Գալուայի խումբ

Գալուայի խումբ, խումբ, դաշտի ընդարձակման հետ զուգակցվող խումբ։ Կարևոր դեր է խաղում դաշտի ընդլայնման հետազոտման դեպքում, մասնավորապես՝ Գալուայի տեսության մեջ։ 1832 թվականին Էվարիստ Գալուան ներմուծեց մաթեմատիայում (խմբերի այդ հասկացության, բազմությունների) արմատների տեղափոխությունը։

Սահմանում

Ենթադրենք K դաշտը հանդիսանում է P-ի Գալուայի ընդլայնված դաշտ։ K դաշտի փոխադարձաբար համարժեք պատկերումները՝ $f$-ը, իր վրա անվանում են ավտոմորֆ, եթե նա գումարը վերածում է գումարի, արտադրյալը՝ արտադրյալի, այսինքն՝ եթե K դաշտի ցանկացած $a,b$ տարրերի համար ճիշտ է հավասարությունը․

$f(a+b)=f(a)+f(b),\;f(ab)=f(a)\cdot f(b)$.

Գալուայի խումբը տրված ընդլայնված դաշտի համար կոչվում է K դաշտի բոլոր ավտոմորֆիզմի համախումբ, պահպաննելով P դաշտի տարրեր։ $\forall a\in P\;f(a)=a$.Սովորաբար նշանակում են G(K, P) կամ Gal(K, P).

Հատկություն

• Գալուայի խմբի վերջավոր ընդլայնումը վերջավոր է։ Նրա հաջորդականությունը (տարրերի քանակը) հավասար է [K:P] ընդլայնման աստիճանին։

Օրինակներ

• Եթե ընդլայնված դաշտը համընկնում է սկզբնականի հետ, ապա Գալուայի խումբը պարունակում է միայն մեկ տարր, միավոր՝ (նույնական автоморфизм).
• Բնական թվերի դաշտի ընդլայնումը մինչև բոլոր կոմպլեքս թվերի դաշտի, Գալուայի խումբը պարունակում է 2 տարր՝ միավորը և կոմպլեքս համալուծը։
• $\mathbb {Q} [{\sqrt {2}}]$ ընդլայնված դաշտը կազմված է $a+b{\sqrt {2}}$ տեսքի թվերից, որտեղ a, b-ն ռացիոնալ են։ Այստեղ Գալուայի խումբը պարունակում է 2 տարր՝ միավոր և երկրորդ գումարելին${\sqrt {2}}$ փոքրացնող նշանի գործողություն։
• Ենթադրենք p-ն  պարզ թիվ է, դիտարկենք $\mathbb {F} _{p}$ и $\mathbb {F} _{p^{n}}$ վերջավոր դաշտերը, նրանցից առաջինը բնական կերպով ներդրված է երկրորդին։ Գալուայի խմբի տրված ընդլայնումը՝ ցիկլային է, այն ծնում է Ֆրոբենիուսի ավտոմորֆիզմը՝

$x\mapsto x^{p}$.

• Հանրահաշվական հավասարման Գալույի խումբը։ Դիտարկենք չորրորդ աստիճանի հանրահաշվական հավասարում $P(x)=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=0$։ Այն թույլ է տալիս հետևյալ ձևափոխումը x փոփոխականով։ $y=1/x,y=x^{2},y=-(x^{3}+x^{2}+x+1)$. $y=1/x$-ի համար հետևում է $y^{4}+y^{3}+y^{2}+y+1=(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1)/x^{4}$, այսինքն՝ $P(y)=P(x)/x^{4}$.։ Ուստի $P(x)=0$-ից հետևում է, որ $P(y)=0$։ Դա ցույց է տալիս, որ $P(x)=0$ հավասարումը թույլ է տալիս $y=1/x$ ձևափոխությունը։ $y=x^{2}$-ի համար ստացվում է $y^{4}+y^{3}+y^{2}+y+1=x^{8}+x^{6}+x^{4}+x^{2}+1$։ Այդ հավասարման բաժանումը $P(x)$ սկզբնական հավասարման տալիս է $P(y)=(x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1)P(x)$։ Այսպիսով $y=x^{2}$ ձևափոխությունը նույնպես թույլատրում է $P(x)$հավասարմանը։ Նման ձևով $y=-(x^{3}+x^{2}+x+1)$ ձևափոխությունների համար կարելի է ստանալ ձևափոխության հետևյալ բանաձևը՝ $P(y)=(x^{8}+3x^{7}+6x^{6}+9x^{5}+9x^{4}+7x^{3}+4x^{2}+x+1)P(x)$։ Օգտագործելով $x^{4}=-(x^{3}+x^{2}+x+1)$ տեղափոխությունը գտնում ենք, որ $x^{5}=x*x^{4}=-(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x)=1,x^{6}=x*x^{5}=x$ և այլն։ Այժմ ապացուցենք, որ $P(x)$ հավասարումը թույլ է տալիս անվերջ ձևափոխությունների $y=x^{n}$ խմբեր, որտեղ $n$-ը ընդունում է բոլոր ամբողջ (դրական և բացասական) արժեքները, բազմապատիկ հինգի։ Դրա համար անհրաժեշտ է ցույց տալ, որ թույլատրվում է $y=x^{3}$ ձևափոխությունը։ Դրա համար ունենք $P(y)=x^{12}+x^{9}+x^{6}+x^{3}+1=x^{2}+x^{4}+x+x^{3}+1=0$ ձևափոխությունը։ $n$-ի բացասական ամբողջ արժեքները ստացվում է $y=1/x$ ձևափոխության օգտագործումից։ Դժվար չէ ապացուցել, որ ստացված ձևափոխությունները կազմում են խումբ։ Կազմած խմբի $y=x^{n}$ փոխարկումը տեղափոխում է $P(x)$ հավասարման յուրաքանչյուր արմատ այդ նույն հավասարման արմատի։ Այժմ հետևենք ինչպես է $P(x)$ հավասարման յուրաքանչյուր արմատ ձևափոխվում այդ խմբի ձևափոխությունների ազդեցության տակ։ Հանրահաշվի կուրսից հայտնի է, որ $P(x)$-ն հավասարման արմատները հանդիսանում են թվեր՝ $x_{1}=z,x_{2}=z^{2},x_{3}=z^{3},x_{4}=z^{4},z=e^{2*\pi *i/5}$։ $y=x^{2}$ ձևափոխությունը տեղափոխում է $x_{1}$ արմատը $x_{2}$-ում, արմատ $x_{2}$ -ը՝ $x_{4}$-ում, արմատ $x_{3}$-ը՝ $x_{1}$-ում, արմատ $x_{4}$-ը $x_{3}$-ում։ Ստացված տեղափոխությունները նշանակում են $(x_{1},x_{2},x_{4},x_{3})$։ Նման ձևով կարելի է ցույց տալ, որ $y=x^{3}$ ձևափոխությունները բերվում է $(x_{1},x_{3},x_{4},x_{2})$ տեղափոխության։ $y=1/x$ ձևափոխությունը բերվում է $(x_{1},x_{4}),(x_{2},x_{3})$ տեղափոխության։ Մնացած ձևափոխությունները չի տալիս նոր տեղափոխության։ Այսպիսով $P(x)$ հավասարման արմատների $y=x^{n}$ ձևափոխությունների խումբը մակածում է չորս կարգավորված վերջավոր խմբերի, կազմված հետևալ տարերից է $1,(x_{1},x_{2},x_{4},x_{3}),(x_{1},x_{3},x_{4},x_{2}),(x_{1},x_{4}),(x_{2},x_{3})$։ Այդ վերջավոր խմբերին անվանում են $P(x)$ հավասարման Գալուայի խմբեր.

