Ֆունկցիայի համադրույթ

Ֆունկցիայի կոմպոզիցիա (կամ ֆունկցիայի համադրույթ, կամ բարդ ֆունկցիա), դա մեկ ֆունկցիայի կիրառումն է մյուսի արդյունքին: $G$ և $F$ ֆունկցիաների կոմպոզիցիա են անվանում $G\circ F$, որը նշանակում է $G$ ֆունկցիայի օգտագործումը $F$ ֆունկցիայի արդյունքին, այսինքն $(G\circ F)(x)=G(F(x))$

Սահմանում

Թող $F:X\to Y$ և ${\textstyle G:F(X)\to Z}$ — երկու ֆունկցիաներ են ($F(X)\subset Y$). Այս դեպքում նրանց կոմպոզիցիան նշանակում է $G\circ F:X\to Z$ ֆունկցիան, որոշված հետևյալ հավասարումով.

$(G\circ F)(x)=G(F(x)),\;x\in X.$

Կապակցված սահմանումներ

• «Բարդ ֆունկցիա» տերմինը կարող է օգտագործվել երկու ֆունկցիաների կոմպոզիցիաների, այնուամենայնիվ, այն հաճախ օգտագործվում է այն դեպքում, երբ ֆունկցիայի մի քանի փոփոխականներին բաժին է ընկնում միանգամից մի քանի ֆունկցիաների մեկ կամ մի քանի սկզբնական փոփոխականներ: Օրինակ` բարդ կարելի է ասել հետևյալ տեսքի $G$ ֆունկցիային

  $G(x,y)=F(u(x,y),v(x,y)),$

որովհետև ինքը իրենից ներկայացնում է$F$ ֆունկցիա, որը արդյունքում ստանում է $u$ և $v$ ֆունկցիաների արդյունքները:

Կոմպոզիցիայի հատկությունները

• Կոմպոզիցիա ասոցիատիվություն:

  $(H\circ G)\circ F=H\circ (G\circ F).$

• Եթե $F=\mathrm {id} _{X}$ — նույնական արտապատկերում է $X$-ի, այսինքն

  $F(x)=\mathrm {id} _{X}(x)=x,\;\forall x\in X,$

ապա

$G\circ \mathrm {id} _{X}=G.$

• Եթե $G=\mathrm {id} _{Y}$ — նույնական արտապատկերում $Y$-ի, այսինքն

  $G(y)=\mathrm {id} _{Y}(y)=y,\;\forall y\in Y,$

ապա

$\mathrm {id} _{Y}\circ F=F.$

• Դիտարկենք հարթության բոլոր բիեկցիա բազմության $X$-ը և նշանակենք ${\mathcal {F}}_{X}$. Այսինքն, եթե $F\in {\mathcal {F}}_{X}$, ապա $F:X\to X$ — բիեկցիա է: Այդ դեպքում ֆունկցիայի կոմպոզիցիան ${\mathcal {F}}_{X}$-ից հանդիսանում է Բինար օպերացիա, իսկ $({\mathcal {F}}_{X},\circ )$ — խումբ: $\mathrm {id} _{X}$ հանդիսանում է չեզօք տարր այդ խմբից: Հակադարձ $F\in {\mathcal {F}}_{X}$ տարրին հանդիսանում է $F^{-1}\in {\mathcal {F}}_{X}$ — Հակադարձ ֆունկցիան.
  • $({\mathcal {F}}_{X},\circ )$ խումբը, ընդհանրապես կոմուտատիվ չէ, այսինքն $F_{1}\circ F_{2}\not =F_{2}\circ F_{1}$.

Լրացուցիչ հատկություններ

• Թող $f:X\to Y$ ֆունկցիան ունի $a$ կետում սահման $\lim _{x\to a}f(x)=b$, իսկ $g:f(X)\subset Y\to Z$ ֆունկցիան ունի $b$ կետում սահման $\lim _{y\to b}g(y)$. Այդ դեպքում, եթե գոյություն ունի $a$ կետին չպատկանող միջակայք, որի հատումը $X$ բազմանդամին արտապատկերում է $f:X\to Y$ ֆունկցիային $b$ կետին չպատկանող միջակայքին, ապա $a$ կետում գոյություն ունի սահման $g\circ f:X\to Z$ ֆունկցիայի կոմպոզիցիայի և տեղի ունի հետևյալ հավասարումը. $\lim _{x\to a}g(f(x))=\lim _{y\to b}g(y).$
• Եթե $f:X\to Y$ ֆունկցիան ունի $a$ կետում սահման $\lim _{x\to a}f(x)=b$, իսկ $g:f(X)\subset Y\to Z$ ֆունկցիան անընդհատ է $b$ կետում, ապա այդ $a$ կետում գոյություն ունի ֆունկցիայի կոմպոզիցիայի սահման $g\circ f:X\to Z$ և տեղի ունի հավասարությունը. $\lim _{x\to a}g(f(x))=g(\lim _{x\to a}f(x))=g(b).$
• Կոմպոզիցիան անընդհատ ֆունկցիայի անընդհատ է: Թող $(X,{\mathcal {T}}_{X}),(Y,{\mathcal {T}}_{Y}),(Z,{\mathcal {T}}_{Z})$ — տոպոլոգիական հարթություն է: Թող $f:X\to Y$ և $g:f(X)\subset Y\to Z$ — երկու ֆունկցիա են, $y_{0}=f(x_{0})$, $f\in C(x_{0})$ և $g\in C(y_{0})$. Այդ դեպքում $g\circ f\in C(x_{0})$.
• Կոմպոզիցիան դիֆերենցիալ ֆունկցիայի դիֆերենցելի է: Թող $f,g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$, $y_{0}=f(x_{0})$, $f\in {\mathcal {D}}(x_{0})$ և $g\in {\mathcal {D}}(y_{0})$. Այդ դեպքում $g\circ f\in {\mathcal {D}}(x_{0})$, և

$(g\circ f)'(x_{0})=g'(y_{0})\cdot f'(x_{0})$.

Տես նաև

• Կոմբինատորային տրամաբանություն
• Լամբդա արտահայտություն
• Ֆունկցիոնալ քառակուսի արմատ
• Կոմպոզիցիայի ռանգ

Գրականություն

• ՀԱԿԱԴԱՐՁ ՖՈՒՆԿՑԻԱՅԻ ՀԱՍԿԱՑՈՒԹՅԱՆ ՄԱՍԻՆ: «Մաթեմատիկան դպրոցում» գիտամեթոդական ամսագիր № 1, 2 0 1 0 թ . — Գլխավոր խմբագիր Հ.Միքայելյան