«Կոորդինատային համակարգ»–ի խմբագրումների տարբերություն
Տող 78. | Տող 78. | ||
=== Դեկարտյան և գլանային === |
=== Դեկարտյան և գլանային === |
||
: <math>x=r\,\cos\varphi ,</math> |
|||
: <math>y=r\,\sin\varphi ,</math> |
|||
: <math>z=z. \quad</math> |
|||
: <math>r=\sqrt{x^2 + y^2},</math> |
|||
: <math>\varphi =\operatorname{arctg}\frac{y}{x} + \pi u_0(-x) \, \operatorname{sgn} y, </math> |
|||
: <math>z=z. \quad</math> |
|||
: <math> |
|||
\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}= |
|||
\begin{pmatrix} |
|||
r\cos\theta&-r\sin\varphi &0\\ |
|||
r\sin\theta&r\cos\varphi &0\\ |
|||
0&0&1 |
|||
\end{pmatrix}\cdot |
|||
\begin{pmatrix}dr\\d\varphi \\dz\end{pmatrix}, |
|||
</math> |
|||
: <math> |
|||
\begin{pmatrix}dr\\d\varphi\\dz\end{pmatrix}= |
|||
\begin{pmatrix} |
|||
\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}&\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}&0\\ |
|||
\frac{-y}{\sqrt{x^2+y^2}}&\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}&0\\ |
|||
0&0&1 |
|||
\end{pmatrix}\cdot |
|||
\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}. |
|||
</math> |
13:19, 5 փետրվարի 2018-ի տարբերակ
Կոորդինատների համակարգ, կոորդինատների մեթոդ իրականացնող սահմանումների կոմպլեքս, այսինքն թվերի կամ այլ սիմվոլների օգնությամբ կետի կամ մարմնի դիրքի և տեղափոխության որոշման եղանակ: Կոնկրետ կետի դիրք որոշող թվերի ամբողջությունը կոչվում է այդ կետի կոորդինատներ:
Մաթեմատիկայում կոորդինատները որոշակի քարտեզագրքի ինչ-որ քարտեզի համադրված կետերի բազմաձևության թվերի ամբողջություն են:
Էլեմենտար երկրաչափությունում կոորդինատները հարթության վրա և տարածության մեջ կետի դիրքը որոշող մեծություններ են: Հարթության վրա կետի դիրքը ամենից հաճախ որոշվում է երկու ուղիղներից (կոորդինատային առանցքներից) հեռավորությամբ, որոնք հատվում են մի կետում (կոորդինատների սկզբնակետում) ուղիղ անկյան տակ: Կոորդինատներից մեկը կոչվում է օրդինատ, իսկ մյուսը՝ աբցիս: Տարածության մեջ Դեկարտի համակարգով կետի դիրքը որոշվում է միմյանց նկատմամբ ուղիղ անկյան տակ մի կետում հատվող երեք կոորդինատային հարթություններից հեռավորություններով, կամ գնդային կոորդինատներով, որտեղ կոորդինատների սկիզբը գտնվում է գնդի կենտրոնում:
Աշխարհագրությունում կոորդինատները ընտրվում են որպես (մոտավոր կերպով) գնդային կոորդինատական համակարգ՝ լայնություն, երկարություն և բարձրություն հայտնի ընդհանուր մակարդակի վրա (օրինակ, օվկիանոս): Տե՛ս աշխարհագրական կոորդինատներ:
Աստղագիտության մեջ երկնային կոորդինատներ, անկյունային մեծությունների կարգավորված զույգ (օրինակ, ուղիղ ծագում և թեքում), որոնց օգնությամբ որոշում են լուսատուների և օժանդակ կետերի դիրքը երկնային մակերևույթի վրա: Աստղագիտությունում օգտագործում են տարբեր երկնային կոորդինատական համակարգեր: Նրանցից յուրաքանչյուրը ըստ էության իրենից ներկայացնում է գնդային կոորդինատական համակարգ (առանց շառավղային կոորդինատների) համապատասխան ձևով ֆունդամենտալ հարթության ընտրությամբ և հաշվարկի սկզբով: Ֆունդամենտալ հարթության ընտրությունից կախված երկնային կոորդինատների համակարգը կոչվում է հորիզոնական (հորիզոնի հարթություն), հասարակածային (հասարակածի հարթություն), արևուղային (արևուղու հարթություն) կամ գալակտիկական (գալակտիկային հարթություն):
Առավել օգտագործվող կոորդինատական համակարգ՝ ուղղանկյուն կոորդինատական համակարգ:
Հարթության և տարածության մեջ կոորդինատները կարելի է ներմուծել անսահման թվով տարբեր եղանակներով: Կոորդինատների մեթոդով լուծելով այս կամ այն մաթեմատիկական կամ ֆիզիկական խնդիր, կարելի է օգտագործել տարբեր կոորդինատական համակարգեր, դրանցից ընտրելով այն, որում խնդիրը լուծվում է հեշտությամբ կամ հարմար է տվյալ կոնկրետ դեպքի համար: Կոորդինատական համակարգերի հայտնի ընդհանրացում են հանդիսանում հաշվարկի համակարգերն ու ռեֆերենցիայի համակարգերը:
Հիմնական համակարգեր
Այս բաժնում տրվում են բացատրություններ էլեմենտար մաթեմատիկայում առավել օգտագործվող կոորդինատական համակարգերին:
Դեկարտյան կոորդինատներ
P կետի դիրքը հարթության վրա որոշվում է դեկարտյան կոորդինատներով՝ թվազույգի միջոցով.
- — P կետից հեռավորությունը մինչև y առանցք, հաշվի առնելով նշանը
- — P կետից հեռավորությունը մինչև x առանցք, հաշվի առնելով նշանը:
Տարածության մեջ արդեն անհրաժեշտ են 3 կոորդինատներ՝
- — P կետից հեռավորությունը մինչև yz հարթություն
- — P կետից հեռավորությունը մինչև xz հարթություն
- — P կետից հեռավորությունը մինչև xy հարթություն:
Բևեռային կոորդինատներ
Հարթության վրա կիրառվող բևեռային կոորդինատական համակարգում P կետի դիրքը որոշվում է կոորդինատների սկզբնակետից նրա r = |OP| հեռավորությամբ և իր շառավիղ-վեկտորի Ox առանցքի նկատմամբ φ անկյունով:
Տարածության միջ կիրառվում են բևեռային կոորդինատների ընդհանրացումները՝ գլանային և գնդային կոորդինատական համակարգերը:
Գլանային կոորդինատներ
Գլանային կոորդինատներ՝ բևեռայինի եռաչափ անալոգ, որում P կետը ներկայացվում է կարգավորված եռյակով Դեկարտյան կոորդինատական համակարգի տերմիններում,
- (շառավիղ)՝ z առանցքից մինչև P կետ հեռավորությունը,
- (ազիմուտ կամ աշխարհագրական երկայնություն) ՝ x առանցքի դրական կեսի և բևեռից մինչև P կետը տարած հատվածի xy հարթության վրա պրեյեկցիայի կազմած անկյունը:
- (բարձրություն) հավասար է P կետի դեկարտյան z կոորդինատին:
- Ծանոթագրություն: գրականության մեջ առաջին (շառավղային) կոորդինատի համար երբեմն օգտագործվում է ρ նշանակումը, երկրորդի (անկյունային կամ ազիմուտային) համար՝ θ նշանակումը, երրորդ կոորդինատների համար՝ h նշանակումը:
Բևեռային կոորդինատները ունեն մեկ թերություն՝ φ նշանակումը որոշված չէ r = 0 դեպքում:
Գլանային կոորդինատները օգտակար են ինչ-որ ատանցքի նկատմամբ սիմետրիկ համակարգերի ուսումնասիրության համար: Օրինակ, R շառավղով երկար գլանը դեկարտյան կոորդինատներում (գլանի առանցքի հետ համընկնող z առանցքով) ունի հավասարումը, այդ դեպքում որպես գլանային կոորդինատներով ավելի պարզ է երևում՝ r = R:
Գնդային կոորդինատներ
Գնդային կոորդինատներ՝ բևեռայինների եռաչափ անալոգ: Գլանային կոորդինատական համակարգում P կետի դիրքը որոշվում է երեք բաղադիրչներով՝ Դեկարտյան կոորդինատական համակարգի տերմիններով՝
- (շառավիղ)՝ P կետից մինչև բևեռ հեռավորությունը,
- (ազիմուտ կամ երկարություն)՝ x դրական կիսաառանցքի կազմած անկյունը xy հարթության վրա բևեռից մինչև P կետը հատվածի պրոյեկցիայի հետ,
- (լայնություն կամ բևեռային անկյուն)՝ z դրական կիսառանցքի և բևեռից մինչև P կետը տարված հատվածի միջև անկյուն:
- Ծանոթագրություն: Գրականության մեջ երբեմն ազիմուտը նշանակվում է θ, իսկ բևեռային անկյունը՝ φ: Երբեմն շառավղային կոորդինատների համար օգտագործում են r ρ-ի փոխարեն: Բացի այդ ազիմուտի համար անկյունների միջակայքը կարող է ընտրվել որպես (−180°, +180°]՝ [0°, +360°) միջակայքի փոխարեն: Վերջապես, բևեռային անկյունը կարող է հաշվվել ոչ z առանցքի դրական ուղղությունից, այլ xy հարթությունից. այդ դեպքում այն ընկած է [−90°, +90°] միջակայքում, այլ ոչ թե [0°, 180°] միջակայքում: Երբեմն կոորդինատների կարգը եռյակով ընտրվում է նկարագրվածից լավագույնը, օրինակ, բևեռային և ազիմուտային անկյունները կարող են տեղափոխվել:
Գնդային կոորդինատական համակարգը ևս ունի թերություն. φ և θ որոշված չեն, եթե ρ = 0, φ անկյունը ևս որոշված չէ նաև θ = 0 ու θ = 180° (կամ θ = ±90° համար, այդ անկյան համար համապատասխան դիապազոնի ընդունման դեպքում) սահմանային արժեքների համար:
P կետի իր գնդային կոորդինատներով կառուցման համար պետք է բևեռից z դրական կիսաառանցքի երկարությամբ առանձնացնել ρ հավասար հատված, շրջել նրան θ անկյան տակ y առանցքի շուրջ x դրական կիսառանցքի ուղղությամբ, և հետո շրջել θ անկյան տակ z առանցքի շուրջ y դրական կիսառանքի ուղղությամբ:
Գնդային կոորդինատները օգտակար են կետի նկատմամբ սիմետրիկ համակարգերի ուսումնասիրության դեպքում: Այսպիսով, R շառավղով գնդի մակերևույթի հավասարումը դեկարտյան կոորդինատներով գնդի կենտրոնով հաշվարկի սկզբով ունի տեսքը, այդ դեպքում գնդային կոորդինատներով նա դառնում է բավականին պարզ՝
Ուրիշ տարածված կոորդինատական համակարգեր
Կոորդինատական մի համակարգից մյուսին անցում
Դեկարտյան և բևեռային
որտեղ u0-ն՝ -ով Հևիսայդի ֆունկցիա է, իսկ sgn՝ signum ֆունկցիա: Այստեղ u0 և sgn ֆունկցիաները օգտագործվում են որպես «տրամաբանական» փոխակերպիչներ, ծրագրավորման լեզուներում իմաստով անալոգ օպերատորներով «եթե .. ապա» (if…else): Որոշ ծրագրավորման լեզուներ ունեն հատուկ atan2 (y, x) ֆունկցիան, որը վերադարձնում է ճիշտ φ-ն անհրաշեժտ կվադրանտով, x и y կոորդինատներով որոշված: