«Կոորդինատային համակարգ»–ի խմբագրումների տարբերություն

Content deleted Content added

Գծային

13:21, 5 փետրվարի 2018-ի տարբերակ

Կոորդինատների համակարգ, կոորդինատների մեթոդ իրականացնող սահմանումների կոմպլեքս, այսինքն թվերի կամ այլ սիմվոլների օգնությամբ կետի կամ մարմնի դիրքի և տեղափոխության որոշման եղանակ: Կոնկրետ կետի դիրք որոշող թվերի ամբողջությունը կոչվում է այդ կետի կոորդինատներ:

Մաթեմատիկայում կոորդինատները որոշակի քարտեզագրքի ինչ-որ քարտեզի համադրված կետերի բազմաձևության թվերի ամբողջություն են:

Էլեմենտար երկրաչափությունում կոորդինատները հարթության վրա և տարածության մեջ կետի դիրքը որոշող մեծություններ են: Հարթության վրա կետի դիրքը ամենից հաճախ որոշվում է երկու ուղիղներից (կոորդինատային առանցքներից) հեռավորությամբ, որոնք հատվում են մի կետում (կոորդինատների սկզբնակետում) ուղիղ անկյան տակ: Կոորդինատներից մեկը կոչվում է օրդինատ, իսկ մյուսը՝ աբցիս: Տարածության մեջ Դեկարտի համակարգով կետի դիրքը որոշվում է միմյանց նկատմամբ ուղիղ անկյան տակ մի կետում հատվող երեք կոորդինատային հարթություններից հեռավորություններով, կամ գնդային կոորդինատներով, որտեղ կոորդինատների սկիզբը գտնվում է գնդի կենտրոնում:

Աշխարհագրությունում կոորդինատները ընտրվում են որպես (մոտավոր կերպով) գնդային կոորդինատական համակարգ՝ լայնություն, երկարություն և բարձրություն հայտնի ընդհանուր մակարդակի վրա (օրինակ, օվկիանոս): Տե՛ս աշխարհագրական կոորդինատներ:

Աստղագիտության մեջ երկնային կոորդինատներ, անկյունային մեծությունների կարգավորված զույգ (օրինակ, ուղիղ ծագում և թեքում), որոնց օգնությամբ որոշում են լուսատուների և օժանդակ կետերի դիրքը երկնային մակերևույթի վրա: Աստղագիտությունում օգտագործում են տարբեր երկնային կոորդինատական համակարգեր: Նրանցից յուրաքանչյուրը ըստ էության իրենից ներկայացնում է գնդային կոորդինատական համակարգ (առանց շառավղային կոորդինատների) համապատասխան ձևով ֆունդամենտալ հարթության ընտրությամբ և հաշվարկի սկզբով: Ֆունդամենտալ հարթության ընտրությունից կախված երկնային կոորդինատների համակարգը կոչվում է հորիզոնական (հորիզոնի հարթություն), հասարակածային (հասարակածի հարթություն), արևուղային (արևուղու հարթություն) կամ գալակտիկական (գալակտիկային հարթություն):

Առավել օգտագործվող կոորդինատական համակարգ՝ ուղղանկյուն կոորդինատական համակարգ:

Հարթության և տարածության մեջ կոորդինատները կարելի է ներմուծել անսահման թվով տարբեր եղանակներով: Կոորդինատների մեթոդով լուծելով այս կամ այն մաթեմատիկական կամ ֆիզիկական խնդիր, կարելի է օգտագործել տարբեր կոորդինատական համակարգեր, դրանցից ընտրելով այն, որում խնդիրը լուծվում է հեշտությամբ կամ հարմար է տվյալ կոնկրետ դեպքի համար: Կոորդինատական համակարգերի հայտնի ընդհանրացում են հանդիսանում հաշվարկի համակարգերն ու ռեֆերենցիայի համակարգերը:

Հիմնական համակարգեր

Այս բաժնում տրվում են բացատրություններ էլեմենտար մաթեմատիկայում առավել օգտագործվող կոորդինատական համակարգերին:

Դեկարտյան կոորդինատներ

$P$ կետի դիրքը հարթության վրա որոշվում է դեկարտյան կոորդինատներով՝ $(x,y)$ թվազույգի միջոցով.

$x$ — $P$ կետից հեռավորությունը մինչև $y$ առանցք, հաշվի առնելով նշանը
$y$ — $P$ կետից հեռավորությունը մինչև $x$ առանցք, հաշվի առնելով նշանը:

Տարածության մեջ արդեն անհրաժեշտ են 3 կոորդինատներ՝ $(x,y,z):$

$x$ — $P$ կետից հեռավորությունը մինչև $yz$ հարթություն
$y$ — $P$ կետից հեռավորությունը մինչև $xz$ հարթություն
$z$ — $P$ կետից հեռավորությունը մինչև $xy$ հարթություն:

Բևեռային կոորդինատներ

Հարթության վրա կիրառվող բևեռային կոորդինատական համակարգում $P$ կետի դիրքը որոշվում է կոորդինատների սկզբնակետից նրա $r = |OP|$ հեռավորությամբ և իր շառավիղ-վեկտորի $Ox$ առանցքի նկատմամբ $φ$ անկյունով:

Տարածության միջ կիրառվում են բևեռային կոորդինատների ընդհանրացումները՝ գլանային և գնդային կոորդինատական համակարգերը:

Գլանային կոորդինատներ

Գլանային կոորդինատներ՝ բևեռայինի եռաչափ անալոգ, որում $P$ կետը ներկայացվում է կարգավորված եռյակով $(r,\varphi ,z):$ Դեկարտյան կոորդինատական համակարգի տերմիններում,

$0\leqslant {r}$ (շառավիղ)՝ $z$ առանցքից մինչև $P$ կետ հեռավորությունը,
$0\leqslant \varphi <360^{\circ }$ (ազիմուտ կամ աշխարհագրական երկայնություն) ՝ $x$ առանցքի դրական կեսի և բևեռից մինչև $P$ կետը տարած հատվածի $xy$ հարթության վրա պրեյեկցիայի կազմած անկյունը:
$z$ (բարձրություն) հավասար է $P$ կետի դեկարտյան $z$ կոորդինատին:

Ծանոթագրություն: գրականության մեջ առաջին (շառավղային) կոորդինատի համար երբեմն օգտագործվում է

ρ

նշանակումը, երկրորդի (անկյունային կամ ազիմուտային) համար՝

θ

նշանակումը, երրորդ կոորդինատների համար՝

h

նշանակումը:

Բևեռային կոորդինատները ունեն մեկ թերություն՝ $φ$ նշանակումը որոշված չէ $r = 0$ դեպքում:

Գլանային կոորդինատները օգտակար են ինչ-որ ատանցքի նկատմամբ սիմետրիկ համակարգերի ուսումնասիրության համար: Օրինակ, $R$ շառավղով երկար գլանը դեկարտյան կոորդինատներում (գլանի առանցքի հետ համընկնող $z$ առանցքով) ունի $x^{2}+y^{2}=R^{2}$ հավասարումը, այդ դեպքում որպես գլանային կոորդինատներով ավելի պարզ է երևում՝ $r = R$ :

Գնդային կոորդինատներ

Գնդային կոորդինատներ՝ բևեռայինների եռաչափ անալոգ: Գլանային կոորդինատական համակարգում $P$ կետի դիրքը որոշվում է երեք բաղադիրչներով՝ $(\rho ,\varphi ,\theta ):$ Դեկարտյան կոորդինատական համակարգի տերմիններով՝

