Ինտեգրալ հավասարումներ

Ինտեգրալ հավասարումներ, հավասարումներ, որոնք որոնելի ֆունկցիաների նկատմամբ պարունակում են ինտեգրման գործողություններ։ Առանձնապես կարևոր և բազմակողմանիորեն ուսումնասիրված գծային ինտեգրալ հավասարումների թվին են պատկանում

${a}(p)\varphi (p)+\int _{D}^{}k(p,q)\varphi (q)dq=f(p),p\in D\subset R^{n}$ (1)

${a}(x)\varphi (x)+\int _{a}^{x}k(x,y)\varphi (y)dy=f(x),x\in (a,b)$ (2)

հավասարումները, որտեղ $\varphi (p),\varphi (x)$ որոնելի ֆունկցիաներ են. իսկ ${a}(p),f(p),k(p,q),{a}(x),f(x),k(x,y)$ նախապես տրված անընդհատ ֆունկցիաներ են իրենց որոշման տիրույթում։ ${a}(p)=0$ դեպքում (1)-ը կոչվում է Ֆրեդհոլմի առաջին սեռի, իսկ ${a}(p)=1$ դեպքում՝ Ֆրեդհոլմի երկրորդ սեռի ինտեգրալ հավասարում (շվեդ մաթեմատիկոս Ի. Ֆրեդհոլմի (Fredholm E. J., 1866–1927) անունով)։ Նմանապես, ${a}(x)=0$ դեպքում (2)-ը կոչվում է Վոլտերայի առաջին սեռի, իսկ ${a}(x)=1$ դեպքում՝ Վոլտերայի երկրորդ սեռի ինտեգրալ հավասարում (իտալացի մաթեմատիկոս Վ. Վոլտերայի (Volterra V., 1860–1940) անունով)։ Երբ $k(p,q)$ ֆունկցիան (համապատասխանաբար $k(x,y)$-ը), որը կոչվում է ինտեգրալ հավասարման կորիզ, ունի

$k(p,q)=\sum _{k=1}^{N}\alpha _{1}(p)\beta _{1}(q)$

($k(x,y)=\sum _{k=1}^{N}\alpha _{1}(x)\beta _{1}(y)$)

մասնավոր տեսքը, (1) և (2) հավասարումների լուծումը բերվում է գծային հանրահաշվական հավասարումների լուծման։ Այն ինտեգրալ հավասարումները, որոնց կորիզն ունի ոչ ինտեգրելի եզակիություն (օրինակ, երբ $k(x,y)=(x-y)^{-1}$), կոչվում են սինգուլյար ինտեգրալ հավասարում։ Ոչ գծային ինտեգրալ հավասարմներից կարևորներն են

$\varphi (x)+\int _{0}^{1}k(x,t,\varphi (t))dt$

Ուրիսոնի հավասարումը և նրա մասնավոր դեպքը՝

$\varphi (x)+\int _{0}^{1}k(x,t)F(t,\varphi (t))dt$

Համերշտայնի հավասարումը։

Ինտեգրալ հավասարումների տեսությունը արդի բնագիտության հզոր միջոցներից է և ունի ամենալայն ու բազմապիսի կիրառություններ։

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 4, էջ 352)։