Կրոնեկերյան արտադրյալ

Մաթեմատիկայում Կրոնեկերյան արտադրյալը, որը նշանակվում է ⊗, կամայական երկու մատրիցների մաթեմաթիկական գործողություն է, որի արդյունքում ստանում ենք քառակուսի մատրից։ Դա վեկտորներից դեպի մատրիցներ կատարվող արտաքին արտադրյալի գործողության ընդհանրացումն է (որը ունի նույն նշանակումը)։ Կրոնեկերյան արտադրյալը տարբերվում է մատրիցների սովորական բազմապատկումից, որը հիմնովին այլ գործողություն է։ Կրոնեկերյան արտադրյալը երբեմն նաև կոչվում է մատրիցների ուղիղ արտադրյալ։

Կրոնեկերյան արտադրյալը անվանվել է գերմանացի մաթեմատիկոս Լեոպոլդ Կրոնեկերի (1823-1891) պատվին, չնայած քիչ փաստեր կան, որ առաջինը նա է սահմանել և օգտագործել այն։ Կրոնեկերյան արտադրյալը այլ կերպ կոչվում է նաև «Զեհֆուսի մատրից», Ջոհան Ջորջ Զեհֆուսի պատվին, ով 1858 թվականին նկարագրել է այս գործողությունը, բայց այժմ ամենալայն տարածված տերմինը Կրոնեկերյան արտադրյալն է։

Սահմանում

Եթե A֊ն m × n մատրից է և B֊ն p × q մատրից, ապա Կրոնեկերյան արտադրյալ A ⊗ B մատրիցների համար կստացվի pm × qn քառակուսային մատրից։

$\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}a_{11}\mathbf {B} &\cdots &a_{1n}\mathbf {B} \\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}\mathbf {B} &\cdots &a_{mn}\mathbf {B} \end{bmatrix}},$

Բացահայտ տեսքով՝

${\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} }={\begin{bmatrix}a_{11}b_{11}&a_{11}b_{12}&\cdots &a_{11}b_{1q}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{11}&a_{1n}b_{12}&\cdots &a_{1n}b_{1q}\\a_{11}b_{21}&a_{11}b_{22}&\cdots &a_{11}b_{2q}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{21}&a_{1n}b_{22}&\cdots &a_{1n}b_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{11}b_{p1}&a_{11}b_{p2}&\cdots &a_{11}b_{pq}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{p1}&a_{1n}b_{p2}&\cdots &a_{1n}b_{pq}\\\vdots &\vdots &&\vdots &\ddots &&\vdots &\vdots &&\vdots \\\vdots &\vdots &&\vdots &&\ddots &\vdots &\vdots &&\vdots \\a_{m1}b_{11}&a_{m1}b_{12}&\cdots &a_{m1}b_{1q}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{11}&a_{mn}b_{12}&\cdots &a_{mn}b_{1q}\\a_{m1}b_{21}&a_{m1}b_{22}&\cdots &a_{m1}b_{2q}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{21}&a_{mn}b_{22}&\cdots &a_{mn}b_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}b_{p1}&a_{m1}b_{p2}&\cdots &a_{m1}b_{pq}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{p1}&a_{mn}b_{p2}&\cdots &a_{mn}b_{pq}\end{bmatrix}}.$

Կարճ ասած, մենք ունենք $(A\otimes B)_{p(r-1)+v,q(s-1)+w}=a_{rs}b_{vw}$

Նմանապես $(A\otimes B)_{i,j}=a_{\lceil (i)/p\rceil ,\lceil (j)/q\rceil }b_{i-\lfloor (i-1)/p\rfloor p,j-\lfloor (j-1)/q\rfloor q}.$ Օգտագործելով $i\%p=i-\lfloor i/p\rfloor p$, որտեղ $i\%p$֊ն նշանակվում է որպես մնացորդ $i/p$, սա կարող է գրվել ավելի համաչափ տեսքով

$(A\otimes B)_{i,j}=a_{\lceil (i)/p\rceil ,\lceil (j)/q\rceil }b_{(i-1)\%p+1,(j-1)\%q+1}.$

Եթե A և B մատրիցները նեռկայացնում են գծային ձևափոխություններ V₁ → W₁ և V₂ → W₂, ապա․ համապատասխանաբար A ⊗ B ներկայացնում են տենզոռային արտադրյալ V₁ ⊗ V₂ → W₁ ⊗ W₂.

Օրինակներ

${\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}0&5\\6&7\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1{\begin{bmatrix}0&5\\6&7\\\end{bmatrix}}&2{\begin{bmatrix}0&5\\6&7\\\end{bmatrix}}\\3{\begin{bmatrix}0&5\\6&7\\\end{bmatrix}}&4{\begin{bmatrix}0&5\\6&7\\\end{bmatrix}}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\times 0&1\times 5&2\times 0&2\times 5\\1\times 6&1\times 7&2\times 6&2\times 7\\3\times 0&3\times 5&4\times 0&4\times 5\\3\times 6&3\times 7&4\times 6&4\times 7\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&5&0&10\\6&7&12&14\\0&15&0&20\\18&21&24&28\end{bmatrix}}.$

Նմանապես

${\begin{bmatrix}1&-4&7\\-2&3&3\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}8&-9&-6&5\\1&-3&-4&7\\2&8&-8&-3\\1&2&-5&-1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}8&-9&-6&5&-32&36&24&-20&56&-63&-42&35\\1&-3&-4&7&-4&12&16&-28&7&-21&-28&49\\2&8&-8&-3&-8&-32&32&12&14&56&-56&-21\\1&2&-5&-1&-4&-8&20&4&7&14&-35&-7\\-16&18&12&-10&24&-27&-18&15&24&-27&-18&15\\-2&6&8&-14&3&-9&-12&21&3&-9&-12&21\\-4&-16&16&6&6&24&-24&-9&6&24&-24&-9\\-2&-4&10&2&3&6&-15&-3&3&6&-15&-3\end{bmatrix}}$

Աղբյուրներ

• Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1991), Topics in Matrix Analysis, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-46713-1.
• Jain, Anil K. (1989), Fundamentals of Digital Image Processing, Prentice Hall, Bibcode:1989fdip.book.....J, ISBN 978-0-13-336165-0.
• Steeb, Willi-Hans (1997), Matrix Calculus and Kronecker Product with Applications and C++ Programs, World Scientific Publishing, ISBN 978-981-02-3241-2
• Steeb, Willi-Hans (2006), Problems and Solutions in Introductory and Advanced Matrix Calculus, World Scientific Publishing, ISBN 978-981-256-916-5

Արտաքին հղումներ

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], «Tensor product», Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
• Կաղապար:Planetmath reference
• MathWorld Kronecker Product
• New Kronecker product problems
• Earliest Uses: The entry on The Kronecker, Zehfuss or Direct Product of matrices has historical information.
• Generic C++ and Fortran 90 codes for calculating Kronecker products of two matrices.
• RosettaCode Kronecker Product (in more than 30 languages).