Հաջորդականություն (մաթեմատիկա)

Իրական թվերի անսահմանափակ հաջորդականությունը (կապույտով): Այս հաջորդականությունը ոչ աճող է, ոչ նվազող, ոչ զուգամետ, ոչ էլ Կոշիի հաջորդականություն է: Այն, այնուամենայնիվ, ունի սահման:

Հաջորդականությունը, մաթեմատիկայում, օբյեկտների (կամ իրադարձությունների) կարգավորված ցանկ է: Բազմանդամի նման, այն պարունակում է անդամներ (որոնք նաև կոչվում են էլեմենտներ կամ տարրեր), և տարրերի քանակը (հնարավորինս անսահման) կոչվում է հաջորդականության երկարություն: Ի տարբերություն բազմանդամի, կարգը նշանակություն ունի, և ճիշտ նույն էլեմենտները կարող են բազմաթիվ անգամներ հայտնվել հաջորդականության տարբեր դիրքերում: Հաջորդականությունը դիսկրետ ֆունկցիա է:

Օրինակ, (C, R, Y) տառերի հաջորդականություն է, որը տարբերվում է (Y, C, R)-ից, քանի որ կարգավորությունը նշանակություն ունի: Հաջորդականությունները կարող են լինել սահմանափակ, ինչպես այս օրինակում է, կամ անսահմանափակ, ինչպես դրական զույգ թվերը (2, 4, 6,...), դրական և բացասական ամբողջ թվերը: Սահամանափակ հաջորդականությունները երբեմն անվանում են տողեր կամ բառեր, իսկ անսահմանափակ հաջորդականությունները հոսքեր: Դատարկ հաջորդականությունը() ներառված է հաջորդականության հասկացությունների մեծ մասի մեջ, բայց կարող է բացառվել կախված համատեքստից:

Օրինակ և նշագրություն

Մաթեմատիկայում կան հաջորդականությունների` բազմազան և միանգամայն տարբեր հասկացություններ, որոնցից մի քանիսը (օրինակ, ճշմարիտ հաջորդականությունը)կազմված չեն ստորև ներկայացված նշագրությամբ:

Բացի այդ հաջորդականության էլեմենտների ճանաչումը իրենց դիրքերի միջոցով, ինչպես օրինակ "3-րդ էլեմենտը", էլեմենտներին կարող են տրվել անուններ, հարմար հղման համար: Օրինակ հաջորդականությունը կարող է գրվել այսպես` (a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, a<sub>2</sub>, … ), or (b<sub>0</sub>, b<sub>1</sub>, b<sub>2</sub>, … ), կամ (c<sub>0</sub>, c<sub>2</sub>, c<sub>4</sub>, … ), կածված նրանից` որն է պիտանի հավելվածում:

Սահմանափակ և անսահմանափակ

Սահմանափակ հաջորդականության ավելի պաշտոնական սահմանումը S բազմության տարրերի միջոցով ֆունկցիա է {1, 2, ..., n}-ից մինչև S շատ մեծ n > 0 համար: Անսահմանափակ հաջորդականությունը S-ում ֆունկցիա է {1, 2, ... }-ից մինչև S: Օրինակ, պարզ թվերի հաջորդականությունը (2,3,5,7,11, … ) հետևյալ ֆունկցիան է 1→2, 2→3, 3→5, 4→7, 5→11, … :

Հաջորդականության սահմանափակ երկարությունը` n կոչվում է նաև ''n''-կորտեժ: Սահամանափակ հաջորդականությունները ներառում են դատարկ հաջորդականություն ( ), որը չունի էլեմենտներ:

Հավաքածուում բոլոր ամբողջ թվերից ֆունկցիան երբեմն կոչվում է bi-անսահմանափակ հաջորդականություն կամ երկկողմանի անսահմանափակ հաջորդականություն: Օրինակը բոլոր զույգ ամբողջ թվերի bi-անսահմանափակ հաջորդականությունն է ( … , -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8… ):

Մուլտիպլիկատիվ

Դիցուք` A = (հաջորդականություն սահմանափակված f ֆունկցիայով:{1, 2, 3, ...} → {1, 2, 3, ...}, այնպես որ a _i = f(i):

