Լեբեգի ինտեգրալ

Ինտեգրումը ըստ Ռիմանի (վերև) և ըստ Լեբեգի (ներքև)

Լեբեգի ինտեգրալ, արդի մաթեմատիկայի հիմնական հասկացություններից։ Դիցուք $A_{1},....,A_{n}$-ը $[a,b]$ հատվածի որևէ չափելի տրոհում է, այսինքն $A_{1}$ բազմությունները չափելի են (տես Չափ բազմության), զույգ առ զույգ չեն հատվում և նրանց գումարը $[a,b]$-ն է։

$S(x)$-ը կոչվում է պարզ ֆունկցիա, եթե $A_{1}$-ի վրա հաստատուն է, ասենք, հավասար է $a_{1}$: $S(x)$-ի Լեբեգի ինտեգրալը կոչվում է $\sum \limits _{i=1}^{n}Q_{i}\mu A_{i}$ արտահայտությունը և նշանակվում՝ $\int _{a}^{b}S(x)dx$ ($\mu$-ն լեբեգյան չափն է)։ Եթե $f(x)$-ը ոչ բացասական և չափելի ֆունկցիա է, ապա ըստ սահմանման $\int _{a}^{b}f(x)dx=\sup _{0\leqslant S\leqslant f}\int _{a}^{b}S(x)dx$, որտեղ supremum-ը վերցվում է բոլոր հնարավոր չափելի պարզ ֆունկցիաների $(0\leqslant S\leqslant f)$ դասում։

Քանի որ կամայական չափելի $f(x)$-ը ներկայացվում է ոչ բացասական չափելի ֆունկցիաների տարբերությամբ՝ $f_{1}-f_{2}$, ապա $f(x)$-ի Լեբեգի ինտեգրալ են անվանում$\int _{a}^{b}f_{1}(x)dx-\int _{a}^{b}f_{2}(x)dx$ արտահայտությունը ($\infty -\infty$ դեպքը բացառվում է) և նշանակում՝ $\int _{a}^{b}f(x)dx$ կամ $(L)\int _{a}^{b}f(x)dx$: Լեբեգի ինտեգրալի այս սահմանումը պիտանի է շատ ավելի ընդհանուր իրավիճակում, մասնավորապես, եթե $[a,b]$-ն փոխարինվի $(a,+\infty ),(-\infty ,b),(-\infty ,\infty )$ բազմություններով։ Այս դեպքում ստացվող ընդհանրացումները պարունակում են Ռիմանի բացարձակ զուգամետ (բայց ոչ պայմանական) անիսկական ինտեգրալները։ Ռիմանի իմաստով ինտեգրելի ֆունկցիան ինտեգրելի է նաև Լեբեգի իմաստով (հակառակը ճիշտ չէ) և այդ ինտեգրալները համընկնում են։ Եթե $(L)\int _{a}^{b}f(x)dx$ վերջավոր է, ապա $f$-ը կոչվում է հանրագումարելի ֆունկցիա։ Մաթեմատիկական առօրյայում հանդիպող բոլոր սահմանափակ ֆունկցիաները հանրագումարելի են։ Լեբեգի ինտեգրալի հիմնական արժանիքներից է այն, որ բավական «ճկուն» է սահմանային գործողություններ կատարելիս։ Օրինակ, եթե $f_{n},g$ ֆունկցիաները հանրագումարելի են, $|f_{n}|\leqslant g,f_{n}\to f$ եթե $n\to \infty$, ապա $f$-ը նույնպես հանրագումարելի է և $\int _{a}^{b}f_{n}(x)dx\to _{n\to \infty }\int _{a}^{b}f(x)dx$:

Լեբեգի ինտեգրալը զգալիորեն լայնացրեց դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշվի հիմնական՝ նախնական ֆունկցիան գտնելու բանաձևի շրջանակները

Տես նաև

• Ինտեգրալ հաշիվ

Ծանոթագրություններ

Վիքիպահեստն ունի նյութեր, որոնք վերաբերում են «Լեբեգի ինտեգրալ» հոդվածին։

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 4, էջ 510)։