Գծային համակարգ

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Jump to navigation Jump to search

Գծային համակարգերի շարժման ըստ կարևորության ղեկավարելիության մասին[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Դիտարկենք հետևյալ դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգը՝

(1.1)

Սահմանենք (1.1) համակարգի լրիվ ղեկավարելիությունը։

Սահմանում [1]։ (1.1) համակարգը կանվանենք լրիվ ղեկավարելի ժամանակահատվածի վրա, եթե ղեկավարումների համախմբությունից կարելի է գտնել այնպիսի ղեկավարումներ, որոնց ազդեցությամբ (1.1) համակարգը կամայական սկզբնական դիրքից կարելի է տեղափոխել կամայական վերջնական դիրք։

(1.1) համակարգի ղեկավարելիության ուսումնասիրության համար նպատակահարմար է կատարել հետևյալ նշանակումները [1]

(1.2)

Այստեղ մատրիցը ունի չափողականություն, որտեղ պարամեարերի համախմբությունը, իսկ U վեկտոր-սյան չափողականությունը հավասար է r։

Հաշվի առնելով (1.2) նշանակումները (1.1) համակարգը կարելի է գրել հետևյալ տեսքով

(1.3)

Ենթադրենք և մատրիցների էլեմենտները համապատասխանաբար ունեն ընդհուպ մինչև –րդ և –րդ կարգի անընդհատ ածանցյալներ ըստ t-ի, հատվածի գոնե ինչ-որ կետի շրջակայքում։ Այդ կետի շրջակայքում ներմուծենք մատրիցները հետևյալ ռեկուրենտ (անդրադարձ) առնչություններով՝

(1.4)

Հետևաբար, համաձայն [2], (1.3) ոչ ստացիոնար համակարգի համար տեղի ունի հետևյալ թեորեմը (լրիվ ղեկավարելիության բավարար պայմանը) [1]

Թեորեմ 1: Դիցուք հատվածում գոյություն ունի կետ, որում

(1.5)

մատրիցի ռանգը հավասար է n-ի։ Այդ դեպքում (1.3) համակարգը լրիվ ղեկավարելի է հատվածի վրա։

Եթե (1.3) համակարգը ստացիոնար է, այսինքն՝

(1.6)

ապա մատրիցը, համաձայն (1.4)-ի կընդունի հետևյալ պարզ տեսքը

(1.7)

(1.5)-ը և (1.7)-ը Կալմանի մատրիցներն են համապատասխանաբար ոչ ստացիոնար՝ (1.3) և ստացիոնար՝ (1.6) համակարգերի համար։

Թեորեմ 2: Որպեսզի (1.6) ստացիոնար համակարգը լինի լրիվ ղեկավարելի կամայական հատվածի վրա, անհրաժեշտ է և բավարար, որ ղեկավարելիության (1.7) մատրիցի ռանգը հավասար լինի n-ի։

Այս թեորեմների ապացույցը կատարվում է [2]-ում բերված համանման թեորեմների ապացույցների ձևով։

Հարկ է նշել, որ մի քանի ղեկավարող ազդեցություններով համակարգի ղեկավարման հնարավորության դեպքում, լրիվ ղեկավարելիության հատկությունը ընդունում է առանձնահատուկ տեսք։

Որպես օրինակ դիտարկենք հետևյալ համակարգը

(1.8)

Կազմենք այս համակարգի համար Կալմանի մատրիցները (երբ և միաժամանակ դեպքերում)։

Ղեկավարելիության մատրիցների տեսքերից երևում է, որ (1.8) համակարգը առանձին-առանձին ըստ ղեկավարման կամ ղեկավարման լրիվ ղեկավարելի չէ, քանի որ և մատրիցների ռանգերը հավասար չեն 2-ի։ Իսկ և ղեկավարումների միաժամանակ առկայության դեպքում մատրիցի ռանգը 2 է, այսինքն՝ (1.8) համակարգը և ղեկավարումների համախմբությամբ լրիվ ղեկավարելի է։

Արտաքին հղումներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]