Գծային համակարգերի շարժման ըստ կարևորության ղեկավարելիության մասին[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Դիտարկենք հետևյալ դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգը՝
(1.1)
Սահմանենք (1.1) համակարգի լրիվ ղեկավարելիությունը։
Սահմանում [1]։ (1.1) համակարգը կանվանենք լրիվ ղեկավարելի
ժամանակահատվածի վրա, եթե
ղեկավարումների համախմբությունից կարելի է գտնել այնպիսի ղեկավարումներ, որոնց ազդեցությամբ (1.1) համակարգը կամայական
սկզբնական դիրքից կարելի է տեղափոխել կամայական
վերջնական դիրք։
(1.1) համակարգի ղեկավարելիության ուսումնասիրության համար նպատակահարմար է կատարել հետևյալ նշանակումները [1]
(1.2)
Այստեղ
մատրիցը ունի
չափողականություն, որտեղ
պարամեարերի համախմբությունը, իսկ U վեկտոր-սյան չափողականությունը հավասար է r։
Հաշվի առնելով (1.2) նշանակումները (1.1) համակարգը կարելի է գրել հետևյալ տեսքով
(1.3)
Ենթադրենք
և
մատրիցների էլեմենտները համապատասխանաբար ունեն ընդհուպ մինչև
–րդ և
–րդ կարգի անընդհատ ածանցյալներ ըստ t-ի,
հատվածի գոնե ինչ-որ
կետի շրջակայքում։ Այդ
կետի շրջակայքում ներմուծենք
մատրիցները հետևյալ ռեկուրենտ (անդրադարձ) առնչություններով՝
(1.4)
Հետևաբար, համաձայն [2], (1.3) ոչ ստացիոնար համակարգի համար տեղի ունի հետևյալ թեորեմը (լրիվ ղեկավարելիության բավարար պայմանը) [1]
Թեորեմ 1: Դիցուք
հատվածում գոյություն ունի
կետ, որում
(1.5)
մատրիցի ռանգը հավասար է n-ի։ Այդ դեպքում (1.3) համակարգը լրիվ ղեկավարելի է հատվածի վրա։
Եթե (1.3) համակարգը ստացիոնար է, այսինքն՝
(1.6)
ապա
մատրիցը, համաձայն (1.4)-ի կընդունի հետևյալ պարզ տեսքը
(1.7)
(1.5)-ը և (1.7)-ը Կալմանի մատրիցներն են համապատասխանաբար ոչ ստացիոնար՝ (1.3) և ստացիոնար՝ (1.6) համակարգերի համար։
Թեորեմ 2: Որպեսզի (1.6) ստացիոնար համակարգը լինի լրիվ ղեկավարելի կամայական
հատվածի վրա, անհրաժեշտ է և բավարար, որ ղեկավարելիության
(1.7) մատրիցի ռանգը հավասար լինի n-ի։
Այս թեորեմների ապացույցը կատարվում է [2]-ում բերված համանման թեորեմների ապացույցների ձևով։
Հարկ է նշել, որ մի քանի
ղեկավարող ազդեցություններով համակարգի ղեկավարման հնարավորության դեպքում, լրիվ ղեկավարելիության հատկությունը ընդունում է առանձնահատուկ տեսք։
Որպես օրինակ դիտարկենք հետևյալ համակարգը
(1.8)
Կազմենք այս համակարգի համար Կալմանի մատրիցները (երբ
և միաժամանակ
դեպքերում)։
Ղեկավարելիության մատրիցների տեսքերից երևում է, որ (1.8) համակարգը առանձին-առանձին ըստ
ղեկավարման կամ
ղեկավարման լրիվ ղեկավարելի չէ, քանի որ
և
մատրիցների ռանգերը հավասար չեն 2-ի։ Իսկ
և
ղեկավարումների միաժամանակ առկայության դեպքում
մատրիցի ռանգը 2 է, այսինքն՝ (1.8) համակարգը
և
ղեկավարումների համախմբությամբ լրիվ ղեկավարելի է։
Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից (հ․ 3, էջ 105)։
|