«Կոորդինատային համակարգ»–ի խմբագրումների տարբերություն

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Content deleted Content added
Տող 180. Տող 180.


== Աշխարհագրական կոորդինատային համակարգ ==
== Աշխարհագրական կոորդինատային համակարգ ==
{{main|Աշխարհագրական կոորդինատներ}}

Կոորդինատների աշխարհագրական համակարգը ապահովում է [[Երկիր|երկրագնդի]] մակերևույթի ցանկացած կետի նունականցումը թվատառային նշանակմամբ: Որպես կանոն, կոորդինատները նշանակվում են այնպես, որ ցուցանիշներից մեկը նշանակում է դիրքը ուղղաձիգով, իսկ մյուսը կամ մյուսների ամբողջությունը՝ [[Գծագրական երկրաչափություն|հորիզոնականով]]:Երկրաչափական կոորդինատների ավանդական խումբը՝ [[Աշխարհագրական լայնություն|լայնություն]],[[Աշխարհագրական երկարություն |երկարություն]] և [[Հարաբերական բարձրություն|բարձրություն]]<ref name=OSGB>[http://www.ordnancesurvey.co.uk/oswebsite/gps/docs/A_Guide_to_Coordinate_Systems_in_Great_Britain.pdf A Guide to coordinate systems in Great Britain] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080422004219/http://www.ordnancesurvey.co.uk/oswebsite/gps/docs/A_Guide_to_Coordinate_Systems_in_Great_Britain.pdf |date=2008-04-22 }} v 1.7 October 2007</ref>: Աշխարհագրական կոորդինատային համակարգը նշված երեք ցուցանիշներով հանդիսանում է օրթոգոնալ:


== Տես նաև ==
== Տես նաև ==

11:33, 6 փետրվարի 2018-ի տարբերակ

Կոորդինատների համակարգ, կոորդինատների մեթոդ իրականացնող սահմանումների կոմպլեքս, այսինքն թվերի կամ այլ սիմվոլների օգնությամբ կետի կամ մարմնի դիրքի և տեղափոխության որոշման եղանակ: Կոնկրետ կետի դիրք որոշող թվերի ամբողջությունը կոչվում է այդ կետի կոորդինատներ:

Մաթեմատիկայում կոորդինատները որոշակի քարտեզագրքի ինչ-որ քարտեզի համադրված կետերի բազմաձևության թվերի ամբողջություն են:

Էլեմենտար երկրաչափությունում կոորդինատները հարթության վրա և տարածության մեջ կետի դիրքը որոշող մեծություններ են: Հարթության վրա կետի դիրքը ամենից հաճախ որոշվում է երկու ուղիղներից (կոորդինատային առանցքներից) հեռավորությամբ, որոնք հատվում են մի կետում (կոորդինատների սկզբնակետում) ուղիղ անկյան տակ: Կոորդինատներից մեկը կոչվում է օրդինատ, իսկ մյուսը՝ աբցիս: Տարածության մեջ Դեկարտի համակարգով կետի դիրքը որոշվում է միմյանց նկատմամբ ուղիղ անկյան տակ մի կետում հատվող երեք կոորդինատային հարթություններից հեռավորություններով, կամ գնդային կոորդինատներով, որտեղ կոորդինատների սկիզբը գտնվում է գնդի կենտրոնում:

Աշխարհագրությունում կոորդինատները ընտրվում են որպես (մոտավոր կերպով) գնդային կոորդինատային համակարգ՝ լայնություն, երկարություն և բարձրություն հայտնի ընդհանուր մակարդակի վրա (օրինակ, օվկիանոս): Տե՛ս աշխարհագրական կոորդինատներ:

Աստղագիտության մեջ երկնային կոորդինատներ, անկյունային մեծությունների կարգավորված զույգ (օրինակ, ուղիղ ծագում և թեքում), որոնց օգնությամբ որոշում են լուսատուների և օժանդակ կետերի դիրքը երկնային մակերևույթի վրա: Աստղագիտությունում օգտագործում են տարբեր երկնային կոորդինատային համակարգեր: Նրանցից յուրաքանչյուրը ըստ էության իրենից ներկայացնում է գնդային կոորդինատային համակարգ (առանց շառավղային կոորդինատների) համապատասխան ձևով ֆունդամենտալ հարթության ընտրությամբ և հաշվարկի սկզբով: Ֆունդամենտալ հարթության ընտրությունից կախված երկնային կոորդինատների համակարգը կոչվում է հորիզոնական (հորիզոնի հարթություն), հասարակածային (հասարակածի հարթություն), արևուղային (արևուղու հարթություն) կամ գալակտիկական (գալակտիկային հարթություն):

