Գումար (մաթեմատիկա)

Հունարենի մեծատառ սիգմա, գումարի պայմանական նշան

Գումար (լատին․՝ summa-ամբողջը, ընդհանուր քանակ) մաթեմատիկայում դա թվային մեծությունների (թվեր, ֆունկցիաներ, վեկտորներ, մատրիցներ) գումարման արդյունքն է։ Բոլոր դեպքերի համար ընդհանուր է բաշխումը և զուգորդությունը։

$a+b=b+a$

$a+(b+c)=(a+b)+c$

$(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$

$c\cdot (a+b)=c\cdot a+c\cdot b$

Բազմությունների տեսությունում գումար կամ միավորում կոչվում է բազմությունը, որի անդամ են հանդիսանում միավորվող բազմություններին պատկանող և չկրկնվող բոլոր տարրերը։ Կարող է լինել նաև ավելի բարդ հանրահաշվական կառուցվածքների գումար, օրինակ՝ գծային տարածությունների, իդեալների գումար, կատեգորիաների գումար և այլն։

Թվաբանական գումար

Դիցուք՝ $\mathbb {N}$բազմությունն ունի $a$ անդամ, որոնք կազմում են $A$ ենթաբազմությունը և $b$ անդամները, որոնք կազմում են $B$ ենթաբազմությունը ($A\subset \mathbb {N} ,B\subset \mathbb {N}$, a և b - բնական թվեր են)։ Այդ դեպքում $a+b$ թվաբանական գումարը կլինի $c$ անդամների քանակը, որոնք կազմում են $C\subset \mathbb {N}$ ենթաբազմությունը, որն առաջանում է սկզբնական ենթաբազմությունների միավորումից $C=A\sqcup B$։

Հանրահաշվական գումար

Մաթեմատիկորեն գումարը նշանակում են հունարեն մեծատար Σ (սիգմա)․

$\sum _{i\mathop {=} m}^{n}a_{i}=a_{m}+a_{m+1}+a_{m+2}+\cdots +a_{n-1}+a_{n}$

որտեղ․ i - գումարման ինդեքսն է, a_i - փոփոխականն է, ցույց է տալիս յուրաքանչյուր անդամը, m - գումարման ներքին սահմանը, n -գումարման վերին սահմանը։ Նշանի տակ գրված «i = m» նշանակում է, որ i -ի սկզբնական արժեքը համարժեք է m -ին։ Այս գրառումից հետևում է,որ i -ի արժեքը մեծանում է մեկով և կանգ կառնի, երբ i = n.։

Ծրագրավորման մեջ տվյալ գործողությանը համապատասխանում է- for.

Գրառման օրինակներ

$\sum _{i\mathop {=} 1}^{100}i=1+2+3+4+...+99+100$

$\sum _{i\mathop {=} 3}^{6}i^{2}=3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}=86$

Սահմանների նշումը կարելի է չանել,եթե գրառումից պարզ է։

$\sum a_{i}^{2}=\sum _{i\mathop {=} 1}^{n}a_{i}^{2}$

Տվյալ միջակայքի բոլոր բնական $k$ թվերի գումարը գրառվում է․

$\sum _{0\leq k<100}f(k)$

$S$ բազմության $x$անդամների $f(x)$գումարը

$\sum _{x\mathop {\in } S}f(x)$

$d$ թվի բաժանարար հանդիսացող $n$ թվերի $\mu (d)$ գումար։

$\sum _{d|n}\;\mu (d)$

Մի քանի սիմվոլներ կարող են ընդհանրացնել․

$\sum _{\ell ,\ell '}=\sum _{\ell }\sum _{\ell '}$

Անվերջ գումար

Մաթեմատիկական վերլուծության մեջ որոշվում է շարքի հասկացությունը, որպես անվերջ թվով գումարելիների գումարը։

Օրինակ

1. Թվաբանական պրոգրեսիայի գումար․

$\sum _{i=0}^{n}(a_{0}+b\cdot i)=(n+1){\frac {a_{0}+a_{n}}{2}}$

---

2. Երկրաչափական պրոգրեսիայի գումար․

$\sum _{i=0}^{n}a_{0}\cdot b^{i}=a_{0}\cdot {\frac {1-b^{n+1}}{1-b}}$

---

3.$\sum \limits _{k=1}^{n}k^{3}=\left[{\frac {n(n+1)}{2}}\right]^{2}=\left(\sum \limits _{k=1}^{n}k\right)^{2}$

---

4. $\sum _{i=0}^{n}{\left({\frac {1}{p}}\right)}^{i}={\frac {p}{p-1}}\left(1-{\frac {1}{p^{n+1}}}\right),\quad p\neq 1,n\geq 0$

Ապացույց  

$\sum _{i=0}^{n}{\left({\frac {1}{p}}\right)}^{i}=\sum _{i=0}^{n}{1\cdot {\frac {1}{p^{i}}}}=1\cdot {\frac {1-{\left({\frac {1}{p}}\right)}^{n+1}}{1-{\frac {1}{p}}}}={\frac {\frac {p^{n+1}-1}{p^{n+1}}}{\frac {p-1}{p}}}={\frac {p^{n+1}-1}{p^{n}(p-1)}}={\frac {p}{p-1}}\left(1-{\frac {1}{p^{n+1}}}\right)$

---

5. $\sum _{i=0}^{n}ip^{i}={\frac {np^{n+2}-(n+1)p^{n+1}+p}{(p-1)^{2}}},\quad p\neq 1$

Ապացույց  

$\sum _{i=0}^{n}ip^{i}=\sum _{i=1}^{n}ip^{i}=p\cdot \sum _{i=1}^{n}ip^{i-1}=p\cdot \sum _{i=0}^{n-1}(i+1)p^{i}=p\cdot \left(\sum _{i=0}^{n-1}{ip^{i}}+\sum _{i=0}^{n-1}p^{i}\right)=p\cdot \sum _{i=0}^{n}ip^{i}-p\cdot np^{n}+p\cdot {\frac {1-p^{n}}{1-p}}\Rightarrow$

$\Rightarrow (1-p)\sum _{i=0}^{n}ip^{i}={\frac {-np^{n+1}(1-p)+p-p^{n+1}}{1-p}}\Rightarrow \sum _{i=0}^{n}ip^{i}={\frac {np^{n+2}-(n+1)p^{n+1}+p}{(1-p)^{2}}}$

---

6. $\sum _{i=0}^{n}p^{i}=(p-1)\sum _{i=0}^{n-1}((n-i)p^{i})+n+1,\quad p\neq 1$

Ապացույց  

$(p-1)\sum _{i=0}^{n-1}((n-i)p^{i})+n+1=(p-1)\sum _{i=0}^{n}((n-i)p^{i})+n+1=(p-1)\left(n\cdot \sum _{i=0}^{n}p^{i}-\sum _{i=0}^{n}ip^{i}\right)+n+1=$

$=(p-1)\left(n\cdot {\frac {1-p^{n+1}}{1-p}}-{\frac {np^{n+2}-(n+1)p^{n+1}+p}{(1-p)^{2}}}\right)+n+1=$

$={\frac {np^{n+2}-np-np^{n+1}+n-np^{n+2}+np^{n+1}+p^{n+1}-p+pn-n+p-1}{p-1}}=$

$={\frac {p^{n+1}-1}{p-1}}=\sum _{i=0}^{n}p^{i}$

Հարկ է նշել,որ $p=10\$ դեպքում $\sum _{i=0}^{n}10^{i}=9\cdot \sum _{i=0}^{n-1}((n-i)10^{i})+n+1$, շարքը հավասարություն է, որ ունի հետևյալ տեսքը․
$1=9\cdot 0+1,\quad 11=9\cdot 1+2,\quad 111=9\cdot 12+3,\quad 1111=9\cdot 123+4,\quad 11111=9\cdot 1234+5$

Անորոշ գումար

Անորոշ գումար $a_{i}$ ըստ $i$ կոչվում է $f(i)$ֆունկցիան, նշանակվում է $\sum _{i}^{}a_{i}$, что $\forall i:f(i+1)-f(i)=a_{i}$.

Նյուտոն-Լայբնիցի բանաձև

Եթե գտնվել է անորոշ գումար$\sum _{i}^{}a_{i}=f(i)$, ապա $\sum _{i=a}^{b}a_{i}=f(b+1),f(a)$.

Տես նաև

• Գումարում
• Արտադրյալ

Գրականություն

• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — 7-е. — М.: Наука, 1969. — Т. 1. — 608 с. — 100 000 экз.