«Լեբեգի ինտեգրալ»–ի խմբագրումների տարբերություն

Content deleted Content added

Գծային

03:09, 7 հունվարի 2022-ի տարբերակ

Ինտեգրումը ըստ Ռիմանի (վերև) և ըստ Լեբեգի (ներքև)

Լեբեգի ինտեգրալ, արդի մաթեմատիկայի հիմնական հասկացություններից^[1]։ Դիցուք $A_{1},....,A_{n}$ -ը $[a,b]$ հատվածի որևէ չափելի տրոհում է, այսինքն $A_{1}$ բազմությունները չափելի են (տես Չափ բազմության), զույգ առ զույգ չեն հատվում և նրանց գումարը $[a,b]$ -ն է։

$S(x)$ -ը կոչվում է պարզ ֆունկցիա, եթե $A_{1}$ -ի վրա հաստատուն է, ասենք, հավասար է $a_{1}$ : $S(x)$ -ի Լեբեգի ինտեգրալը կոչվում է $\sum \limits _{i=1}^{n}Q_{i}\mu A_{i}$ արտահայտությունը և նշանակվում՝ $\int _{a}^{b}S(x)dx$ ( $\mu$ -ն լեբեգյան չափն է)։ Եթե $f(x)$ -ը ոչ բացասական և չափելի ֆունկցիա է, ապա ըստ սահմանման $\int _{a}^{b}f(x)dx=\sup _{0\leqslant S\leqslant f}\int _{a}^{b}S(x)dx$ , որտեղ supremum-ը վերցվում է բոլոր հնարավոր չափելի պարզ ֆունկցիաների $(0\leqslant S\leqslant f)$ դասում։

Քանի որ կամայական չափելի $f(x)$ -ը ներկայացվում է ոչ բացասական չափելի ֆունկցիաների տարբերությամբ՝ $f_{1}-f_{2}$ , ապա $f(x)$ -ի Լեբեգի ինտեգրալ են անվանում $\int _{a}^{b}f_{1}(x)dx-\int _{a}^{b}f_{2}(x)dx$ արտահայտությունը ( $\infty -\infty$ դեպքը բացառվում է) և նշանակում՝ $\int _{a}^{b}f(x)dx$ կամ $(L)\int _{a}^{b}f(x)dx$ : Լեբեգի ինտեգրալի այս սահմանումը պիտանի է շատ ավելի ընդհանուր իրավիճակում, մասնավորապես, եթե $[a,b]$ -ն փոխարինվի $(a,+\infty ),(-\infty ,b),(-\infty ,\infty )$ բազմություններով։ Այս դեպքում ստացվող ընդհանրացումները պարունակում են Ռիմանի բացարձակ զուգամետ (բայց ոչ պայմանական) անիսկական ինտեգրալները։ Ռիմանի իմաստով ինտեգրելի ֆունկցիան ինտեգրելի է նաև Լեբեգի իմաստով (հակառակը ճիշտ չէ) և այդ ինտեգրալները համընկնում են։ Եթե $(L)\int _{a}^{b}f(x)dx$ վերջավոր է, ապա $f$ -ը կոչվում է հանրագումարելի ֆունկցիա։ Մաթեմատիկական առօրյայում հանդիպող բոլոր սահմանափակ ֆունկցիաները հանրագումարելի են։ Լեբեգի ինտեգրալի հիմնական արժանիքներից է այն, որ բավական «ճկուն» է սահմանային գործողություններ կատարելիս։ Օրինակ, եթե $f_{n},g$ ֆունկցիաները հանրագումարելի են, $|f_{n}|\leqslant g,f_{n}\to f$ եթե $n\to \infty$ , ապա $f$ -ը նույնպես հանրագումարելի է և $\int _{a}^{b}f_{n}(x)dx\to _{n\to \infty }\int _{a}^{b}f(x)dx$ :

Լեբեգի ինտեգրալը զգալիորեն լայնացրեց դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշվի հիմնական՝ նախնական ֆունկցիան գտնելու բանաձևի շրջանակները

Տես նաև

Ինտեգրալ հաշիվ

Ծանոթագրություններ

↑ Lebesgue, Henri (1904). «Leçons sur l’intégration et la recherche des fonctions primitives». Paris: Gauthier-Villars.

Վիքիպահեստն ունի նյութեր, որոնք վերաբերում են «Լեբեգի ինտեգրալ» հոդվածին։

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից (հ․ 4, էջ 510)։

[1] Lebesgue, Henri (1904). «Leçons sur l’intégration et la recherche des fonctions primitives». Paris: Gauthier-Villars.

[1]

@@ Տող 1. / Տող 1. @@
 [[File:Riemannvslebesgue.svg|thumb|200px|Ինտեգրումը ըստ Ռիմանի (վերև) և ըստ Լեբեգի (ներքև)]]
-'''Լեբեգի ինտեգրալ''',  արդի մաթեմատիկայի հիմնական հասկացություններից<ref>Lebesgue, Henri (1904). «Leçons sur l’intégration et la recherche des fonctions primitives». Paris: Gauthier-Villars.</ref>: Դիցուք <math>A_1,  ...., A_n</math>-ը <math>[a,b]</math> հատվածի որևէ չափելի տրոհում է, այսինքն <math>A_1</math> բազմությունները չափելի են (տես [[Բազմության չափ|Չափ բազմության]]), զույգ առ զույգ չեն հատվում և նրանց գումարը <math>[a,b]</math>-ն է:
+'''Լեբեգի ինտեգրալ''',  արդի մաթեմատիկայի հիմնական հասկացություններից<ref>Lebesgue, Henri (1904). «Leçons sur l’intégration et la recherche des fonctions primitives». Paris: Gauthier-Villars.</ref>։ Դիցուք <math>A_1,  ...., A_n</math>-ը <math>[a,b]</math> հատվածի որևէ չափելի տրոհում է, այսինքն <math>A_1</math> բազմությունները չափելի են (տես [[Բազմության չափ|Չափ բազմության]]), զույգ առ զույգ չեն հատվում և նրանց գումարը <math>[a,b]</math>-ն է։
-<math>S(x)</math>-ը կոչվում է պարզ ֆունկցիա, եթե <math>A_1</math>-ի վրա հաստատուն է, ասենք, հավասար է <math>a_1</math>: <math>S(x)</math>-ի Լեբեգի ինտեգրալը կոչվում է <math>\sum\limits_{i=1}^nQ_i \mu A_i</math> արտահայտությունը և նշանակվում՝ <math>\int_{a}^bS(x)dx</math> (<math>\mu</math>-ն լեբեգյան չափն է): Եթե <math>f(x)</math>-ը ոչ բացասական և չափելի ֆունկցիա է, ապա ըստ սահմանման <math>\int_{a}^bf(x)dx=\sup_{0 \leqslant S \leqslant f}\int_{a}^bS(x)dx</math>, որտեղ supremum-ը վերցվում է բոլոր հնարավոր չափելի պարզ ֆունկցիաների <math>(0 \leqslant S \leqslant f)</math> դասում:
+<math>S(x)</math>-ը կոչվում է պարզ ֆունկցիա, եթե <math>A_1</math>-ի վրա հաստատուն է, ասենք, հավասար է <math>a_1</math>: <math>S(x)</math>-ի Լեբեգի ինտեգրալը կոչվում է <math>\sum\limits_{i=1}^nQ_i \mu A_i</math> արտահայտությունը և նշանակվում՝ <math>\int_{a}^bS(x)dx</math> (<math>\mu</math>-ն լեբեգյան չափն է)։ Եթե <math>f(x)</math>-ը ոչ բացասական և չափելի ֆունկցիա է, ապա ըստ սահմանման <math>\int_{a}^bf(x)dx=\sup_{0 \leqslant S \leqslant f}\int_{a}^bS(x)dx</math>, որտեղ supremum-ը վերցվում է բոլոր հնարավոր չափելի պարզ ֆունկցիաների <math>(0 \leqslant S \leqslant f)</math> դասում։
-Քանի որ կամայական չափելի <math>f(x)</math>-ը ներկայացվում է ոչ բացասական չափելի ֆունկցիաների տարբերությամբ՝ <math>f_1-f_2</math>, ապա  <math>f(x)</math>-ի Լեբեգի ինտեգրալ են անվանում<math>\int_{a}^bf_1(x)dx-\int_{a}^bf_2(x)dx</math> արտահայտությունը (<math>\infty-\infty</math> դեպքը բացառվում է) և նշանակում՝ <math>\int_{a}^bf(x)dx</math> կամ <math>(L)\int_{a}^bf(x)dx</math>: Լեբեգի ինտեգրալի այս սահմանումը պիտանի է շատ ավելի ընդհանուր իրավիճակում, մասնավորապես, եթե <math>[a, b]</math>-ն փոխարինվի <math>(a, + \infty), (- \infty, b), (- \infty, \infty)</math> բազմություններով: Այս դեպքում ստացվող ընդհանրացումները պարունակում են Ռիմանի բացարձակ զուգամետ (բայց ոչ պայմանական) անիսկական ինտեգրալները: Ռիմանի իմաստով ինտեգրելի ֆունկցիան ինտեգրելի է նաև Լեբեգի իմաստով (հակառակը ճիշտ չէ) և այդ ինտեգրալները համընկնում են: Եթե <math>(L)\int_{a}^bf(x)dx</math> վերջավոր է, ապա <math>f</math>-ը կոչվում է հանրագումարելի ֆունկցիա: Մաթեմատիկական առօրյայում հանդիպող բոլոր սահմանափակ ֆունկցիաները հանրագումարելի են: Լեբեգի ինտեգրալի հիմնական արժանիքներից է այն, որ բավական «ճկուն» է սահմանային գործողություններ կատարելիս: Օրինակ, եթե <math>f_n, g</math> ֆունկցիաները հանրագումարելի են, <math>|f_n| \leqslant g,  f_n \to f</math> եթե <math>n \to \infty</math>, ապա <math>f</math>-ը նույնպես հանրագումարելի է և <math>\int_{a}^bf_n(x)dx \to_{n \to \infty} \int_{a}^bf(x)dx </math>:
+Քանի որ կամայական չափելի <math>f(x)</math>-ը ներկայացվում է ոչ բացասական չափելի ֆունկցիաների տարբերությամբ՝ <math>f_1-f_2</math>, ապա  <math>f(x)</math>-ի Լեբեգի ինտեգրալ են անվանում<math>\int_{a}^bf_1(x)dx-\int_{a}^bf_2(x)dx</math> արտահայտությունը (<math>\infty-\infty</math> դեպքը բացառվում է) և նշանակում՝ <math>\int_{a}^bf(x)dx</math> կամ <math>(L)\int_{a}^bf(x)dx</math>: Լեբեգի ինտեգրալի այս սահմանումը պիտանի է շատ ավելի ընդհանուր իրավիճակում, մասնավորապես, եթե <math>[a, b]</math>-ն փոխարինվի <math>(a, + \infty), (- \infty, b), (- \infty, \infty)</math> բազմություններով։ Այս դեպքում ստացվող ընդհանրացումները պարունակում են Ռիմանի բացարձակ զուգամետ (բայց ոչ պայմանական) անիսկական ինտեգրալները։ Ռիմանի իմաստով ինտեգրելի ֆունկցիան ինտեգրելի է նաև Լեբեգի իմաստով (հակառակը ճիշտ չէ) և այդ ինտեգրալները համընկնում են։ Եթե <math>(L)\int_{a}^bf(x)dx</math> վերջավոր է, ապա <math>f</math>-ը կոչվում է հանրագումարելի ֆունկցիա։ Մաթեմատիկական առօրյայում հանդիպող բոլոր սահմանափակ ֆունկցիաները հանրագումարելի են։ Լեբեգի ինտեգրալի հիմնական արժանիքներից է այն, որ բավական «ճկուն» է սահմանային գործողություններ կատարելիս։ Օրինակ, եթե <math>f_n, g</math> ֆունկցիաները հանրագումարելի են, <math>|f_n| \leqslant g,  f_n \to f</math> եթե <math>n \to \infty</math>, ապա <math>f</math>-ը նույնպես հանրագումարելի է և <math>\int_{a}^bf_n(x)dx \to_{n \to \infty} \int_{a}^bf(x)dx </math>:
 Լեբեգի ինտեգրալը զգալիորեն լայնացրեց դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշվի հիմնական՝ նախնական ֆունկցիան գտնելու բանաձևի շրջանակները