երկարության երկարությունը), բաժանված է $n$ (ենթաբազմությունների քանակը): Թող յուրաքանչյուր ենթահողի համար $i=1,\;2,\;\ldots ,\;n$ $\varphi _{i}$ — միջին կետը: Կառուցենք ոլորտները կենտրոնի բևեռում, շառավղով $r(\varphi _{i})$, կենտրոնական անկյուններ $\Delta \varphi$ և աղեղի երկարությունը $r(\varphi _{i})\Delta \varphi$. Հետևաբար յուրաքանչյուր այդ ոլորտի տարածքը կլինի ${\frac {1}{2}}r(\varphi _{i})^{2}\Delta \varphi$. Այստեղից բոլոր ոլորտների ընդհանուր մակերեսը.

$\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{2}}r(\varphi _{i})^{2}\,\Delta \varphi .$

Եթե ենթահամակարգերի քանակը $n$ մեծանալ, ապա այդպիսի մոտավոր արտահայտության սխալը կնվազի: Դնելով $n\to \infty$, արդյունքում ստացված գումարը կդառնա անբաժանելի: Այս գումարի սահմանը $\Delta \varphi \to 0$ սահմանում է վերը նշված ինտեգրալը.

$\lim _{\Delta \varphi \to 0}\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{2}}r(\varphi _{i})^{2}\,\Delta \varphi ={\frac {1}{2}}\int \limits _{a}^{b}[r(\varphi )]^{2}\,d\varphi .$

Ամփոփում

Օգտագործելով քարտեզյան կոորդինատները, տարածքը անսահման փոքր տարր կարող է հաշվարկվել որպես $dA=dx\,dy$: Բազմաթիվ ինտեգրալներում մեկ այլ կոորդինատային համակարգ անցնելիս անհրաժեշտ է օգտագործել Յակոբի որոշիչ:

$J=\det {\frac {\partial (x,\;y)}{\partial (r,\;\varphi )}}={\begin{vmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial r}}&{\dfrac {\partial x}{\partial \varphi }}\\{\dfrac {\partial y}{\partial r}}&{\dfrac {\partial y}{\partial \varphi }}\end{vmatrix}}.$

Բևեռային կոորդինատային համակարգի համար Յակոբիի մատրիցայի որոշիչն է $r$:

$J={\begin{vmatrix}\cos \varphi &-r\sin \varphi \\\sin \varphi &r\cos \varphi \end{vmatrix}}=r\cos ^{2}\varphi +r\sin ^{2}\varphi =r.$

Հետևաբար, բևեռային կոորդինատներում տարրի տարածքը կարող է գրվել հետևյալ կերպ.

$dA=J\,dr\,d\varphi =r\,dr\,d\varphi .$

Այժմ բևեռային կոորդինատներում գրանցված գործառույթը կարող է ինտեգրվել հետևյալին.

$\iint \limits _{R}f(r,\;\varphi )\,dA=\int \limits _{a}^{b}\int \limits _{0}^{r(\varphi )}f(r,\;\varphi )\,r\,dr\,d\varphi .$

Ահա տարածքը $R$, ինչպես նախորդ բաժնում, բևեռային կորը կազմող մեկը $r(\varphi )$ и лучи $\varphi =a$ и $\varphi =b$.

Նախորդ բաժնում նկարագրված տարածքի հաշվարկման բանաձևը ստացվում է գործով $f=1$. Բազմակի ինտեգրալների համար բանաձևի կիրառման հետաքրքիր արդյունքը Էյլեր Պուասոնի Ինտեգրալն է:

$\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}.$

Վեկտորի վերլուծություն

Բևեռային կոորդինատների համար կարող եք կիրառել վեկտորի վերլուծության տարրեր: Ցանկացած վեկտորի դաշտ $\mathbf {F}$ կարելի է գրել բևեռային կոորդինատային համակարգում `օգտագործելով միավորի վեկտորները.

