Ստյուարտի թեորեմ

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Diagram of Stewart's theorem

Ստյուարտի թեորեմը կապ է հատատում եռանկյան կողմերի և եռանկյան մի գագաթից դիմացի կողմին տարված հատողի երկարության միջև։ Թեորեմը անվանվել է շոտլանդացի մաթեմատիկոս Մեթյու Ստյուարտի պատվին, որը հրատարակել է թեորեմը 1746 թվականին։[1]

Թեորեմը[խմբագրել]

Դիցուք a-ն, b-ն, և c-ն եռանկյան երեք կողմերի երկարություններն են։ Եթե d հատվածը բաժանում է a կողմը m և n երկարությամբ հատվածների, ապա ըստ Ստյուարտի թեորեմի՝

b^2m + c^2n = a(d^2 + mn)\,

Ապոլոնիուսի թեորեմը այս թեորեմի մասնավոր դեպքն է (երբ d-ն միջնագիծ է)։

Ապացույց[խմբագրել]

Թեորեմը կարելի է ապացուցել հետևյալ եղանակով.[2]

Դիցուք θ-ն m և d, իսկ θ′-ը` n և d հատվածների միջև ընկած անկյուններն են։ Սյդ անկյունները կից անկյուններ են, ուստի cos θ′ = −cos θ. Օգտվենք կոսինուսների թեորեմից θ և θ′ անկյունների համար.


\begin{align}
c^2 &= m^2 + d^2 - 2dm\cos\theta \\
b^2  &= n^2 + d^2 - 2dn\cos\theta' \\
&= n^2 + d^2 + 2dn\cos\theta.\, \end{align}

Առաջին հավասարումը բազմապատկենք n-ով, իսկ երկրորդը՝ m-ով, և ապա գումարենք մեկը մյուսին՝


\begin{align}
&b^2m + c^2n \\
&= nm^2 + n^2m + (m+n)d^2 \\
&= (m+n)(mn + d^2) \\
&= a(mn + d^2) \\
\end{align}

Աղբյուրներ[խմբագրել]

  1. M. Stewart Some General Theorems of Considerable Use in the Higher Parts of Mathematics (1746) "Proposition II"
  2. Follows Hutton & Gregory կամ էլ PlanetMath։

Արտաքին հղումներ[խմբագրել]

  • (1843) A Course of Mathematics։ Longman, Orme & co., 219։ 
  • [1] Թեորեմի մասին mathworld-ում
  • [2], [3] Թեորեմի մասին planetmath-ում