Հաջորդականությունը մուլտիպլիկատիվ է եթե f(xy) = f(x)f(y) բոլոր x,y համար, այնպես որ x և y փոխադարձաբար պարզ են:

Հաջորդականությունների տեսակները և հատկությունները

Տրված հաջորդականության ենթահաջորդականությունը հաջորդականություն է, որը կազմված է` որոշ էլեմենտներ ջնջելով, առանց խախտելու մնացած էլեմենտների հարաբերական դիրքերը:

Եթե հաջորդականության տարրերը կարգավորված բազմության ենթաբազմություն է, ապա մոնոտոն աճող հաջորդականությունը մի հաջորդականություն է, որի յուրաքանչյուր տարր ավելի մեծ է, քան իրեն նախորդողը կամ հավասար է նախորդողին: Եթե յուրաքանչյուր տարր խիստ ավելի մեծ է, քան նախորդը, հաջորդականությունը կոչվում է մոնոտոն խիստ աճող: Մոնոտոն նվազող հաջորդականությունը սահմանվում է նմանապես. Ցանկացած հաջորդականություն, որը բավարարում է մոնոտոնության հատկությանը կոչվում է մոնոտոնային կամ մոնոտոն:Սա մոնոտոն ֆունկցիայի ավելի ընդհանուր հասկացության հատուկ դեպքն է:

Չնվազող և չաճող տերմինները օգտագործվում են ցանկացած հնարավոր շփոթմունքներից խուսափելու համար` կապված խիստ աճելու և խիստ նվազելու հետ:

Եթե հաջորդականության տարրերը ամբողջ թվեր են, ապա հաջորդականությունը ամբողջ հաջորդականություն է: Եթե հաջորդականության տարրերը բազմանդամներ են, ապա հաջորդականությունը բազմանդամ հաջորդականություն է:

Եթե S-ը օժտված է տոպոլոգիայով, ապա հնարավոր է դառնում որոշել անսահմանափակ հաջորդականության զուգամիտությունը S-ում: Այսպիսի որոշումները ներառում են հաջորդականության սահման հասկացությունը:

Եթե A-ն բազմանդամ է, ազատ մոնոիդը A-ի նկատմամբ (նշանակված է A^*) մոնոիդ պարունակում է բոլոր սահմանափակ հաջորդականությունները (կամ տողերը)կազմված զրո կամ ավելի A-ի էլեմենտներից, զուգամիտության երկուական գործողությամբ: Ազատ կիսախումբը A⁺, A^*-ի կիսախումբ է, որը պարունակում է բոլոր էլեմենտները, բացի դատարկ հաջորդականությունից:

Հաջորդականությունների վերլուծությունը

Վերլուծություններում, երբ խոսվում է հաջորդականությունների մասին, ընդհանրապես նկատի է առնվում հետևյալ տեսքի հաջորդականությունը

$(x_1, x_2, x_3, \dots)\text{ or }(x_0, x_1, x_2, \dots)\,$

ըստ որի, էլեմենտների անսահմանափակ հաջորդականությունը ինդեքսավորված է բնական թվերով:

Հարմար կլինի ունենալ հաջորդականություն, որ սկսվում է 1-ից կամ 0-ից տարբեր ինդեքսով:Օրինակ, հաջորդականությունը կազմված x_n = 1/log(n)-ով որոշված կլինի միայն n ≥ 2 համար: Երբ խոսվում է այսպիսի անսահմանափակ հաջորդականությունների մասին, սովորաբար բավական է (և շատ բան չի փոխի նկատառումների մեծամասնության համար)ենթադրել, որ հաջորդականության անդամները սահմանված են նվազագույնը բոլոր բավական մեծ ցուցանիշների համար, որը ավելի մեծ է քան ինչ-որ տրված N:

Հաջորդականությունների ամենապարզ տեսակը թվայինն է, որոնք իրական կամ կոմպլեքս թվերի հաջորդականություն է: Այս տեսակը կարող է ընդհանրացվել ինչ-որ վեկտորական տարածության էլեմենտների հաջորդականության: Վերլուծություններում, վեկտորական տարածությունները հաճախ ֆունկցիոնալ տարածություններ են: Ավելի ընդհանուր, հաջորդականությունները կարելի է ուսումնասիրել ինչ-որ տոպոլոգիական տարածության էլեմենտներով:

Շարքեր

     Հիմնական հոդված ՝ Շարքեր(մաթեմատիկա)

Հաջորդականության էլեմենտների գումարը շարք է:Ավելի ճիշտ, եթե (x₁, x₂, x₃, ...) հաջորդականություն է, կարելի է որոշել մասնակի գումարների հաջորդականությունը` (S₁, S₂, S₃, ...)