Առավել օգտագործվող կոորդինատային համակարգ՝ ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ:

Հարթության և տարածության մեջ կոորդինատները կարելի է ներմուծել անսահման թվով տարբեր եղանակներով: Կոորդինատների մեթոդով լուծելով այս կամ այն մաթեմատիկական կամ ֆիզիկական խնդիր, կարելի է օգտագործել տարբեր կոորդինատային համակարգեր, դրանցից ընտրելով այն, որում խնդիրը լուծվում է հեշտությամբ կամ հարմար է տվյալ կոնկրետ դեպքի համար: կոորդինատային համակարգերի հայտնի ընդհանրացում են հանդիսանում հաշվարկի համակարգերն ու ռեֆերենցիայի համակարգերը:

Հիմնական համակարգեր

Այս բաժնում տրվում են բացատրություններ էլեմենտար մաթեմատիկայում առավել օգտագործվող կոորդինատային համակարգերին:

Դեկարտյան կոորդինատներ

P կետի դիրքը հարթության վրա որոշվում է դեկարտյան կոորդինատներով՝ թվազույգի միջոցով.

  •  — P կետից հեռավորությունը մինչև y առանցք, հաշվի առնելով նշանը
  •  — P կետից հեռավորությունը մինչև x առանցք, հաշվի առնելով նշանը:

Տարածության մեջ արդեն անհրաժեշտ են 3 կոորդինատներ՝

  •  — P կետից հեռավորությունը մինչև yz հարթություն
  •  — P կետից հեռավորությունը մինչև xz հարթություն
  •  — P կետից հեռավորությունը մինչև xy հարթություն:

Բևեռային կոորդինատներ

Բևեռային կոորդինատներ:

Հարթության վրա կիրառվող բևեռային կոորդինատային համակարգում P կետի դիրքը որոշվում է կոորդինատների սկզբնակետից նրա r = |OP| հեռավորությամբ և իր շառավիղ-վեկտորի Ox առանցքի նկատմամբ φ անկյունով:

Տարածության միջ կիրառվում են բևեռային կոորդինատների ընդհանրացումները՝ գլանային և գնդային կոորդինատային համակարգերը:

Գլանային կոորդինատներ

Գլանային կոորդինատներ:

Գլանային կոորդինատներ՝ բևեռայինի եռաչափ անալոգ, որում P կետը ներկայացվում է կարգավորված եռյակով Դեկարտյան կոորդինատային համակարգի տերմիններում,

  • (շառավիղz առանցքից մինչև P կետ հեռավորությունը,
  • (ազիմուտ կամ աշխարհագրական երկայնություն) ՝ x առանցքի դրական կեսի և բևեռից մինչև P կետը տարած հատվածի xy հարթության վրա պրեյեկցիայի կազմած անկյունը:
  • (բարձրություն) հավասար է P կետի դեկարտյան z կոորդինատին:
Ծանոթագրություն: գրականության մեջ առաջին (շառավղային) կոորդինատի համար երբեմն օգտագործվում է ρ նշանակումը, երկրորդի (անկյունային կամ ազիմուտային) համար՝   θ նշանակումը, երրորդ կոորդինատների համար՝ h նշանակումը:

Բևեռային կոորդինատները ունեն մեկ թերություն՝ φ նշանակումը որոշված չէ r = 0 դեպքում:

Գլանային կոորդինատները օգտակար են ինչ-որ ատանցքի նկատմամբ սիմետրիկ համակարգերի ուսումնասիրության համար: Օրինակ, R շառավղով երկար գլանը դեկարտյան կոորդինատներում (գլանի առանցքի հետ համընկնող z առանցքով) ունի հավասարումը, այդ դեպքում որպես գլանային կոորդինատներով ավելի պարզ է երևում՝ r = R:

Գնդային կոորդինատներ

Գնդային կոորդինատներ:

Գնդային կոորդինատներ՝ բևեռայինների եռաչափ անալոգ: Գլանային կոորդինատային համակարգում P կետի դիրքը որոշվում է երեք բաղադիրչներով՝ Դեկարտյան կոորդինատային համակարգի տերմիններով՝

  • (շառավիղ)՝ P կետից մինչև բևեռ հեռավորությունը,
  • (ազիմուտ կամ երկարություն)՝ x դրական կիսաառանցքի կազմած անկյունը xy հարթության վրա բևեռից մինչև P կետը հատվածի պրոյեկցիայի հետ,
  • (լայնություն կամ բևեռային անկյուն)՝ z դրական կիսառանցքի և բևեռից մինչև P կետը տարված հատվածի միջև անկյուն:
Ծանոթագրություն: Գրականության մեջ երբեմն ազիմուտը նշանակվում է θ, իսկ բևեռային անկյունը՝ φ: Երբեմն շառավղային կոորդինատների համար օգտագործում են r ρ-ի փոխարեն: Բացի այդ ազիմուտի համար անկյունների միջակայքը կարող է ընտրվել որպես (−180°, +180°]՝ [0°, +360°) միջակայքի փոխարեն: Վերջապես, բևեռային անկյունը կարող է հաշվվել ոչ z առանցքի դրական ուղղությունից, այլ xy հարթությունից. այդ դեպքում այն ընկած է [−90°, +90°] միջակայքում, այլ ոչ թե [0°, 180°] միջակայքում: Երբեմն կոորդինատների կարգը եռյակով ընտրվում է նկարագրվածից լավագույնը, օրինակ, բևեռային և ազիմուտային անկյունները կարող են տեղափոխվել:

Գնդային կոորդինատային համակարգը ևս ունի թերություն. φ և θ որոշված չեն, եթե ρ = 0, φ անկյունը ևս որոշված չէ նաև θ = 0 ու θ = 180° (կամ θ = ±90° համար, այդ անկյան համար համապատասխան դիապազոնի ընդունման դեպքում) սահմանային արժեքների համար:

P կետի իր գնդային կոորդինատներով կառուցման համար պետք է բևեռից z դրական կիսաառանցքի երկարությամբ առանձնացնել ρ հավասար հատված, շրջել նրան θ անկյան տակ y առանցքի շուրջ x դրական կիսառանցքի ուղղությամբ, և հետո շրջել θ անկյան տակ z առանցքի շուրջ y դրական կիսառանքի ուղղությամբ:

Գնդային կոորդինատները օգտակար են կետի նկատմամբ սիմետրիկ համակարգերի ուսումնասիրության դեպքում: Այսպիսով, R շառավղով գնդի մակերևույթի հավասարումը դեկարտյան կոորդինատներով գնդի կենտրոնով հաշվարկի սկզբով ունի տեսքը, այդ դեպքում գնդային կոորդինատներով նա դառնում է բավականին պարզ՝

