Անորոշ ինտեգրալ

Անորոշը ինտեգրալը $f(x)\,$ ֆունկցիայի համար իր նախնական ֆունկցիայի բոլոր տվյալների ամբողջությունն է։ Եթե $f(x)\,$ ֆունկցիան որոշված է և անընդհատ է $(a,b)\,$ միջակայքում, իսկ իր նախնական $F(x)\,$-ը, այսինքն՝ $F'(x)=f(x)\,$, երբ $a<x<b\,$, ապա

$\int f(x)dx=F(x)+C,\,$ $a<x<b\,$,

որտեղ С-ն անկախ հաստատուն է։

$d\left(\int f(x)dx\right)=f(x)dx$

$\int d(F(x))=F(x)+C$

$\int a\cdot f(x)dx=a\cdot \int f(x)dx$

$\int (f(x)\pm g(x))dx=\int f(x)dx\pm \int g(x)dx$

Եթե $\int f(x)dx=F(x)+C$, ապա $\int f(u)du=F(u)+C$ ևս, որտեղ $u=\varphi (x)$, որը ածանցելի ֆունկցիա է անընդհատ ածանցյալով։

Դիֆերենցիալով հիմքի կառուցում

Դիֆերենցիալով հիմքի կառուցման ժամանակ օգտագործվում են հետևյալ հատկությունները՝

$du=d(u+C)\,$

$du={1 \over a}d(au)$

$f'(u)\cdot du=d(f(u))$

Ինտեգրման հիմնական մեթոդներ

1. Նոր արգումենտի ներմուծման մեթոդ։ Եթե

$\int g(x)dx=G(x)+C,\,$

ապա

$\int g(u)du=G(u)+C,\,$

որտեղ $u=\varphi (x)\,$՝ անընդհատ դիֆերենցվող ֆունկցիա։

2. Բաժանման մեթոդ։ Եթե

$g(x)=g_{1}(x)+g_{2}(x),\,$

ապա

$\int g(x)dx=\int g_{1}(x)dx+\int g_{2}(x)dx.\,$

3. Տեղադրման մեթոդ։ Եթե $g(x)\,$-ն անընդհատ է, ապա ենթադրելով $x=\varphi (t),\,$, որտեղ $\varphi (t)\,$ անընդհատ է իր $\varphi '(t)\,$ ածանցյալի հետ միասին, կստանանք

$\int g(x)dx=\int g(\varphi (t))\varphi '(t)dt.\,$

4. Մասերով ինտեգրում։ Եթե $u\,$ և $v\,$՝ որոշ դիֆերենցվող ֆունկցիաներ են $x\,$-ից կախված, ապա

$\int udv=uv-\int vdu.\,$

Հիմնական անորոշ ինտեգրալների աղյուսակ

$\int 0\cdot dx=C;\,$

$\int 1\cdot dx=x+C;\,$

$\int x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C\,$ $(n\neq -1);\,$

$\int {\frac {1}{x}}dx=\ln \mid x\mid +C;\,$

$\int e^{x}dx=e^{x}+C;\,$

$\int a^{x}dx={\frac {a^{x}}{\ln a}}+C,\,$ $(a>0,a\neq 1);\,$

$\int \cos x\,dx=\sin x+C;\,$: $\int \sin x\,dx=-\cos x+C;\,$

$\int {\frac {dx}{\cos ^{2}x}}=\mathrm {tg} \,x+C;\,$

$\int {\frac {dx}{\sin ^{2}x}}=-\mathrm {ctg} \,x+C;\,$

$\int {\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\arcsin x+C=-\arccos x+C'(C'={\frac {\pi }{2}}+C);\,$

$\int {\frac {dx}{1+x^{2}}}=\mathrm {arctg} \,x+C;\,$

$\int \mathrm {ch} \,xdx=\mathrm {sh} \,x+C;\,$

$\int \mathrm {sh} \,xdx=\mathrm {ch} \,x+C;\,$

Յուրաքանչյուր հավասարման ձախ մասում նախնական ֆունկցիայի ածանցյալն է (բայց որոշված) համապատասխան ինտեգրալի տակ ընկած ֆունկցիայի համար, իսկ աջ մասում՝ որոշված նախնական ֆունկցիան, որին նաև ավելացվում է այնպիսի $C\,$, որ պահպանվի հավասարությունը ֆունկցիաների միջև։ Այս բանաձևերում նախնական ֆունկցիաները որոշված են և անընդհատ են այն միջակայքերում, որում որոշված են և անընդհատ ինտեգրալի տակ ընկած ֆունկցիաները։ Այս օրինաչափությունը պատահական չէ, քանի որ ինչպես վերը նշված է, ցանկացած անընդհատ ֆունկցիա ինչ-որ միջակայքում ունի իր անընդհատ նախնական ֆունկցիան։

Լուծման օրինակներ

$1.$$\int x^{2}\,dx=\int x^{n}\,dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C={\frac {x^{3}}{3}}+C$

$2.$$\int (a^{x}+\cos x)\,dx=\int a^{x}\,dx+\int \cos x\,dx={\frac {a^{x}}{\ln a}}+\sin x+C$

$3.$$\int {\frac {dx}{1+x^{2}}}+{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\int {\frac {dx}{1+x^{2}}}+\int {\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}+C=\mathrm {arctg} \,x+\arcsin \,x+C$

Տես նաև

• Նախնական ֆունկցիա
• Որոշյալ ինտեգրալ
• Վերլուծության հիմնական թեորեմ
• Ինտեգրալի նշան
• Թվային ինտեգրում
• Ինտեգրման մեթոդներ
• Տարրական ֆունկցիաների ինտեգրման ցանկ
• Ինտեգրալների աղյուսակ
• Ինտեգրալ հաշիվ

Արտաքին հղումներ

• Weisstein, Eric W., "Integral", MathWorld.
• Wolfram Integrator — ինտեգրալների առցանց հաշվարկում Mathematica համակարգի օգնությամբ
• Ինտեգրալների առցանց հաշվիչ
• Онлайн калькулятор интегралов с подробным пошаговым решением на русском языке