Երկրաչափական պրոգրեսիա

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից

Երկրաչափական պրոգրեսիա, b_1,\ b_2,\ b_3,\ \ldots թվերի (պրոգրեսիայի ոչ զրոյական անդամների) այնպիսի հաջորդականություն, որտեղ յուրաքանչյուր անդամ (բացի առաջինից) հավասար է նախորդ անդամի և միևնույն q \quad թվի (պրոգրեսիայի հայտարարի) արտադրյալին՝

b_1\not=0, q\not=0: b_1,\ b_2=b_1q,\ b_3=b_2q,\ \ldots,\ b_n=b_{n-1}q

Հատկություններ[խմբագրել]

Երկրաչափական պրոգրեսիայի ցանկացած անդամ ստացվում է հետևալ բանաձևի միջոցով՝

b_n=b_1q^{n-1} \quad

Եթե b_1>0 и q>1, պրոգրեսիան կոչվում է աճող, իսկ 0<q<1 դեպքում՝ նվազող, а при q=1 — հաստատուն

Պրոգրեսիայի անվանումը կապված է միջին երկրաչափականի հետ (յուրաքանչյուր անդամ հավասար է նույն «հեռավորության» վրա գտնվող նախորդ և հաջորդ անդամների միջին երկրաչափականին)՝

 |b_{n}| = \sqrt{b_{n-k} b_{n+k}},

Օրինակներ[խմբագրել]

  • \pi, \pi, \pi, \pi — երկրաչափական պրոգրեսիա 1 հայտարարով (և թվաբանական պրոգրեսիա 0 տարբերությամբ)
  • 50; −25; 12,5; −6,25; 3,125; … — անվերջ նվազող պրոգրեսիա -½ հայտարարով
  • 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192 — տասներեք անդամներից բաղկացած պրոգրեսիա 2 հայտարարով

Հատկություններ[խմբագրել]

Ապացույց.

Դիցուք w_n-ը հաջորդականություն է՝ w_n = \log_pb_n\

\forall n>1\quad \frac{w_{n-1} + w_{n+1}}{2} = \frac{\log_pb_{n-1} + \log_pb_{n+1}}{2} = \frac{\log_pb_1q^{n-2} + \log_pb_1q^{n}}{2} = \frac{\log_p(b_1^2q^{2n-2})}{2} = \frac{2\cdot \log_pb_1q^{n-1}}{2} = \log_pb_n = w_n\
Ստացված հարաբերակցությունը բնորոշ է թվաբանական պրոգրեսիային.
  •  b_{n}^2 = b_{n-i} b_{n+i}, i < n

Ապացույց.

b_n^2 = b_nb_n = b_1q^{n - 1}b_1q^{n - 1} = b_1q^{n - 1 - i}b_1q^{n - 1 + i} = b_{n - i}b_{n + i}

  • Երկրաչափական պրոգրեսիայի առաջին n անդամների արտադրյալը կարելի է որոշել հետևյալ բանաձևով՝
    P_{n} = (b_1\cdot b_n)^\frac{n}{2},

Ապացույց.

P_n = \prod_{i=1}^nb_i = \prod_{i=1}^nb_1q^{i-1} = b_1^n\prod_{i=1}^nq^{i-1} = b_1^{\frac{n}{2}}b_1^{\frac{n}{2}}q^{\frac{n(0 + (n - 1))}{2}} = (b_1b_1q^{n-1})^{\frac{n}{2}} = (b_1b_n)^{\frac{n}{2}}

  • Երկրաչափական պրոգրեսիայի առաջին n անդամների գումարը՝
    S_n = \begin{cases}
  \sum_{i=1}^n  b_i = \frac{b_1q^{n}-b_1}{q-1}=\frac{b_1(q^{n}-1)}{q-1}, & \mbox{if } q \ne 1 \\
  nb_1, & \mbox{if } q = 1
\end{cases}

Ապացույց.

  • Գումարի միջոցով՝
    S_n = \sum_{i=1}^n b_1q^{i-1} = b_1 + \sum_{i=2}^n b_1q^{i-1} = b_1 + q\sum_{i=2}^n b_1q^{i-2} = b_1 + q\sum_{i=1}^{n-1}b_1q^{i-1} = b_1+q\sum_{i=1}^nb_1q^{i-1} - b_1q^n \Rightarrow
    \Rightarrow (1 - q)\sum_{i=1}^nb_1q^{i-1} = b_1 - b_1q^n \Rightarrow \sum_{i=1}^n b_1q^{i-1} = b_1 \frac{1 - q^n}{1 - q}
  • Եթե \left| q \right|<1, ապա  b_n \to 0 երբ n \to +\infty, և
    S_n \to {b_1 \over 1-q} այն դեպքում երբ n \to +\infty.

Տես նաև[խմբագրել]