Մասնակից:Ռաննա/Ավազարկղ3

Հաշվարկման դիրքային համակարգ (դիրքային համարակալում)- հաշվարկման համակարգ է, որտեղ թվի գրառման մեջ յուրաքանչյուր թիվ կախված է իր դիրքից (կարգ):

Պատմություն

դիտել նաև տարբեր ազգերի հաշվարկման համակարգը

Դիրքային համարակալման գյուտը, որը հիմնված է թվերի տեղային նշանակության վրա, վերագրվում է շումերներին և բաբելոններին: Ավելր ուշ ժամանակահատվածում նման համարակալումը մշակվել է ինդուսների կողմից և ունեցել է անգնահատելի հետևանքներ քաղաքակրթության պատմություն մեջ: Այսպիսի համակարգերի թվին է պատկանում տասական հաշվման համակարգը, որի ծագումը կապված է մատներով հաշվի հետ: Միջին դարերի Եվրոպայում այն հայտնվեց իտալացի վաճառականների միջոցով, որոնք իրենց հերթին փոխառել էին այն արաբներից:

Սահմանումներ

Հաշվարկման դիրքային համակարգը սահմանվում է $b>1$ ամբողջ թվով , որը կոչվում է հաշվարկման համակարգի հիմքը: Հաշվարկման համակարգի $b$ հիմքը անվանում են նաև $b$ -ական (մասնավորապես ՝ երկուական, երեքական, տասնորդական և այլն):

Ամբողջ թիվերը առանց $x$ նշանի $b$-ական հաշվարկման համակարգում ներկայացնում է վերջավոր տեսքով գծային կոմբինացիա $b$ թվի ատիճանի:

$x=\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}b^{k}$, որտեղ $\ a_{k}$ — ամբողջ թվեր են, որոնք հետևյալ $0\leq a_{k}\leq b-1.$ անհավասարմանը բավարարող թվեր են :

Յուրաքանչյուր բազիսային տարր $\ b^{k}$ այս դասավորությունում կոչվում է կարգավորություն( դիրք ),շարքերի ավագությունը ու դրանց համապատասխանող թվերը որոշվում են ըստ թվերի կատեգորիայի (դիրքի) $\ k$ թվով (ցուցիչի արժեքի նշանակությունը):

$n$ թվի դիրքի օգնությամբ $b$-ական հաշվարկման համակարգում կարելի է գրառել ամբողջ թվերը $0$-ից մինչև $b^{n}-1$, այսինքն $b^{n}$ տարբեր թվեր:

Թվերի գրառումը

Եթե ​​անհամապատասխանություններ չկան (օրինակ, երբ բոլոր թվերը ներկայացված են որպես եզակի գրավոր նիշ), ապա $\ x$ թիվը գրվում է որպես իր $b$-ական թվերի հաջորդականություն, որոնք նշված են նվազման կարգով` ձախից աջ:

$x=a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{0}.$

Զրոական $\ x$ թվերի համար սկզբնական զրոները բաց ենք թողնում:

Հաշվառման համակարգերում ներառյալ մինչև 36 հիմքով թվեր գրելու համար օգտագործվում են որպես թվեր (նշան) արաբական թվեր (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) և հետո լատինական այբուբենի տառերը (a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z): Որտեղ, a = 10, b = 11 և այլն, երբեմն x = 10:

Միաժամանակ մի քանի հաշվման համակարգերի հետ աշխատելիս համակարգերը իրարից տարբերելու համար համակարգի հիմքը սովորաբար նշվում է ներքևի ինդեքսի տեսքով, որը գրվում է տասնորդական համակարգում:

$123_{10}$ — 123 թիվը տասական հաշվման համակարգում է:

$173_{8}$ — նույն թիվը հաշվարկման ութական համակարգում է:

$1111011_{2}$ — նույն թիվը հաշվարկման երկուական համակարգում է:

$0001\ 0010\ 0011_{10}=000100100011_{BCD}$ — նույն թիվը բայց տասնական հաշվման համակարգերում երկուական կոդավորումով տասնական թիվ (BCD);

$11120_{3N}$ — նույն թիվը, բայց ոչ սիմետրիկ երեքական հաշվարկման համակարգում:

$1iiii0_{3S}=177770_{3S}=122220_{3S}=+----0_{3S}$ — նույն թիվը, բայց սիմետրիկ երեքական հաշվարկման համակարգում, «i», «7», «2» և «−» նշանները նշանակում են «−1», «1»-ը և «+» նշանակում են «+1»:

Որոշ ոլորտներում կիրառվում են հատուկ օրենքներ հիմքերի նշանակման համար: Օրինակ, ծրագրավորման դեպքում,տասնվեցական համակարգը նշվում է.

• ասսեմբլերում և ընդհանուր գրառումներ, որոնք կապված չեն որոշակի լեզվի, h տառ (hexadecimal-ից) թվիի վերջում (սինտակսիս Intel):
• Պասկալում «$» նշանը թվի սկզբում:
• Սի-ում և այլ ուրիշ լեզուների 0x կամ 0X կոմբինացիաների ( hexadecimal-ից) սկզբում:

Որոշ բարբառներում Սի ծրագիրը ըստ «0x» անալոգիայի «0b» նախածանցը օգտագործվում է երկուական թվեր նշելու համար («0b» նշումը ներառված չէ ANSI C ստանդարտում):

Ռուսերեն հաշվիչների համար տասնական դիրքային համակարգում թվեր գրելու համար օգտագործվում էր այլընտրանքային համակարգի գրառում (ներկայացուցչական) տասնական թվերի միակ ավելորդ այլընտրանքային թվով «1111111111» = 10_ ₁₀ ամեն ելքից:

Օրինակներ

• 2 — երկուական (դիսկրետ մաթեմատիկայում, ինֆորմատիկայում, ծրագրավորումում)
• 3 — Հաշվարկման երեքական համակարգ
• 4 — Հաշվարկման չորսական համակարգ
• 8 — ութական (ինֆորմատիկայում)
• 10 — տասական հաշվման համակարգ
• 12 — տասներկուական (լայնորեն օգտագործվում էր հին ժամանակներում, այժմ օգտագործվում է որոշ մասնավոր տարածքներում)
• 16 — տասնվեցական (առավել տարածված է ծրագրավորումում, ինչպես նաև տառատեսակներում)
• 20 — քսանական (օգտագործվել է մայաների և ացտեկների մոտ)
• 40 — Հաշվարկման քառասունական համակարգ (գտագործվում էր հին ժամանակներում, մասնավորապես, «сорок сороков» = 1600)
• 60 — վաթսունական (օգտագործվում էր հին Վավիլոնում,իսկ ավելի ուշ հին հունական աստղագետների կողմից ՝ աստղերի անկյունային կոորդինատները չափելու (երկայնություն և լայնություն) և ժամանակը չափելու համար): Այսօր այն օգտագործվում է օրվա ժամանակը չափելու մեջ:

Հատկությունները

Հաշվարկման դիրքային համակարգ ունի մի շարք հատկություններ.

• Իրականում թվային համակարգի հիմքը միշտ գրվում է որպես 10; Օրինակ` երկուական թվային համակարգում 10 նշանակում է 2. Այս պնդումը չի տարածվում այլընտրանքային հաշվարկման համակարգի վրա, որում օգտագործում է միայն մեկ թիվ:
• b-ական համակարգում x թվի գրառման համար հաշվարկման համակարգը պահանջում է $\lfloor \log _{b}x\rfloor +1$ թիվ, որտեղ $\lfloor \cdot \rfloor$ նշանակում է վերցնել թվի ամբողջ մասը:
• Համեմատել թվերը, որոնք գրված են հաշվարկման դիրքային համակարգում կարելի է կարգերով, նախապես դրանք լրացնելով նույն քանակի զրոներով: Այս դեպքում համեմատությունը կատարվում է ամենաբարձր կարգից մինչև ամենացածր կարգը, քանի դեռ մի կարգի թիվը մեծ չէ, քան մյուս կարգի համապատասխան թիվը: Օրինակ ՝ տասական համակարգում 321 և 312 թվերը համեմատելու համար համեմատվում ենք ձախից աջ յուրաքանչյուր կարգի թիվ:.

** 3 = 3 — թվերի համեմատման արդյունքը դեռ որոշված չէ:

• • 2 > 1 — առաջի թիվը մեծ է (անկախ մնացած թվերից).

Այսպիսով, թվերի բնական կարգը համապատասխանում է հաշվարկման դիրքային համակարգում դրանց գրառումներին լեքսոգրաֆիկ կարգի, պայմանով, որ այդ գրառումները լրացվեն նույն քանակի զրոներով:

* Թվերով թվաբանական գործողություններ: Հաշվարկման դիրքային համակարգ թույլ է տալիս հեշտությամբ կատարել գումարում, հանում, բազմապատկում, բաժանում և մնացորդով բաժանում ՝ իմանալով միայն բազմապատկման աղյուսակը, իսկ վերջին երեք գործողությունների համար նաև բազմապատկման աղյուսակը համապատասխան համակարգում (տե՛ս, օրինակ, Սյունակով բաժանում):