$0\leqslant \rho$ (շառավիղ)՝ $P$ կետից մինչև բևեռ հեռավորությունը,
$0\leqslant \varphi \leqslant 360^{\circ }$ (ազիմուտ կամ երկարություն)՝ $x$ դրական կիսաառանցքի կազմած անկյունը $xy$ հարթության վրա բևեռից մինչև $P$ կետը հատվածի պրոյեկցիայի հետ,
$0\leqslant \theta \leqslant 180^{\circ }$ (լայնություն կամ բևեռային անկյուն)՝ $z$ դրական կիսառանցքի և բևեռից մինչև $P$ կետը տարված հատվածի միջև անկյուն:

Ծանոթագրություն: Գրականության մեջ երբեմն ազիմուտը նշանակվում է

θ

, իսկ բևեռային անկյունը՝

φ

: Երբեմն շառավղային կոորդինատների համար օգտագործում են

r

ρ

-ի փոխարեն: Բացի այդ ազիմուտի համար անկյունների միջակայքը կարող է ընտրվել որպես (−180°, +180°]՝ [0°, +360°) միջակայքի փոխարեն: Վերջապես, բևեռային անկյունը կարող է հաշվվել ոչ

z

առանցքի դրական ուղղությունից, այլ

xy

հարթությունից. այդ դեպքում այն ընկած է [−90°, +90°] միջակայքում, այլ ոչ թե [0°, 180°] միջակայքում: Երբեմն կոորդինատների կարգը եռյակով ընտրվում է նկարագրվածից լավագույնը, օրինակ, բևեռային և ազիմուտային անկյունները կարող են տեղափոխվել:

Գնդային կոորդինատական համակարգը ևս ունի թերություն. $φ$ և $θ$ որոշված չեն, եթե $ρ$ = 0, $φ$ անկյունը ևս որոշված չէ նաև $θ$ = 0 ու $θ$ = 180° (կամ $θ$ = ±90° համար, այդ անկյան համար համապատասխան դիապազոնի ընդունման դեպքում) սահմանային արժեքների համար:

$P$ կետի իր գնդային կոորդինատներով կառուցման համար պետք է բևեռից $z$ դրական կիսաառանցքի երկարությամբ առանձնացնել $ρ$ հավասար հատված, շրջել նրան $θ$ անկյան տակ $y$ առանցքի շուրջ $x$ դրական կիսառանցքի ուղղությամբ, և հետո շրջել $θ$ անկյան տակ $z$ առանցքի շուրջ $y$ դրական կիսառանքի ուղղությամբ:

Գնդային կոորդինատները օգտակար են կետի նկատմամբ սիմետրիկ համակարգերի ուսումնասիրության դեպքում: Այսպիսով, $R$ շառավղով գնդի մակերևույթի հավասարումը դեկարտյան կոորդինատներով գնդի կենտրոնով հաշվարկի սկզբով ունի $x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}$ տեսքը, այդ դեպքում գնդային կոորդինատներով նա դառնում է բավականին պարզ՝ $\rho =R:$

Ուրիշ տարածված կոորդինատական համակարգեր

Կոորդինատական մի համակարգից մյուսին անցում

Դեկարտյան և բևեռային

x=r\,\cos \varphi ,

y=r\,\sin \varphi ,

r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},

\varphi =\operatorname {arctg} {\frac {y}{x}}+\pi u_{0}(-x)\,\operatorname {sgn} y,

որտեղ $u 0$ -ն՝ $u_{0}(0)=0$ -ով Հևիսայդի ֆունկցիա է, իսկ $sgn$ ՝ signum ֆունկցիա: Այստեղ $u 0$ և $sgn$ ֆունկցիաները օգտագործվում են որպես «տրամաբանական» փոխակերպիչներ, ծրագրավորման լեզուներում իմաստով անալոգ օպերատորներով «եթե .. ապա» (if…else): Որոշ ծրագրավորման լեզուներ ունեն հատուկ atan2 ( $y$ , $x$ ) ֆունկցիան, որը վերադարձնում է ճիշտ $φ$ -ն անհրաշեժտ կվադրանտով, $x$ и $y$ կոորդինատներով որոշված:

Դեկարտյան և գլանային

x=r\,\cos \varphi ,

y=r\,\sin \varphi ,

z=z.\quad

r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},

\varphi =\operatorname {arctg} {\frac {y}{x}}+\pi u_{0}(-x)\,\operatorname {sgn} y,

z=z.\quad

{\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r\cos \theta &-r\sin \varphi &0\\r\sin \theta &r\cos \varphi &0\\0&0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}dr\\d\varphi \\dz\end{pmatrix}},

{\begin{pmatrix}dr\\d\varphi \\dz\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}&{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}&0\\{\frac {-y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}&{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}}.

Դեկարտյան և գնդային

{x}=\rho \,\sin \theta \,\cos \varphi ,\quad

{y}=\rho \,\sin \theta \,\sin \varphi ,\quad

{z}=\rho \,\cos \theta ;\quad

{\rho }={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},

{\theta }=\arccos {\frac {z}{\rho }}=\operatorname {arctg} {\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}},

{\varphi }=\operatorname {arctg} {\frac {y}{x}}+\pi \,u_{0}(-x)\,\operatorname {sgn} y.

{\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi &\rho \cos \theta \cos \varphi &-\rho \sin \theta \sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &\rho \cos \theta \sin \varphi &\rho \sin \theta \cos \varphi \\\cos \theta &-\rho \sin \theta &0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}d\rho \\d\theta \\d\varphi \end{pmatrix}},

{\begin{pmatrix}d\rho \\d\theta \\d\varphi \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x/\rho &y/\rho &z/\rho \\{\frac {xz}{\rho ^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{\frac {yz}{\rho ^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{\frac {-(x^{2}+y^{2})}{\rho ^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}\\{\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}&{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}}.

@@ Տող 102. / Տող 102. @@
 \frac{-y}{\sqrt{x^2+y^2}}&\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}&0\\
 &0&1
+\end{pmatrix}\cdot
+\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}.
+</math>
+=== Դեկարտյան և գնդային ===
+: <math>{x}=\rho \, \sin\theta \, \cos\varphi, \quad </math>
+: <math>{y}=\rho \, \sin\theta \, \sin\varphi, \quad </math>
+: <math>{z}=\rho \, \cos\theta; \quad </math>
+: <math>{\rho}=\sqrt{x^2+y^2+z^2},</math>
+: <math>{\theta}=\arccos\frac{z}{\rho}=\operatorname{arctg}\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z},</math>
+: <math>{\varphi}=\operatorname{arctg}\frac{y}{x} + \pi\, u_0(-x)\, \operatorname{sgn} y. </math>
+: <math>
+\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}=
+\begin{pmatrix}
+\sin\theta\cos\varphi&\rho\cos\theta\cos\varphi&-\rho\sin\theta\sin\varphi\\
+\sin\theta\sin\varphi&\rho\cos\theta\sin\varphi&\rho\sin\theta\cos\varphi\\
+\cos\theta&-\rho\sin\theta&0
+\end{pmatrix}\cdot
+\begin{pmatrix}d\rho\\d\theta\\d\varphi\end{pmatrix},
+</math>
+: <math>
+\begin{pmatrix}d\rho\\d\theta\\d\varphi\end{pmatrix}=
+\begin{pmatrix}
+x/\rho&y/\rho&z/\rho\\
+\frac{xz}{\rho^2\sqrt{x^2+y^2}}&\frac{yz}{\rho^2\sqrt{x^2+y^2}}&\frac{-(x^2+y^2)}{\rho^2\sqrt{x^2+y^2}}\\
+\frac{-y}{x^2+y^2}&\frac{x}{x^2+y^2}&0
 \end{pmatrix}\cdot
 \begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}.