$\mathbf {e} _{r}=(\cos \varphi ,\;\sin \varphi )$

դեպի $\mathbf {r}$, և

$\mathbf {e} _{\varphi }=(-\sin \varphi ,\;\cos \varphi );$

$\mathbf {F} =F_{r}\mathbf {e} _{r}+F_{\varphi }\mathbf {e} _{\varphi }.$

Քարտեզիայի դաշտային բաղադրիչների միջև փոխհարաբերությունները $F_{x}$ և $F_{y}$ իսկ բևեռային կոորդինատային համակարգում դրա բաղադրիչները տրվում են հավասարումների միջոցով.

$F_{x}=F_{r}\cos \varphi -F_{\varphi }\sin \varphi ;$

$F_{y}=F_{r}\sin \varphi +F_{\varphi }\cos \varphi .$

Ըստ այդմ, վեկտորի վերլուծության օպերատորները սահմանվում են բևեռային կոորդինատների համակարգում: Օրինակ՝ սկալարի դաշտի գրադիենտ $\Phi (r,\;\varphi )$ գրված է:

$\mathrm {grad} \,\Phi ={\frac {\partial \Phi }{\partial r}}\mathbf {e} _{r}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \varphi }}\mathbf {e} _{\varphi }.$

Եռաչափ ընդլայնում

Բևեռային կոորդինատների համակարգը երրորդ հարթությունում բաշխվում է երկու համակարգով՝ գլանաձև և գնդաձև, երկուսն էլ պարունակում են երկչափ բևեռային կոորդինատների համակարգ՝ որպես ենթաբազմություն: Փաստորեն, գլանաձև համակարգը ընդլայնում է բևեռայինը`ավելացնելով ևս մեկ հեռավորության կոորդինատ, իսկ գնդաձև համակարգը` ևս մեկ անկյունային կոորդինատ:

Գլանաձև կոորդինատներ

Հիմնական հոդված՝ Գլանաձև կոորդինատների համակարգ

Գլանաձև կոորդինատների համակարգը, կոպիտ ասած, ընդլայնում է գծային բևեռային համակարգը`ավելացնելով երրորդ գծային կոորդինատը, որը կոչվում է «բարձրություն» և հավասար է զրոյական հարթության վերևում գտնվող կետի բարձրությանը, նման է այն բանին, թե ինչպես է քարտեզային համակարգը ընդլայնվում գործի երեք հարթությունների դեպքում: Երրորդ կոորդինատը սովորաբար նշվում է որպես $z$, կոորդինատների եռակի ձևավորումը $(\rho ,\;\varphi ,\;z)$:

Եռակի գլանաձև կոորդինատները կարող են տեղափոխվել Քարտեզիական համակարգ հետևյալ փոխակերպումներով.

${\begin{cases}x=\rho \cos \varphi ;\\y=\rho \sin \varphi ;\\z=z.\end{cases}}$

Գնդաձև կոորդինատներ

Հիմնական հոդված՝ Գնդաձև կոորդինատների համակարգ

Նաև բևեռային կոորդինատները կարող են տարածվել երեք չափումների դեպքում`անկյունային կոորդինատը ավելացնելով $\theta$, հավասար է ուղղահայաց առանցքից ռոտացիայի անկյունին $z$ (կոչվում է զենիթ կամ լայնություն, արժեքները գտնվում են 0-ից 180 ° սահմաններում): Այսինքն՝ գնդաձև կոորդինատները, սա եռակի է $(r,\;\varphi ,\;\theta )$, որտեղ $r$ — հեռավորությունը կոորդինատների կենտրոնից, $\varphi$ — անկյուն առանցքից $x$ (ինչպես ինքնաթիռի բևեռային կոորդինատներում), $\theta$ — լայնություն ոլորտի կոորդինատների համակարգը նման է աշխարհագրական կոորդինատների համակարգին`Երկրի մակերևույթի գտնվելու վայրը որոշելու համար, որտեղ ծագումը համընկնում է Երկրի կենտրոնի, լայնության հետ $\delta$ համարվում է լրացում $\theta$ և հավասար է

$\delta =90^{\circ }-\theta$, և երկայնություն $l$ հաշվարկված բանաձևով $l=\varphi -180^{\circ }$:

Երեք գնդաձև երեք կոորդինատները կարող են փոխարկվել քարտեզային համակարգի հետևյալ վերափոխումների.