Կիրառում

Դաշտի ընդլայնում

Դիտարկենք դաշտի ընդլայման հաջորդկան օղակները՝ $L_{1}\subset L_{2}\subset \cdots \subset L_{n}.$ Կառուցենք դաշտի համար Գալուայի խմբերը եզրային օղակներում՝ $G=Gal(L_{n},L_{1}).$ Համաձայն Գալուայի տեսության հիմնական թեորեմի՝ օղակում $L_{k}$ դաշտի յուրաքանչյուր միջակայքի ընդլայնումը համապատասխանում է G խմբի $G_{k}$ ենթախմբին, այսինքն ընդլայնված դաշտի օղակը կարելի է համադրել ենթախմբի ներդրված օղակին, որը նեղանում է G-ից մինչև տրիվիալ ենթախմբերի։ Եթե անմիջապես դիտենք միջակայքային դաշտը (այսինքն՝ $L_{1}\subset X\subset L_{n}$ տեսքի դաշտը), տրված համապատասխանությունը հանդիսանում է դաշտի միջակայքային բազմություններից բիեկցիա Գալուայի խմբերի ենթախմբերի բազմությունում։ Այդ ենթախմբերում, տվյալ համապատասխան նորմալ ընդլայնումը, հանդիսանում է G նորմալ ենթախումբ և ընհակառակը։

Խմբերի տեսության օգնությամբ այս համապատասխանությունը թույլ է տալիս հետազոտել դաշտեր ընդլայնումը։ Օրինակ․ նրանից անմիջապես հետևում է դաշտերի միջակայքային թիվը տրված նորմալ ընդլայնման համար միշտ վերջավոր է (ինչպես ենթախմբի թիվը վերջավոր խմբերում)։

Հանրահաշվական հավասարում

Հանրահաշվական հավասարման հիմնական դաշտը կոչվում է թվերի համախումբ, որը կարելի է ստանալ այդ հավասարման գործակիցներից գումարման, հանման, բազմապատկման և բաժանմանգործողությունների օգնությամբ։ Դաշտերի վերլուծումը անվանում են թվերի համախումբ, որը կարելի է ստանալ այդ գործողություններով վերջավոր թվի օգնությամբ, ելնելեվ գործակիցներից և հավասարման արմատներից։ Ընդհանուր դեպքում դաշտը կազմված է միայն դաշտի վերլուծման ենթադաշտից։

Ընդունված է Գալուայի խումբը, դաշտի վերլուծման կազմված ավտոմորֆությունից, անվանել այդ հավասարման Գալուայի խումբ։ G(K, P)Գալուայի խմբից ցանկացած ավտոմորֆիզմ փոխադրում է ցանկացած բազմանդամի արմատ P դաշտի վրա, նորից այդ նույն բազմանդամի արմատ։ Այսպիսով, հանրահաշվական հավասարման Գալուայի խումբը չունենալով բազմապատիկ արմատ, կարելի է դիտել ինչպես խմբերի տեղափոխություն (հենց այդպես դիտարկեց նույն ինքը՝ Էվարիստ Գալուան)։

Գրականություն

• Galois Representations
• Артин Э. Теория Галуа. М.: МЦНМО, 2008. ISBN 978-5-94057-062-2.