Ոսկի անկյուն

Ոսկե անկյունն այն անկյունն է, որը ենթարկվում է փոքրին (redarc, երբ շրջան կազմող երկու աղեղները գտնվում են ոսկե հարաբերակցության մեջ

Երկրաչափության մեջ ոսկե անկյունը երկու անկյուններից փոքրն է, որը ստեղծվել է շրջանագծի շրջագիծը ըստ ոսկե հարաբերակցության կտրվածքով. այսինքն՝ երկու աղեղների այնպես, որ փոքր աղեղի երկարության և ավելի մեծ աղեղի երկարության հարաբերությունը նույնն է, ինչ մեծ աղեղի երկարության և շրջանագծի ամբողջ շրջագծի հարաբերակցությունը։

Հանրահաշվորեն, թող a+b լինի շրջանագծի շրջագիծը, որը բաժանված է a երկարությամբ ավելի երկար աղեղի և b երկարությամբ ավելի փոքր աղեղի, որպեսզի

${\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}$

Ոսկե անկյունն այնուհետև այն անկյունն է, որը ձգվում է b երկարությամբ փոքր աղեղով: Այն չափում է մոտավորապես 137.5077640500378546463487 ...° A096627 կամ ռադիաններով 2.39996322972865332 ... A131988:

Անունը գալիս է ոսկե անկյան կապից φ ոսկե հարաբերակցության հետ; ոսկե անկյան ճշգրիտ արժեքը

$360\left(1-{\frac {1}{\varphi }}\right)=360(2-\varphi )={\frac {360}{\varphi ^{2}}}=180(3-{\sqrt {5}}){\text{ degrees}}$

or

$2\pi \left(1-{\frac {1}{\varphi }}\right)=2\pi (2-\varphi )={\frac {2\pi }{\varphi ^{2}}}=\pi (3-{\sqrt {5}}){\text{ radians}},$

որտեղ համարժեքները բխում են ոսկե հարաբերակցության հայտնի հանրահաշվական հատկություններից։

Քանի որ դրա սինուսը և կոսինուսը տրանսցենդենտալ թվեր են, ոսկե անկյունը չի կարող կառուցվել՝ օգտագործելով ուղղագիծ և կողմնացույց:

Ածանցում

Ոսկե հարաբերակցությունը հավասար է φ = a/b-ի՝ հաշվի առնելով վերը նշված պայմանները:

Թող ƒ լինի շրջագծի մասնաբաժինը, որը ենթարկվում է ոսկե անկյան տակ, կամ համարժեք՝ ոսկե անկյունը բաժանված շրջանագծի անկյունային չափման վրա:

$f={\frac {b}{a+b}}={\frac {1}{1+\varphi }}.$

Բայց քանի որ

${1+\varphi }=\varphi ^{2},$

դրանից բխում է, որ

$f={\frac {1}{\varphi ^{2}}}$

Սա համարժեք է նրան, որ φ 2 ոսկե անկյունները կարող են տեղավորվել շրջանագծի մեջ:

Ոսկե անկյունով զբաղեցրած շրջանագծի մասնաբաժինը, հետևաբար, հետևյալն է

$f\approx 0.381966.\,$

Հետևաբար, g ոսկե անկյունը կարող է թվայինորեն մոտավոր լինել աստիճաններով, ինչպես.

$g\approx 360\times 0.381966\approx 137.508^{\circ },\,$

կամ ռադիաններով որպես:

$g\approx 2\pi \times 0.381966\approx 2.39996.\,$

Ոսկե անկյուն բնության մեջ

Որոշ ծաղիկների հաջորդական ծաղկաբույլերի միջև ընկած անկյունը ոսկե անկյունն է:

Անիմացիա, որը նմանակում է արևածաղկի սերմերի ձվադրումը կենտրոնական մերիստեմից, որտեղ հաջորդ սերմը կողմնորոշված ​​է նախորդ սերմից մեկ ոսկե անկյունով:

Ոսկե անկյունը զգալի դեր է խաղում ֆիլոտաքսիսի տեսության մեջ. օրինակ, ոսկե անկյունը արևածաղկի վրա ծաղկաբույլերը բաժանող անկյունն է: Կաղապարի վերլուծությունը ցույց է տալիս, որ այն խիստ զգայուն է անհատական ​​պրիմորդիաները բաժանող անկյան նկատմամբ, իսկ Ֆիբոնաչիի անկյունը տալիս է պարաստիխին օպտիմալ փաթեթավորման խտությամբ:.

Ծաղկի զարգացման համար իրական ֆիզիկական մեխանիզմի մաթեմատիկական մոդելավորումը ցույց է տվել այն օրինաչափությունը, որն ինքնաբերաբար առաջանում է հարթության վրա ոչ գծային մասնակի դիֆերենցիալ հավասարման լուծումից:

Նշումներ

• Vogel, H (1979). «A better way to construct the sunflower head». Mathematical Biosciences. 44 (3–4): 179–189. doi:10.1016/0025-5564(79)90080-4.
• Prusinkiewicz, Przemysław; Lindenmayer, Aristid (1990). The Algorithmic Beauty of Plants. Springer-Verlag. էջեր 101–107. ISBN 978-0-387-97297-8.

• Golden Angle at MathWorld