${\begin{cases}x=r\sin \theta \cos \varphi ;\\y=r\sin \theta \sin \varphi ;\\z=r\cos \theta .\end{cases}}$

Ամփոփում n չափումներով

Բևեռային կոորդինատների համակարգը կարող է տարածվել գործի վրա $n$-ծավալային տարածություն: Թող $x_{i}\in \mathbb {R}$, $i=1,\;\ldots ,\;n$ — համակարգել վեկտորները $n$-ծավալային ուղղանկյուն կոորդինատների համակարգ: Անհրաժեշտ կոորդինատները

$n$-ծավալային բևեռային համակարգը կարող է մուտքագրվել որպես վեկտորի թեքման անկյուն $x\in \mathbb {R} ^{n}$ կոորդինատային առանցքից $x_{i+2}$.

Ընդհանուր թարգմանել $n$-ծավալային բևեռային կոորդինատները քարտեզում կարող են օգտագործել հետևյալ բանաձևերը.

${\begin{array}{lcr}x_{1}&=&r\cos \varphi \sin \vartheta _{1}\sin \vartheta _{2}\ldots \sin \vartheta _{n-3}\sin \vartheta _{n-2};\\x_{2}&=&r\sin \varphi \sin \vartheta _{1}\sin \vartheta _{2}\ldots \sin \vartheta _{n-3}\sin \vartheta _{n-2};\\x_{3}&=&r\cos \vartheta _{1}\sin \vartheta _{2}\ldots \sin \vartheta _{n-3}\sin \vartheta _{n-2};\\x_{4}&=&r\cos \vartheta _{2}\ldots \sin \vartheta _{n-3}\sin \vartheta _{n-2};\\\ldots &\ldots &\ldots \qquad \qquad \qquad \\x_{n-1}&=&r\cos \vartheta _{n-3}\sin \vartheta _{n-2};\\x_{n}&=&r\cos \vartheta _{n-2}.\end{array}}$

Ինչպես երևում է, գործը $n=2$ համապատասխանում է ինքնաթիռում սովորական բևեռային կոորդինատների համակարգին, և $n=3$ — պայմանական գնդաձև կոորդինատների համակարգին:

Բևեռային կոորդինատները քարտեզում վերափոխելու Յակոբը տալիս է բանաձևով.

$\det {\frac {\partial (x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})}{\partial (r,\;\varphi ,\;\vartheta _{1},\;\ldots ,\;\vartheta _{n-2})}}=r^{n-1}\sin \vartheta _{1}(\sin \vartheta _{2})^{2}\ldots (\sin \vartheta _{n-2})^{n-2},$

որտեղ $n$-ծավալային չափիչ տարրը ունի ձև.

$dV=r^{n-1}\sin \vartheta _{1}(\sin \vartheta _{2})^{2}\ldots (\sin \vartheta _{n-2})^{n-2}\,dr\,d\varphi \,d\vartheta _{1}\ldots d\vartheta _{n-2}=$

$=r^{n-1}\,dr\,d\varphi \prod \limits _{j=1}^{n-2}(\sin \vartheta _{j})^{j}\,d\vartheta _{j}.$

Դիմում

Բևեռային կոորդինատների համակարգը երկչափ է, ուստի այն կարող է օգտագործվել միայն այն դեպքերում, երբ կետի գտնվելու վայրը որոշվում է ինքնաթիռում, կամ համակարգի հատկությունների միատարրության դեպքում`երրորդ հարթության դեպքում, օրինակ, կլոր խողովակում հոսքը հաշվի առնելու դեպքում: Բևեռային կոորդինատների կիրառման լավագույն համատեքստը դեպքերն են, որոնք սերտորեն կապված են որոշակի կենտրոնի ուղղության և հեռավորության վրա: Օրինակ, վերը նշված օրինակներում պարզ է, որ բևեռային կոորդինատներում պարզ հավասարումները բավարար են, որպեսզի որոշվեն այնպիսի կորեր, ինչպիսիք են Արքիմեդի պարույրը, որի ուղղումները ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում հավասարումները շատ ավելի բարդ են: Բացի այդ, շատ ֆիզիկական համակարգեր, ինչպիսիք են մարմինները պարունակող կենտրոն, որոնք շարժվում են կենտրոնով կամ կենտրոնից տարածվող երևույթներ, շատ ավելի հեշտ են մոդելավորվել բևեռային կոորդինատներում: Բևեռային կոորդինատային համակարգի ստեղծման պատճառը ուղեծրային և շրջանաձև շարժման ուսումնասիրությունն էր:

Դիրքավորում և դիրքափոխում

Բևեռային կոորդինատների համակարգը հաճախ օգտագործվում է դիրքափոխման մեջ, քանի որ նպատակակետը կարող է սահմանվել որպես մեկնարկի կետից շարժման հեռավորություն և ուղղություն: Օրինակ՝ ավիացիայի ոլորտում բևեռային կոորդինատների մի փոքր փոփոխված տարբերակը օգտագործվում է դիրքափոխման համար: Այս համակարգում, որը սովորաբար օգտագործվում է նավիգացիայի համար, 0 ° ճառագայթը կոչվում է 360 ուղղություն, իսկ անկյունները հաշվում են ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ: Ուղղությունը 360 համապատասխանում է մագնիսական հյուսիսին, իսկ 90, 180 և 270 ուղղությունները համապատասխանում են մագնիսական արևելքին, հարավին և արևմուտքին: Այսպիսով, մի ինքնաթիռ, որը թռչում է դեպի արևելք 5 ծովային մղոն, կարելի է բնութագրել որպես ինքնաթիռ, որը թռչում է 5 ուղղություն 90 ուղղությամբ (թռիչքի կառավարման կենտրոնը այն կկոչի ինը զիրո):

Մոդելավորում

Ճառագայթային սիմետրիայով համակարգերը շատ լավ են նկարագրվում ճառագայթային կոորդինատներում, որտեղ կոորդինատների համակարգի բևեռը համընկնում է սիմետրիայի կենտրոնի հետ: Օրինակ է ստորերկրյա ջրերի հոսքի հավասարումը՝ ճառագայթային սիմետրիկ հորերի դեպքում: Կենտրոնական ուժ ունեցող համակարգերը նույնպես հարմար են բևեռային կոորդինատներում մոդելավորման համար: Նման համակարգերը ներառում են գրավիտացիոն դաշտեր, որոնք հնազանդվում են հակադարձ քառակուսային կախվածության մասին օրենքին, ինչպես նաև էներգիայի կետային աղբյուրներով համակարգեր, ինչպիսիք են ռադիո ալեհավաքները:

Բարձրախոսների ձայնի եռաչափ մոդելավորումը կարող է օգտագործվել դրանց արդյունավետության կանխատեսման համար: Բևեռային կոորդինատներում անհրաժեշտ է մի քանի դիագրամ պատրաստել՝ հաճախականությունների լայն շրջանակի համար, քանի որ առջևի մասը զգալիորեն տատանվում է՝ կախված ձայնի հաճախականությունից: Բևեռային դիագրամները օգնում են տեսնել, որ ձայնի ավելի ցածր հաճախականությամբ բարձրախոսներ կորցնում են ուղղությունը:

Բևեռային կոորդինատներում սովորական է նաև ներկայացնել միկրոֆոնների ուղղորդվածությունը, որը որոշվում է զգայունության հարաբերակցությամբ $M_{\alpha }$ երբ ձայնային ալիքը անկյունով պատահում է $\alpha$ համեմատած խոսափողի ձայնային առանցքի հետ`դրա առանցքային զգայունության համար.

$\varphi ={\frac {M_{\alpha }}{M_{0}}}.$

Տես նաև

• Տարրական մաթեմատիկայի համակարգված համակարգերը
• Կոորդինատային համակարգեր

Գրականություն

• Гельфанд И. М., Глаголева Е. Г., Кириллов А. А. Метод координат.(չաշխատող հղում)

Издание пятое, стереотипное. Серия: Библиотечка физико-математической школы. Математика. Выпуск 1. М.: Наука, 1973, стр. 47-50.

Արտաին հղումներ

• Программы для рисования графиков հոդվածը Curlie-ում (ըստ DMOZ-ի)