Ստյուարտի թեորեմ

Ստյուարտի թեորեմը կապ է հատատում եռանկյան կողմերի և եռանկյան մի գագաթից դիմացի կողմին տարված հատողի երկարության միջև։ Թեորեմը անվանվել է շոտլանդացի մաթեմատիկոս Մեթյու Ստյուարտի պատվին, որը հրատարակել է թեորեմը 1746 թվականին։

Թեորեմը

Դիցուք $a$-ն, $b$-ն, և $c$-ն եռանկյան երեք կողմերի երկարություններն են։ Եթե $d$ հատվածը բաժանում է $a$ կողմը $m$ և $n$ երկարությամբ հատվածների, ապա ըստ Ստյուարտի թեորեմի՝

$b^2m + c^2n = a(d^2 + mn)\,$

Ապոլոնիուսի թեորեմը այս թեորեմի մասնավոր դեպքն է (երբ d-ն միջնագիծ է)։

Ապացույց

Թեորեմը կարելի է ապացուցել հետևյալ եղանակով․

Դիցուք θ-ն m և d, իսկ θ′-ը` n և d հատվածների միջև ընկած անկյուններն են։ Սյդ անկյունները կից անկյուններ են, ուստի cos θ′ = −cos θ. Օգտվենք կոսինուսների թեորեմից θ և θ′ անկյունների համար․

$\begin{align} c^2 &= m^2 + d^2 - 2dm\cos\theta \\ b^2 &= n^2 + d^2 - 2dn\cos\theta' \\ &= n^2 + d^2 + 2dn\cos\theta.\, \end{align}$

Առաջին հավասարումը բազմապատկենք n-ով, իսկ երկրորդը՝ m-ով, և ապա գումարենք մեկը մյուսին՝

$\begin{align} &b^2m + c^2n \\ &= nm^2 + n^2m + (m+n)d^2 \\ &= (m+n)(mn + d^2) \\ &= a(mn + d^2) \\ \end{align}$

Արտաքին հղումներ

• (1843) A Course of Mathematics։ Longman, Orme & co., 219։ 
• [1] Թեորեմի մասին mathworld-ում
• [2], [3] Թեորեմի մասին planetmath-ում