Ծալված ռուբլու խնդիր

Ծալված ռուբլու խնդիր կամ Մարգուլիսի խնդիրն անձեռոցիկի մասին, օրիգամիի մաթեմատիկայի խնդիր, առաջին խնդիրը Վլադիմիր Առնոլդի խնդիրների ցանկում։

Ձևակերպում

Հնարավո՞ր է արդյոք ուղղանկյուն թուղթը ծալել հարթ պատկերի այնպես, որ պատկերի պարագիծն ավելի մեծ լինի, քան բուն ուղղանկյանը։ Պոկել ու կտրել թուղթը, իհարկե, չի կարելի։

Մաթեմատիկորեն ճշգրիտ ձևակերպման մեջ պահանջվում է հստակեցնել, թե ինչ է նշանակում «ծալել»։ Կախված այս ճշգրտումից՝ պատասխանը կարող է լինել «այո», «ոչ» կամ «անհայտ է»։

Թղթի ծալում

Օրինակ, եթե հաշվի առնենք, որ յուրաքանչյուր ծալելուց հետո թուղթը սոսնձվում է, ապա դժվար չէ ապացուցել, որ յուրաքանչյուր ծալման դեպքում պարագիծը նվազում է, հետևաբար այն չի կարելի մեծացնել։ Սակայն, եթե հաշվի առնենք, որ կարելի է թերթը ծալել և հետ ծալել, ինչպես ցույց է տրված նկարում, ապա ակնհայտ է, որ հետ ծալելու դեպքում պարագիծն ավելանում է, թեև այն մնում է ավելի քիչ, քան սկզբնական ուղղանկյան պարագիծն է։ Հայտնի չէ, թե արդյոք հնարավոր է մեծացնել պարագիծը՝ կատարելով միայն ծալում և ետ ծալում։

Այնուամենայնիվ, եթե թույլատրվի միաժամանակ մի քանի ծալքերի երկայնքով ծալել թերթը, ապա հնարավոր է մեծացնել նրա պարագիծը^[1]։ Նման բարդ ծալքերը տարածված են օրիգամիում, և հենց օրիգամիստներն են առաջինը կարողացել առաջընթաց գրանցել խնդրի լուծման գործում։ Մի կողմից, օրիգամիում հաճախ երկարացնում կամ սեղմում են թուղթը, ինչը անթույլատրելի է մաթեմատիկական ձևակերպմամբ։ Մյուս կողմից, իդեալական մաթեմատիկական «թուղթը» չունի հաստություն, և նույնիսկ մեծ «սենդվիչները» կարող են ազատորեն ծալվել^[1]։

Պատմություն

Այս հարցը հաճախ համարվում է ֆոլկլորային, բայց, ըստ երևույթին, այն առաջին անգամ ձևակերպվել է Վլադիմիր Առնոլդը 1956 թվականին^[2]։ Արևմուտքում խնդիրը հայտնի է դարձել «Մարգուլիսի անձեռոցիկի խնդիր» անվանումով։

Խնդրի մասնակի լուծման հիմնական քայլը ներկայացրել են օրիգամիստները^[3]։ Մասնակի լուծումներ են առաջարկվել Սվետլանա Կրատը^[4], Ռոբերտ Լենգը^[5]^[6], Իվան Յաշչենկոն^[7]։ Առավել ամբողջական լուծումը ներկայացրել է Ալեքսեյ Տարասովը^[8]։

Ծանոթագրություններ

↑ ^1,0 ^1,1 Антон Айзенберг. Задача о мятом рубле Արխիվացված 2016-06-30 Wayback Machine, Научно-популярные задачи на «Элементах»: Математика.
↑ В. И. Арнольд Задача 1956-1 // Задачи Арнольда. — Фазис, 2000. — С. 2. — 454 с. — ISBN 5-7036-0060-X
↑ The Margulis Napkin Problem Արխիվացված 2009-10-26 Wayback Machine. The geometry junkyard Արխիվացված 2010-01-06 Wayback Machine.
↑ S. Krat, Approximation Problems in Length Geometry, Ph.D. thesis, Pennsylvania State University, 2005
↑ Montroll, John and Robert J. Lang (1990). Origami Sea Life. Dover Publications. էջեր 195–201.
↑ Lang, Robert J. (2003). Origami Design Secrets: Mathematical Methods for an Ancient Art. A K Peters. էջեր 315–319. ISBN 9781568811949.
↑ I. Yaschenko Make Your Dollar Bigger Now!!! (und) // Math. Intelligencer. — 1998. — Т. 20. — № 2. — С. 36—40. — doi:10.1007/BF03025296
↑ А. Тарасов Решение задачи Арнольда о «мятом рубле» // Чебышевский сборник. — 2004. — В. 1. — Т. 5. — С. 174—187. Архивировано из первоисточника 20 Օգոստոսի 2014.

Արտաքին հղումներ

Антон Айзенберг Задача о мятом рубле(ռուս.) // Элементы.ру. — 2014.
В. И. Арнольд. Задачи для детей от 5 до 15 лет. — М.: МЦНМО, 2004. — 16 с. — ISBN 5-94057-183-2
А. Петрунин Плоское оригами и длинный рубль (с приложением видеоматериалов А. Тарасова) // Задачи Санкт-петербургской олимпиады школьников по математике. — 2008.
Мятый рубль / Математические этюды
Решение Тарасова / Математические этюды

[elem-1] 1,0 ^1,1 Антон Айзенберг. Задача о мятом рубле Արխիվացված 2016-06-30 Wayback Machine, Научно-популярные задачи на «Элементах»: Математика.

[2] В. И. Арнольд Задача 1956-1 // Задачи Арнольда. — Фазис, 2000. — С. 2. — 454 с. — ISBN 5-7036-0060-X

[3] The Margulis Napkin Problem Արխիվացված 2009-10-26 Wayback Machine. The geometry junkyard Արխիվացված 2010-01-06 Wayback Machine.

[4] S. Krat, Approximation Problems in Length Geometry, Ph.D. thesis, Pennsylvania State University, 2005

[SeaLife-5] Montroll, John and Robert J. Lang (1990). Origami Sea Life. Dover Publications. էջեր 195–201.

[Lang-6] Lang, Robert J. (2003). Origami Design Secrets: Mathematical Methods for an Ancient Art. A K Peters. էջեր 315–319. ISBN 9781568811949.

[7] I. Yaschenko Make Your Dollar Bigger Now!!! (und) // Math. Intelligencer. — 1998. — Т. 20. — № 2. — С. 36—40. — doi:10.1007/BF03025296

[8] А. Тарасов Решение задачи Арнольда о «мятом рубле» // Чебышевский сборник. — 2004. — В. 1. — Т. 5. — С. 174—187. Архивировано из первоисточника 20 Օգոստոսի 2014.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]