Բազմություն

Վեն դիագրամ Երկու բազմությունների հատույթ կազմված է երկու բազմությունների ընդհանուր օբյեկտներից։

Բազմություն, իրարից տարբեր որոշակի օբյեկտների համախմբություն է, որն իր հերթին դիտարկվում է որպես բազմություն։ Բազմությունները մաթեմատիկայի ամենաֆունդամենտալ հասկացություններից են։ Զարգանալով 19-րդ դարի վերջում, բազմությունների տեսությունը այժմ մաթեմատիկայի անբաժան մասն է։ Մաթեմատիկական կրթության մեջ, տարրական թեմաները այնպիսիք, ինչպիսին Վեն դիագրամներն են, ուսուցանվում են դպրոցական տարիքում, մինչդեռ ավելի բարձրակարգ հասկացությունները ուսուցանվում են որպես համալսարանական աստիճանի մաս։

Սահմանում

Բազմությունների տեսության հիմնադիր Գեորգ Կանտորը իր Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehreի սկզբում բազմության հետևյալ սահմանումն է տվել:

A set is a gathering together into a whole of definite, distinct objects of our perception [Anschauung] and of our thought – which are called elements of the set.

Բաղմությունը, դա մեր ընկալման (Anschauung) եւ մեր մտքի մի շարք որոշակի, հստակ օբյեկտների խումբ է, որոնք կոչվում են հավաքածուի տարրեր:

Առընչություններ բազմությունների միջև

Էյլերի դիագրամ $A\subset B$համար

$A$ և $B$ երկու բազմությունները կարող են միմյանց հետ տարբեր առընչություն ունենալ

• $A$ընդգրկում $B$, եթե $A$-ի յուրաքանչյուր անդամը պատկանում է նաև $B$բազմությանը։

  $A\subseteq B\Leftrightarrow \forall a\in A\colon a\in B$

• $A$ ընդգրկում է $B$, եթե $B$պատկանում է $A$:

  $A\supseteq B\Leftrightarrow B\subseteq A$

• $A$հավասար է $B$, եթե $A$ և $B$ ընդգրկում են մեկը մյուսին:

  $A=B\Leftrightarrow (A\subseteq B)\land (B\subseteq A)$

  • Ցանկացած բազմության համար $A=A$
  • Եթե $A=B$, ապա $B=A$
  • Եթե $A=B$, $B=C$, ապա $A=C$.
• $A$ խստորեն պատկանում է $B$, եթե $A$պատկանում է $B$, բայց նրան հավասար չէ:

  $A\subset B\Leftrightarrow (A\subseteq B)\land (A\neq B)$

• $A$ խստորեն պատկնում է $B$, եթե $B$ խստորեն պատկանում է $A$:

  $A\supset B\Leftrightarrow B\subset A$

• $A$ և $B$ չեն հատվում,եթե ընդհանուր անդամներ չունեն։

  $A$ և $B$ չեն հատվում $\Leftrightarrow \forall a\in A\colon a\notin B$

• $A$ և $B$ գտնվում են ընդհանուր վիճակում, եթե գոյություն ունի անդամ, որ պատկանում է միայն $A$բազմությանը, անդամ, որ պատկանում է միայն $B$-ին և անդամ, որ պատկանում է երկուսին էլ։

  $A$ և $B$ գտնվում են ընդհանուր վիճակում $\Leftrightarrow$ $\exists a,b,c\colon (a\in A)\land (a\notin B)\land (b\in B)\land (b\notin A)\land (c\in A)\land (c\in B)$

Գործողություններ բազմությունների հետ

Վենի դիագրամ $A\cap B$համար

Վենի դիագրամ $A\cup B$համար

Վենի դիագրամ $A\setminus B$համար

Վենի դիագրամ $A\triangle B$համար

• հատում․

  $A\cap B:=\{x\mid x\in A\land x\in B\}$.

• միավորում․

  $A\cup B:=\{x\mid x\in A\lor x\in B\}$.

Если множества $A$ и $B$ не пересекаются, то $A\cap B=\varnothing$. Их объединение обозначают также: $A+B=A\cup B$.

• տարբերություն․

  $A\setminus B:=A\cap {\overline {B}}=\{x\mid x\in A\land x\notin B\}$.

• համաչափ տարբերություն․

  $A\bigtriangleup B\equiv A\;\;\!\!{\dot {-}}\;\;\!\!B:=$

  $(A\cup B)\setminus (A\cap B)=A\cap {\overline {B}}+{\overline {A}}\cap B=$

  $=\{x\mid (x\in A\land x\notin B)\lor (x\notin A\land x\in B)\}$.

• դեկարտյան կանմ ուղիղ արտադրյալ․

  $A\times B=\{(a,\;b)\mid a\in A,\;b\in B\}$.

Վենի դիագրամ $(A\cap B)^{\complement }$համար

Բազմության տարրեր կամ անդամներ կարող են լինել՝ թվեր, մարդիկ, այբուբենի տառեր, ուրիշ բազմություններ և այլն։ Բազմությունները պայմանականորեն նշանակվում են մեծատառերով։ A և B բազմությունները հավասար են այն և միայն այն դեպքում, երբ նրանք բաղկացած են ճիշտ նույն էլեմենտներից: