Մաթեմատիկական ճոճանակ

Ճոճանակի անիմացիան, որ ցույց է տալիս արագության և արագացման վեկտորները

Մաթեմատիկական ճոճանակը փակ համակարգ է, որի մեջ ընդգրկված են թելը, թելի երկարությունից մի քանի անգամ փոքր տրամագծով և ծանր գունդը։ Ճոճանակների մաթեմատիկան ընդհանուր առմամբ բավականին բարդ է։ Պայմանների պարզեցմամբ կարելի է դիտարկել պարզ ճոճանակ, որի դեպքում շարժման հավասարումները լուծելի են փոքր անկյան տատանումների համար։

Ընդհանուր դեպքում մաթեմատիկական ճոճանակի տատանումները հարմոնիկ չեն․ տատանման պարբերությունը կախված է լայնույթից։ Եթե տատանումները փոքր են, ապա պարբերությունը կարելի է որոշել

$T=2\pi {\sqrt {L \over g}}$

բանաձևով, որտեղ T-ն պարբերությունն է, L-ը՝ թելի երկարությունը, g-ն՝ ազատ անկման արագացումը։

Շարժման հավասարման լուծումը

Ներդաշնակ տատանումներ

Ճոճանակի փոքր տատանումները հանդիսանում են ներդաշնակ տատանումներ։ Դա նշանակում է, որ հավասարակշռության վիճակից ճոճանակի շեղումը փոփոխվում է սինուսի կամ կոսինուսի օրենքով։

$x=A\sin(\theta _{0}+\omega t),$

որտեղ $A$ — տատանման լայնույթն է, $\theta _{0}$ — տատանման սկզբնական փուլ, $\omega$ —շրջանային հաճախություն։

Ոչ գծային ճոճանակ

Ավելի մեծ լայնույթով տատանումների հավասարումն ավելի բարդ տեսք ունի։

$\sin {\frac {x}{2}}=\varkappa \cdot \operatorname {sn} (\omega t;\varkappa ),$

որտեղ $\operatorname {sn}$ — Յակոբի սինուսն է. $\varkappa <1$համար,նա պարբերական ֆունկցիա է,փոքր $\varkappa$-ի համարհամընկնում է սովորական սինուսի հետ։

$\varkappa$ պարամետրը որոշվում է

$\varkappa ={\frac {\varepsilon +\omega ^{2}}{2\omega ^{2}}},$

որտեղ $\varepsilon ={\frac {E}{mL^{2}}}$ — ճոճանակի էներգիան է t⁻²

Ոչ գծային ճոճանակի տատանման պարբերությունը որոշվում է․

$T={\frac {2\pi }{\Omega }},\quad \Omega ={\frac {\pi }{2}}{\frac {\omega }{K(\varkappa )}},$

$T=T_{0}\left\{1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\sin ^{2}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}\sin ^{4}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\dots +\left[{\frac {\left(2n-1\right)!!}{\left(2n\right)!!}}\right]^{2}\sin ^{2n}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\dots \right\}$,

որտեղ $T_{0}=2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}$ — փոքր տատանումների պարբերությունն է, $\alpha$ — ճոճանակի առավելագույն շեղումն է ուղղահայացից։

Մինչև 1 ռադիան (≈60°) անկյունների դեպքում․

$T=T_{0}\left(1+{\frac {1}{4}}\sin ^{2}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)\right).$

Տես նաև

• Ճոճանակներ
• Ֆուկոյի ճոճանակ
• Ֆիզիկական ճոճանակ

Աղբյուրներ

• Ազատ տատանումներ։ Մաթեմատիկական ճոճանակ(ռուս.)
• Ֆիզիկական հանրագիտարան(ռուս.)