Մետրիկական տարածություն

Մետրիկական է կոչվում այն բազմություն, որտեղ սահմանված է հեռավորություն կամայական երկու էլեմենտի միջև։

Սահմանում

$M$ մետրիկական տարածությունը իրենից ներկայացնում է կետերի բազմություն ֆիսքսված ֆունկցիայով, որը ցույց է տալիս հեռավորություն (մետրիկա) $d\colon M\times M\to\R$, որտեղ $\R$-ով նշանակված է իրական թվերի բազմությունը։ Կամայական $x, y, z \in M$ կետերի համար այդ ֆունկցիան պետք է բավարարի հետևյալ պայմաններին՝

  1. $d(x,\;y) =0 \Longleftrightarrow x=y$   (նույնականության աքսիոմ)
  2. $d(x,\;y) = d(y,\;x)$           (սիմետրիաի աքսիոմ)
  3. $d(x,\;z)\leqslant d(x,\;y)+d(y,\;z)$   (եռանկյան անհավասարություն) 

Այս սահմանումից հետևում է, որ հեռավորությունը դրական թիվ է (եռանկյան անհավասարության մեջ z = x) և x-ից y, y-ից x հեռավորությունները հավասար են։ Հեռավորություն գաղաարի ներմուծումը հանգեցնում է մաթեմատիկական անալիզի կարևոր գործողություններից մեկին՝սահմանիանցմանը։

Նշանակում

Սովորաբար $x y$ կետերի միջև հեռավորությունը մետրիկական տարածության մեջ նշանակվում է $d(x,\;y)$ կամ $\rho(x,\;y)$: Մետրիկական երկրաչափության մեջ ընդունված է $| xy |$ կամ $| xy |_M$ նշանակումները։ Դասական երկրաչափությունում՝ $XY$ կամ $| XY |$.