Ուրիշ տարածված կոորդինատային համակարգեր

  • Աֆինական (թեքանկյուն) կոորդինատային համակարգ՝ աֆինական տարածությունում ուղղագիծ կոորդինատային համակարգ: Հարթության վրա տրվում է О կոորդինատների սկիզբնակետով և երկու ոչ կոլենյար կարգավորված վեկտորներով, որոնք իրենցից ներկայացնում են աֆինական բազիս: Կոորդինատների առանցքներ տվյալ դեպքում կոչվում են կոորդինատների սկզբնակետով անցնող, բազիսային վեկտորներին զուգահեռ ուղիղները, որոնք իրենց հերթին տալիս են առանցքների դրական ուղղությունները: Եռաչափ տարածությունում, հետևաբար աֆինական կոորդինատային համակարգը տրվում է գծայնորեն անկախ վեկտորների եռյակով և կոորդինատների սկզբնակետով: Ինչ-որ М կետի կոորդինատների որոշման համար հաշվում են բազիսի վեկտորներով ОМ վեկտորի վերլուծման գործակիցները[1]:
  • Բարիցենտրիկ կոորդինատներ առաջին անգամ ներմուծվել են 1827 թվականին Ա.Մյոբուսի կողմից՝ եռանկյան գագաթներում տեղակայված զանգվածների ծանրության կենտրոնի հարցը լուծելիս: Նրանք աֆինորեն ինվարիանտ են, իրենցից ներկայացնում են ընդհանուր համասեռ կոորդինատների մասնավոր դեպք: Բարիցենտրալ կոորդինատներով կետը տեղակայված է n չափանի En վեկտորական տարածությունում, իսկ այդ դեպքում հենց կոորդինատները պատկանում են կետերի ֆիքսված համակարգին, որոնք չեն պատկանում (n−1) չափանի ենթատարածությանը: Բարիցենտրալ կոորդինատները օգտագործվում են նաև հանրահաշվական տոպոլոգիայում սիմպլեքս կետերի նկատմամբ[2]:
  • Բիանգուլյար կոորդինատներ՝ երկկենտրոն կոորդինատների մասնավոր դեպք, կոորդինատային համակարգ հարթության վրա, երկու С1 և С2 ֆիքսված կետերով տրված, որոնցով անցնում է ուղիղ, որը հանդես է գալիս որպես աբցիսների առանցք: Ինչ-որ P կետի դիրք, որը ընկած չի այդ ուղղի վրա, որոշվում է PC1C2 և PC2C1 անկյուններով:
  • Երկբևեռ կոորդինատներ [3]՝ բնութագրվում է նրանով, որ որպես հարթության վրա կոորդինատների գիծ այդ դեպքում հանդես են գալիս երկու դրական A և B շրջակայքերի ընտանիք,ինչպես նաև իրենց օրթոգոնալ շրջակայքերի ընտանիքներ: Երկբևեռ կոորդինատների փոխակերպումը դեկարտյանի տեղի է ունենում հատուկ բանաձևերի միջոցով: Տարածության մեջ երկբևեռ կոորդինատները կոչվում են երկգնդային. այդ դեպքում մակերևույթային կոորդինատները հանդիսանում են գնդեր՝ շրջանագծի աղեղի պտույտով առաջացած մակերևույթներ, ինչպես նաև Oz առանցքով անցնող կիսահարթություններ[4]:
  • Երկկենտրոն կոորդինատներ՝ կոորդինատների ցանկացած համակարգ, որը հիմնված է երկու ֆիքսված կետերի վրա և որոնցից ելնելով ինչ-որ այլ կետի դիրք որպես կանոն որոշվում է նրա ջնջման աստճանով կամ ընդհանրապես այդ երկու հիմնական կետերի դիրքերով: Նման տիպի համակրգերը կարող են օգտակար լինել գիտական հետազոտությունների կոնկրետ բնագավառներում[5][6]:
  • Երկգլանային կոորդինատներ՝ կոորդինատների համակարգ, որը ձևավորվում է այն դեպքում, եթե երկբևեռ կոորդինատային համակարգը Oxy հարթության վրա զուգահեռ տեղափոխվում է Oz առանցքի երկայնքով:Այդ դեպքում որպես կոորդինատային մակերևույթներ հանդես են գալիս շրջանային գլանների զույգ ընտանիքներ, որոնց առանցքները զուգահեռ են, իրենց որթոգոնալ շրջանային գլանների ընտանիք, ինչպես նաև հարթություն: Երկգլանային կոորդինատները դեկարտյանի վերափոխելու համար եռաչափ տարածության համար նույնպես կիրառվում են հատուկ բանաձևեր[7]:
  • Կոնային կոորդինատներ՝ կոորդինատների եռաչափ օրթոգոնալ համակրգ, բաղկացած համակենտրոն գնդերից, որոնք նկարագրվում են իրենց շառավղերով և x և z առանցքների երկայնքով տեղակայված երկու ուղղահայաց կոների ընտանիքներով[8]:
  • Ռինդլերի կոորդինատներ՝ կիրառվում է առավելապես հարաբերականության տեսության շրջանակներում և նկարագրում են հարթ տարածաժամանակի այն մասը, որը սովորաբար կոչվում է Մինկովսկու տարածություն: Հարաբերականության հատուկ տեսությունում հավասարաչափ արագացող մասնիկը գտնվում է հիպերբոլական շարժման մեջ, և յուրաքանչյուր այդպիսի մասնիկի համար Ռիդլենի կոորդինատներով կարող է ընտրված լինել այնպիսի հաշվարկի սկզբնակետ, որի նկատմամբ նա կհանդարտվի:
  • Պարաբոլական կոորդինատներ՝ երկչափ օրթոգոնալ կոորդինատային համակարգ է, որում կոորդինատային գծեր հանդիսանում է համաֆոկուս պարաբոլների ամբողջությունը: Պարաբոլական կոորդինատների եռաչափ մոդիֆիկացիան ստացվում է այդ պարաբոլների համաչափության առանցքի շուրջ երկչափ համակարգի պտույտի ճանապարհով: Պարաբոլական կոորդինատներում նույնպես կա պոտենցիալ պրակտիկ կիրառման որոշակի սպեկտոր՝ մասնավորապես, նրանք կարող են օգտագործվել Շտարկի էֆեկտի կիրառման մեջ: Պարաբոլական կոորդինատները որոշակի հարաբերությամբ կապված են ուղղանկյուն դեկարտյանների հետ[9]:
  • Պրոյեկտիվ կոորդինատներ՝ անվան համաձայն գոյություն ունեն Пn (К) պրոյեկտիվ տարածության մեջ, իրենցից ներկայացնում են փոխադարձ միարժեք համապատասխանություն իր տարրերի և էկվիվալենտության և կարգավորվածության հատկություններով օժտված К մարմնի տարրերի վերջավոր նազմության դասերի միջև: Պրոյեկտիվ ենթատարածությունների պրոյեկտիվ կոորդինատների որոշման համար բավարար է որոշել պրոյեկտիվ տարածության կետերի համապատասխան կոորդինատները: Ընդհանուր դեպքում ինչ-որ բազիսի նկատմամբ պրոյեկտիվ կոորդինատները ներմուծվում են հենց պրոյեկտիվ միջոցներով[10]:
  • Տորոիդալ կոորդինատային համակարգ՝ կոորդինատների եռաչափ օրթոգոնալ համակարգ, ստացվում է իր երկու ֆոկուսը բաժանող առանցքի շուրջը երկչափ երկբևեռ կոորդինատային համակարգի պտտումից: Երկբևեռ համակարգի ֆոկուսները համապատասխանաբար վերածվում են տորոիդալ կոորդինատային համակարգի xy հարթության а շառավղով օղակի, այն ժամանակ, երբ z առանցքը դառնում է համակարգի պտտման առանցքը: Կիզակետային օղակը նույնպես երբեմն անվանում են բազային շրջակայք[11]:
  • Եռագիծ կոորդինատներ՝ հանդիսանում են միասեռ կոորդինատների օրինակիներից մեկը և ունեն իրենց հիմնական տրված եռանկյունը, այնպես որ որոշակի կետի դիրք որոշվում է այդ եռանկյան կողմերի նկատմամբ՝ նրանց հեռավորության աստճանի գլխավոր ձևով, չնայած հնարավոր են նաև ուրիշ դեպքեր: Եռագիծ կոորդինատները կարող են լինել համեմատաբար պարզ վերափոխված բարիցենտրիկի՝ բացի այդ, նրանք փոխակերպելի են երկչափ ուղղանկյուն կոորդինատների ևս, որի համար կիրառվում են համապատասխան բանաձևեր[12]:
  • Գլանային պարաբոլային կոորդինատներ՝ կոորդինատների եռաչափ օրթոգոնալ համակարգ, որը ստացվում է կոորդինատների երկչափ պարաբոլային համակարգում տարածության վերափոխման հետևանքով: Մակերևույթի կոորդինատներ ծառայում են համապատասխանաբար համաֆոկուս պարաբոլային գլանները: Գլանային պարաբոլային կոորդինատները որոշակի հարաբերությամբ կապված են դեկարտյանների հետ, կարող են կիրառվել մի շարք գիտական հետազոտությունների բնագավառներում[13]:
  • Էլիպսոիդային կոորդինատներ՝ էլիպտական կոորդինատներ տարածության մեջ: Տվյալ տեպքում մակերևույթի կոորդինատներ հանդիսանում են էլիպսոիդները, միախոռոչ հիպերբոլոիդները, ինչպես նաև երկխոռոչ հիպերբոլոիդները, որոնց կենտրոնները տեղակայված են կոորդինատների սկզբնակետում: Համակարգը օրթոգոնալ է: Էլիպսոիդալ հանդիսացող կետերի յուրաքանչյուր եռյակի համապատասխանում է ութ կետ, որոնք Oxyz համակարգի հարթության նկատմամբ սիմետրիկ են միմյանց[14]:

Կոորդինատային մի համակարգից մյուսին անցում

Դեկարտյան և բևեռային

որտեղ u0-ն՝ -ով Հևիսայդի ֆունկցիա է, իսկ sgn՝ signum ֆունկցիա: Այստեղ u0 և sgn ֆունկցիաները օգտագործվում են որպես «տրամաբանական» փոխակերպիչներ, ծրագրավորման լեզուներում իմաստով անալոգ օպերատորներով «եթե .. ապա» (if…else): Որոշ ծրագրավորման լեզուներ ունեն հատուկ atan2 (y, x) ֆունկցիան, որը վերադարձնում է ճիշտ φ-ն անհրաշեժտ կվադրանտով, x и y կոորդինատներով որոշված:

Դեկարտյան և գլանային


Դեկարտյան և գնդային


Գլանային և գնդային

Աշխարհագրական կոորդինատային համակարգ

Կոորդինատների աշխարհագրական համակարգը ապահովում է երկրագնդի մակերևույթի ցանկացած կետի նունականցումը թվատառային նշանակմամբ: Որպես կանոն, կոորդինատները նշանակվում են այնպես, որ ցուցանիշներից մեկը նշանակում է դիրքը ուղղաձիգով, իսկ մյուսը կամ մյուսների ամբողջությունը՝ հորիզոնականով:Երկրաչափական կոորդինատների ավանդական խումբը՝ լայնություն,երկարություն և բարձրություն[15]: Աշխարհագրական կոորդինատային համակարգը նշված երեք ցուցանիշներով հանդիսանում է օրթոգոնալ:

Տես նաև

Ծանոթագրություններ

  1. Пархоменко А. С. Аффинная система координат. — Математическая энциклопедия. — М: Советская энциклопедия, 1977—1985.
  2. Скляренко Е. Г. Барицентрические координаты. — Математическая энциклопедия. — М: Советская энциклопедия, 1977—1985.
  3. Կաղապար:Mathworld
  4. Долгачев И. В., Псковских В. А. Биполярные координаты. — Математическая энциклопедия. — М: Советская энциклопедия, 1977—1985.
  5. R. Price, The Periodic Standing Wave Approximation: Adapted coordinates and spectral methods.
  6. The periodic standing-wave approximation: nonlinear scalar fields, adapted coordinates, and the eigenspectral method.
  7. Соколов Д. Д. Бицилиндрические координаты. — Математическая энциклопедия. — М: Советская энциклопедия, 1977—1985.
  8. MathWorld description of conical coordinates
  9. MathWorld description of parabolic coordinates
  10. Войцеховский М. И. Проективные координаты. — Математическая энциклопедия. — М: Советская энциклопедия, 1977—1985.
  11. MathWorld description of toroidal coordinates
  12. Weisstein, Eric W., "Trilinear Coordinates", MathWorld.
  13. MathWorld description of parabolic cylindrical coordinates
  14. Соколов Д. Д. Эллипсоидальные координаты. — Математическая энциклопедия. — М: Советская энциклопедия, 1977—1985.
  15. A Guide to coordinate systems in Great Britain Արխիվացված 2008-04-22 Wayback Machine v 1.7 October 2007


Գրականություն

  • Гельфанд И. М., Глаголева Е. Г., Кириллов А. А. Метод координат. Издание пятое, стереотипное. Серия: Библиотечка физико-математической школы. Математика. Выпуск 1. М.: Наука, 1973.
  • Делоне Н. Б. (1890–1907). «Координаты, в математике». Բրոքհաուզի և Եֆրոնի հանրագիտական բառարան: 86 հատոր (82 հատոր և 4 լրացուցիչ հատորներ). Սանկտ Պետերբուրգ.{{cite book}}: CS1 սպաս․ location missing publisher (link)

Արտաքին հղումներ