$S_n=x_1+x_2+\cdots + x_n=\sum\limits_{i=1}^{n}x_i.$ միջոցով:

Ձևականորեն, այս հաջորդականությունների զույգը ներառում է շարքեր x₁, x₂, x₃, ...էլեմենտներով, որը նշանակվում է այսպես

$\sum\limits_{i=1}^\infty x_i.$

Եթե մասնակի գումարների հաջորդականությունը զուգամետ է, ապա նրա սահմանի համար նաև օգտագործվում է անսահմանափակ գումարի նշագրությունը: Ավելի մանրամասն, նայիր շարքեր:

Անսահմանափակ հաջորդականությունները տեսական համակարգչային գիտությունում

Թվային սիմվոլների (կամ բնութագրեր)ահսահմանափակ հաջորդականությունները կազմված սահմանափակ այբուբենից հատուկ հետաքրքրություն են ներկայացնում տեսական համակարգչային գիտությունում: Դրանք հաճախ հղվում են որպես հաջորդականություններ կամ հոսքեր, որպես սահմանափակ տողերին հակադիր: Անսահմանափակ երկուական հաջորդականությունները, օրինակ, բիթերի (բնութագրեր կազմված {0,1} այբուբենից) անսահմանափակ հաջորդականություններ են: Բոլոր անսահմանափակ, երկուական հաջորդականությունների C = {0, 1}^∞ բազմությունը երբեմն կոչվում է Քենթորի տարածություն:

Անսահմանափակ երկուական հաջորդականությունները կարող են ներկայացնել պաշտոնական լեզու (տողերի բազմություն)` նշանակելով հաջորդականության n րդ բիթը 1, միայն և միայն այն դեպքում, եթե n րդ տողը(շորթլեքս կարգում) կա լեզվում:Ուստի, կոմպլեքս տեսակների ուսումնասիրությունը, որոնք լեզուների բազմություն են, կարող են դիտարկվել որպես անսահմանափակ հաջորդականությունների բազմության ուսումնասիրություն:

Անսահմանափակ հաջորդականությունը կազմված {0, 1, ..., b−1} այբուբենից կարող է նաև ներկայացնել իրական թիվ` արտահայտված b-հիմքով դիրքային թվային համակարգում:Այս համարժեքությունը հաճախ օգտագործվում է իրական վերլուծության տեխնիկան կոմպլեքսային տեսակների բերելու նպատակով:

Հաջորդականությունները որպես վեկտորներ

Դատից մեծ հաջորդականությունները կարող են նաև ներկայացվել որպես վեկտորներ վեկտորական տարածությունում: Մասնավորապես, F-գնահատված հաջորդականությունների բազմությունը (որտեղ F դաշտ)է, բնական թվերի բազմությունից մեծ F-գնահատված ֆունկցիայի ֆունկցիոնալ տարածք (փաստորեն, արդյունքային տարածք):

Մասնավորապես, հաջորդականության տարածք տերմինը սովորաբար վերաբերում է $\mathbb{C}$-ի էլեմենտներով բոլոր հնարավոր անսահմանափակ հաջորդականությունների բազմության գծային ենթատարածքին:

Կրկնակի անսահմանափակ հաջորդականություններ

Սովորաբար, անսահմանափակ հաջարդականություն տերմինը վերաբերում է մի հաջորդականության, որը անսահմանափակ է մի ուղղությամբ,և սահմանափակ մյուս ուղղությամբ-հաջորդականությունն ունի առաջին էլեմենտ, բայց ոչվերջին էլեմենտ (եզակի անսահմանափակ հաջորդականություն):Կրկնակի անսահմանափակ հաջւորդականությունը անսահմանափակ է երկու ուղղություններով-այն չունի ոչ առաջին ոչ վերջին էլեմենտ:Եզակի անսահմանափակ հաջորդականությունները ֆունկցիաներ են բնական թվերից (N) մինչև ինչ-որ բազմություն, մինչդեռ կրկնակի անսահմանափակ հաջորդականությունները ֆունկցիաներ են ամբողջ թվերից (Z) մինչև ինչ-որ բազմություն:

Եզակի անսահմանափակ հաջորդականությունները կարելի է մեկնաբանել որպես բնական թվերի $R[\N]$ կիսախումբ շրջանակի էլեմենտներ, իսկ կրկնակի անսահմանափակ հաջորդականությունները` որպես ամբողջ թվերի $R[\Z]$ խմբային շրջանակի էլեմենտներ: Այս հեռանկարն օգտագործվում է հաջորդականությունների Կոշիի արդյունքում:

Դասական-ինդեքսավորված հաջորդականություն

Կաղապար:Ml հաջորդականությունների ընդհանրացումն է:Եթե α-ն սահմանային դասական թիվ է, իսկ X-ը` բազմություն, X-ի էլեմենտների α-ինդեքսավորված հաջորդականությունը ֆունկցիա է α-ից to X-ին: Այս տերմինաբանությամբ ω-ինդեքսավորված հաջորդականությունը դասական հաջորդականություն է:

Հաջորդականություններ և ավտոմատներ

Ավտոմատները կամ սահմանափակ հաղորդման մեքենաները կարող են ենթադրվել որպեսուղղորդված դիագրամներ, նշված առավելություններով օգտագործելով հատուկ այբուբեն Σ: Մի հաղորդումից մյուսին ավտոմատ անցնելու ամենատարածված տեսակները մուտքագրված սիմվոլների կարդալն է Σ-ից;կարգավորված մուտքը այսպիսի ավտոմոտների համար հաջորդականությունն անվանում է բառ (կամ մուտքային բառ):Հաղորդումների հաջորդականությունը, որոնք հանդիպում են ավտոմատի կողմից բառի մշակման շամանակ, կոչվում է հոսք: Չդետերմինացված ավտոմոտը կարող է ունենալ չնշված կամ կրկնօրինակ ելք ամեն հաղորդման համար, որը տալիս է ավելին քան մեկ հաղորդողը ինչ-որ մուտքի սիմվոլի: ՍԱ ուղղակի ենտադրում է մի քանի հնարավոր հոսքերի ստեղծում տրված բառի համար, յուրաքանչյուրը լինելով մեկ հաղորդման հաջորդականություն, այլ ոչ թե մեկ հաղորդման ստեղծում, որը հաղորդումների բազմության հաջորդականություն է; այնուամենայնիվ, 'հոսք'ը երբեմն օգտագործվում է նշանակելով վերջում ասվածը:

Հաջորդականությունների տեսակները

• ±1-հաջորդականություն
• Թվաբանական պրոգրեսիա
• Կոշիի հաջորդականություն
• Ֆարեի հաջորդականություն
• Ֆիբոնաչիի հաջորդականություն
• երկրաչափական պրոգրեսիա
• Նայիր-և-ասա հաջորդականություն
• Տուե–Մորսի հաջորդականություն

կապված համակցություններ

• Ցանկ (հաշվարկ)
• Կաղապար:Ml
• Ռեկուրսիա(համակարգչային գիտություն)
• Կորտեժ
• Բազմության թեորեմ

Գործողությունները և հաջթրդականությունները

• Կոշիի արդյունք
• Հաջորդականության սահման

Ուշացումով Ֆիբոնաչիի գեներատորը պատահական թվերի գեներատորի օրինակ է: Այս դասի պատահական թվերի գեներատորը ուղղված է բարելավելու 'ստանդարտ' գծային ներդաշնակ գեներատորները. Սրանք հիմնված են Ֆիբոնաչիի հաջորդականության ընդհանրացման վրա: Ֆիբոնաչիի հաջորդականությունը կարող է բնութագրվել կրկնվող հարաբերությամբ:

Հետևաբար նոր ստացվող թիվը հաջորդականության նախորդ երկու թվերի գումարն է: Սա ընդհանրացված հաջորդականությունն է: Որի դեպքում նոր ստացվող թիվը նախորդ երկու թվերի որոշակի կոմբինացիա է. m-ը սովորաբար 2-ի որոշակի աստիճան է: (m = 2M), հաճախ 232 կամ 264. oպերատորը հիմնականում բինար գործողություն է. Սա կարող է լինել գումարում, հանում, բազմապատկում կամ էլ բիթային գործողություն թվաբանական բացառիկ-կամ օպերատոր(XOR).Այս տիպի գեներատորների օգտագործման մեխանիզմը բավականին բարդ է, և դժվար է ընտրել j և k-ի համար պատահական թվեր: Եթե կատարվող գործողությունը գումարում է, ապա գեներատորն անվանում են գումարմամբ ուշացման Ֆիբոնաչիի գեներատոր, եթե բազմապատկում է, ապա բազմապատկմամբ ուշացման Ֆիբոնաչիի գեներատոր, և եթե գործողությունը յուրահատուկ-կամ է XOR, գործողությունն անվանում են երկհնարավոր ընդհանրացված հետադարձ քայլով մուտքագրում: Մերսենի ոլորապտույտ ալգորիթմը երկհնարավոր ընդհանրացված գեներատորի տարատեսակ է: Վերջինս նման է նաև գծային հետադարձ կապով գեներատորի ալգորիթմին:

[խմբագրել]Ուշացումով Ֆիբոնաչիի գեներատորի հատկությունները Ուշացումով Ֆիբոնաչիի գեներատորը կատարվում է (2k - 1)*2M-1 անգամ, եթե կատարվող գործողությունը գումարու կամ հանում է, և (2k-1)*k, եթե գործողությունը յուրահատուկ-կամ է: Մյուս կողմից, եթե կատարվում է բազմապատկում (2k - 1)*2M-3 կամ գումարման 1/4-ը: Այս մաքսիմում քանակին հասնելու համար անհրաժեշտ բազմանդամի տեսքն է y = xk + xj + 1 j և k-ի այս հավասարմանը բավարարող արժեքներից ամենաճանաչվածներն են {j = 7, k = 10}, {j = 5, k = 17}, {j = 24, k = 55}, {j = 65, k = 71}, {j = 128, k = 159} [1], {j = 6, k = 31}, {j = 31, k = 63}, {j = 97, k = 127}, {j = 353, k = 521}, {j = 168, k = 521}, {j = 334, k = 607}, {j = 273, k = 607}, {j = 418, k = 1279}

j և k-ի բոլոր այն հարաբերությունները, որոնք բավարարում են հավասարմանը, անվանում են ոսկե հարաբերություն: [խմբագրել]Ուշացումով Ֆիբոնաչիի գեներատորի հետ հնարավոր պրոբլեմները Ռոբերտ Զիֆը ասում, որ հայտնի է, որ երկարժեքանի գեներատորների տիպի գեներատորները, ինչպիսին է R(103-250)-ը, ունեն լուրջ թերություններ: Մարսալիան ուսումնասիրել է այդ տիպի գեներատորների վարքը և խորհուրդ է տալիս չօգտագործել այս տիպի գեներատորները: Երկարժեքանի հետադարձ կապով գեներատորների հիմնական թերությունն այն է, որ նրանք կառուցվում են xn, xn − a, և xn − b մեծությունների միջև կոռելյացիայի հիման վրա: Երբ այս գեներատորները տարածվում են գեներատորների չափսերի վրա, դրանք կարող են բերել ակնհայտ էական սխալների: Ուշացումով Ֆիբոնաչիի գեներատորի կարգաբերումը բարդ, համալիր խնդիր է: Այս գեներատորի մեկ այլ պոտենցիալ պրոբլեմ է այն, որ դրան վերաբերող մաթեմատիկական տեսությունն ամբողջական չէ, և այդ պատճառով ավելի շատ հաշվի են առնվում վիճակագրական դիտարկումներն ու հետազոտությունները, քան տեսական գաղափարները: