«Կոորդինատային համակարգ»–ի խմբագրումների տարբերություն

Content deleted Content added

Գծային

12:54, 5 փետրվարի 2018-ի տարբերակ

Կոորդինատների համակարգ, կոորդինատների մեթոդ իրականացնող սահմանումների կոմպլեքս, այսինքն թվերի կամ այլ սիմվոլների օգնությամբ կետի կամ մարմնի դիրքի և տեղափոխության որոշման եղանակ: Կոնկրետ կետի դիրք որոշող թվերի ամբողջությունը կոչվում է այդ կետի կոորդինատներ:

Մաթեմատիկայում կոորդինատները որոշակի քարտեզագրքի ինչ-որ քարտեզի համադրված կետերի բազմաձևության թվերի ամբողջություն են:

Էլեմենտար երկրաչափությունում կոորդինատները հարթության վրա և տարածության մեջ կետի դիրքը որոշող մեծություններ են: Հարթության վրա կետի դիրքը ամենից հաճախ որոշվում է երկու ուղիղներից (կոորդինատային առանցքներից) հեռավորությամբ, որոնք հատվում են մի կետում (կոորդինատների սկզբնակետում) ուղիղ անկյան տակ: Կոորդինատներից մեկը կոչվում է օրդինատ, իսկ մյուսը՝ աբցիս: Տարածության մեջ Դեկարտի համակարգով կետի դիրքը որոշվում է միմյանց նկատմամբ ուղիղ անկյան տակ մի կետում հատվող երեք կոորդինատային հարթություններից հեռավորություններով, կամ գնդային կոորդինատներով, որտեղ կոորդինատների սկիզբը գտնվում է գնդի կենտրոնում:

Աշխարհագրությունում կոորդինատները ընտրվում են որպես (մոտավոր կերպով) գնդային կոորդինատական համակարգ՝ լայնություն, երկարություն և բարձրություն հայտնի ընդհանուր մակարդակի վրա (օրինակ, օվկիանոս): Տե՛ս աշխարհագրական կոորդինատներ:

Աստղագիտության մեջ երկնային կոորդինատներ, անկյունային մեծությունների կարգավորված զույգ (օրինակ, ուղիղ ծագում և թեքում), որոնց օգնությամբ որոշում են լուսատուների և օժանդակ կետերի դիրքը երկնային մակերևույթի վրա: Աստղագիտությունում օգտագործում են տարբեր երկնային կոորդինատական համակարգեր: Նրանցից յուրաքանչյուրը ըստ էության իրենից ներկայացնում է գնդային կոորդինատական համակարգ (առանց շառավղային կոորդինատների) համապատասխան ձևով ֆունդամենտալ հարթության ընտրությամբ և հաշվարկի սկզբով: Ֆունդամենտալ հարթության ընտրությունից կախված երկնային կոորդինատների համակարգը կոչվում է հորիզոնական (հորիզոնի հարթություն), հասարակածային (հասարակածի հարթություն), արևուղային (արևուղու հարթություն) կամ գալակտիկական (գալակտիկային հարթություն):

Առավել օգտագործվող կոորդինատական համակարգ՝ ուղղանկյուն կոորդինատական համակարգ:

Հարթության և տարածության մեջ կոորդինատները կարելի է ներմուծել անսահման թվով տարբեր եղանակներով: Կոորդինատների մեթոդով լուծելով այս կամ այն մաթեմատիկական կամ ֆիզիկական խնդիր, կարելի է օգտագործել տարբեր կոորդինատական համակարգեր, դրանցից ընտրելով այն, որում խնդիրը լուծվում է հեշտությամբ կամ հարմար է տվյալ կոնկրետ դեպքի համար: Կոորդինատական համակարգերի հայտնի ընդհանրացում են հանդիսանում հաշվարկի համակարգերն ու ռեֆերենցիայի համակարգերը:

Հիմնական համակարգեր

Այս բաժնում տրվում են բացատրություններ էլեմենտար մաթեմատիկայում առավել օգտագործվող կոորդինատական համակարգերին:

Դեկարտյան կոորդինատներ

$P$ կետի դիրքը հարթության վրա որոշվում է դեկարտյան կոորդինատներով՝ $(x,y)$ թվազույգի միջոցով.

$x$ — $P$ կետից հեռավորությունը մինչև $y$ առանցք, հաշվի առնելով նշանը
$y$ — $P$ կետից հեռավորությունը մինչև $x$ առանցք, հաշվի առնելով նշանը:

Տարածության մեջ արդեն անհրաժեշտ են 3 կոորդինատներ՝ $(x,y,z):$

$x$ — $P$ կետից հեռավորությունը մինչև $yz$ հարթություն
$y$ — $P$ կետից հեռավորությունը մինչև $xz$ հարթություն
$z$ — $P$ կետից հեռավորությունը մինչև $xy$ հարթություն:

Բևեռային կոորդինատներ

Հարթության վրա կիրառվող բևեռային կոորդինատական համակարգում $P$ կետի դիրքը որոշվում է կոորդինատների սկզբնակետից նրա $r = |OP|$ հեռավորությամբ և իր շառավիղ-վեկտորի $Ox$ առանցքի նկատմամբ $φ$ անկյունով:

Տարածության միջ կիրառվում են բևեռային կոորդինատների ընդհանրացումները՝ գլանային և գնդային կոորդինատական համակարգերը:

Գլանային կոորդինատներ

Գլանային կոորդինատներ՝ բևեռայինի եռաչափ անալոգ, որում $P$ կետը ներկայացվում է կարգավորված եռյակով $(r,\varphi ,z):$ Դեկարտյան կոորդինատական համակարգի տերմիններում,

$0\leqslant {r}$ (շառավիղ)՝ $z$ առանցքից մինչև $P$ կետ հեռավորությունը,
$0\leqslant \varphi <360^{\circ }$ (ազիմուտ կամ աշխարհագրական երկայնություն) ՝ $x$ առանցքի դրական կեսի և բևեռից մինչև $P$ կետը տարած հատվածի $xy$ հարթության վրա պրեյեկցիայի կազմած անկյունը:
$z$ (բարձրություն) հավասար է $P$ կետի դեկարտյան $z$ կոորդինատին:

Ծանոթագրություն: գրականության մեջ առաջին (շառավղային) կոորդինատի համար երբեմն օգտագործվում է

ρ

նշանակումը, երկրորդի (անկյունային կամ ազիմուտային) համար՝

θ

նշանակումը, երրորդ կոորդինատների համար՝

h

նշանակումը:

Բևեռային կոորդինատները ունեն մեկ թերություն՝ $φ$ նշանակումը որոշված չէ $r = 0$ դեպքում:

Գլանային կոորդինատները օգտակար են ինչ-որ ատանցքի նկատմամբ սիմետրիկ համակարգերի ուսումնասիրության համար: Օրինակ, $R$ շառավղով երկար գլանը դեկարտյան կոորդինատներում (գլանի առանցքի հետ համընկնող $z$ առանցքով) ունի $x^{2}+y^{2}=R^{2}$ հավասարումը, այդ դեպքում որպես գլանային կոորդինատներով ավելի պարզ է երևում՝ $r = R$ :

Գնդային կոորդինատներ

Գնդային կոորդինատներ՝ բևեռայինների եռաչափ անալոգ: Գլանային կոորդինատական համակարգում $P$ կետի դիրքը որոշվում է երեք բաղադիրչներով՝ $(\rho ,\varphi ,\theta ):$ Դեկարտյան կոորդինատական համակարգի տերմիններով՝

$0\leqslant \rho$ (շառավիղ)՝ $P$ կետից մինչև բևեռ հեռավորությունը,
$0\leqslant \varphi \leqslant 360^{\circ }$ (ազիմուտ կամ երկարություն)՝ $x$ դրական կիսաառանցքի կազմած անկյունը $xy$ հարթության վրա բևեռից մինչև $P$ կետը հատվածի պրոյեկցիայի հետ,
$0\leqslant \theta \leqslant 180^{\circ }$ (լայնություն կամ բևեռային անկյուն)՝ $z$ դրական կիսառանցքի և բևեռից մինչև $P$ կետը տարված հատվածի միջև անկյուն:

Ծանոթագրություն: Գրականության մեջ երբեմն ազիմուտը նշանակվում է

θ

, իսկ բևեռային անկյունը՝

φ

: Երբեմն շառավղային կոորդինատների համար օգտագործում են

r

ρ

-ի փոխարեն: Բացի այդ ազիմուտի համար անկյունների միջակայքը կարող է ընտրվել որպես (−180°, +180°]՝ [0°, +360°) միջակայքի փոխարեն: Վերջապես, բևեռային անկյունը կարող է հաշվվել ոչ

z

առանցքի դրական ուղղությունից, այլ

xy

հարթությունից. այդ դեպքում այն ընկած է [−90°, +90°] միջակայքում, այլ ոչ թե [0°, 180°] միջակայքում: Երբեմն կոորդինատների կարգը եռյակով ընտրվում է նկարագրվածից լավագույնը, օրինակ, բևեռային և ազիմուտային անկյունները կարող են տեղափոխվել:

Գնդային կոորդինատական համակարգը ևս ունի թերություն. $φ$ և $θ$ որոշված չեն, եթե $ρ$ = 0, $φ$ անկյունը ևս որոշված չէ նաև $θ$ = 0 ու $θ$ = 180° (կամ $θ$ = ±90° համար, այդ անկյան համար համապատասխան դիապազոնի ընդունման դեպքում) սահմանային արժեքների համար:

$P$ կետի իր գնդային կոորդինատներով կառուցման համար պետք է բևեռից $z$ դրական կիսաառանցքի երկարությամբ առանձնացնել $ρ$ հավասար հատված, շրջել նրան $θ$ անկյան տակ $y$ առանցքի շուրջ $x$ դրական կիսառանցքի ուղղությամբ, և հետո շրջել $θ$ անկյան տակ $z$ առանցքի շուրջ $y$ դրական կիսառանքի ուղղությամբ:

Գնդային կոորդինատները օգտակար են կետի նկատմամբ սիմետրիկ համակարգերի ուսումնասիրության դեպքում: Այսպիսով, $R$ շառավղով գնդի մակերևույթի հավասարումը դեկարտյան կոորդինատներով գնդի կենտրոնով հաշվարկի սկզբով ունի $x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}$ տեսքը, այդ դեպքում գնդային կոորդինատներով նա դառնում է բավականին պարզ՝ $\rho =R:$

@@ Տող 53. / Տող 53. @@
 Գլանային կոորդինատական համակարգում  {{math|''P''}} կետի դիրքը որոշվում է երեք բաղադիրչներով՝ <math>(\rho, \varphi, \theta):</math> Դեկարտյան կոորդինատական համակարգի տերմիններով՝
 * <math>0\leqslant\rho</math> (շառավիղ)՝  {{math|''P''}} կետից մինչև բևեռ հեռավորությունը,
-* <math>0\leqslant\varphi\leqslant 360^\circ</math> (ազիմուտ կամ երկարություն)՝  {{math|''x''}} դրական կիսաառանցքի կազմած անկյունը հատվածի պրոյեկցիայի հետ, տարված բևեռից մինչև  {{math|''P''}} կետը, {{math|''xy''}} հարթության վրա:
+* <math>0\leqslant\varphi\leqslant 360^\circ</math> (ազիմուտ կամ երկարություն)՝  {{math|''x''}} դրական կիսաառանցքի կազմած անկյունը {{math|''xy''}} հարթության վրա  բևեռից մինչև  {{math|''P''}} կետը   հատվածի պրոյեկցիայի հետ,
 * <math>0\leqslant\theta\leqslant 180^\circ</math> (լայնություն կամ բևեռային անկյուն)՝  {{math|''z''}} դրական կիսառանցքի և բևեռից մինչև {{math|''P''}} կետը տարված հատվածի միջև անկյուն:
-: Ծանոթագրություն: Գրականության մեջ երբեմն ազիմուտը նշանակվում է  {{math|θ}}, իսկ բևեռային անկյունը՝  {{math|φ}}: Երբեմն շառավղային կոորդինատների համար օգտագործում են    {{math|''r''}}  {{math|ρ}}-ի փոխարեն: Բացի այդ ազիմուտի համար անկյունների միջակայքը կարող է ընտրվել որպես  (−180°, +180°]՝  [0°, +360°) միջակայքի փոխարեն: Վերջապես, բևեռային անկյունը կարող է հաշվվել ոչ {{math|''z''}} առանցքի  դրական ուղղությունից, այլ {{math|''xy''}} հարթությունից. այդ դեպքում այն ընկած է [−90°, +90°] միջակայքում, այլ ոչ թե [0°, 180°] միջակայքում: Երբեմն կոորդինատների կարգը եռյակով ընտրվում է նկարագրվածից լավագույնը, օրինակ, բևեռային և ազիմուտային անկյունները կարող են փոփոխվել:
+: Ծանոթագրություն: Գրականության մեջ երբեմն ազիմուտը նշանակվում է  {{math|θ}}, իսկ բևեռային անկյունը՝  {{math|φ}}: Երբեմն շառավղային կոորդինատների համար օգտագործում են    {{math|''r''}}  {{math|ρ}}-ի փոխարեն: Բացի այդ ազիմուտի համար անկյունների միջակայքը կարող է ընտրվել որպես  (−180°, +180°]՝  [0°, +360°) միջակայքի փոխարեն: Վերջապես, բևեռային անկյունը կարող է հաշվվել ոչ {{math|''z''}} առանցքի  դրական ուղղությունից, այլ {{math|''xy''}} հարթությունից. այդ դեպքում այն ընկած է [−90°, +90°] միջակայքում, այլ ոչ թե [0°, 180°] միջակայքում: Երբեմն կոորդինատների կարգը եռյակով ընտրվում է նկարագրվածից լավագույնը, օրինակ, բևեռային և ազիմուտային անկյունները կարող են տեղափոխվել:
+Գնդային կոորդինատական համակարգը ևս ունի թերություն.  {{math|φ}} և {{math|θ}} որոշված չեն, եթե  {{math|ρ}} = 0, {{math|φ}} անկյունը ևս որոշված չէ նաև  {{math|θ}} = 0 ու {{math|θ}} = 180° (կամ {{math|θ}} = ±90° համար, այդ անկյան համար համապատասխան դիապազոնի ընդունման դեպքում) սահմանային արժեքների համար:
+{{math|''P''}} կետի իր գնդային կոորդինատներով կառուցման համար պետք է բևեռից {{math|''z''}} դրական կիսաառանցքի երկարությամբ առանձնացնել {{math|ρ}} հավասար հատված, շրջել նրան {{math|θ}} անկյան տակ {{math|''y''}} առանցքի շուրջ {{math|''x''}} դրական կիսառանցքի ուղղությամբ, և հետո շրջել  {{math|θ}} անկյան տակ {{math|''z''}} առանցքի շուրջ {{math|''y''}} դրական կիսառանքի ուղղությամբ:
+Գնդային կոորդինատները օգտակար են կետի նկատմամբ սիմետրիկ համակարգերի ուսումնասիրության դեպքում: Այսպիսով, {{math|''R''}} շառավղով գնդի մակերևույթի հավասարումը դեկարտյան կոորդինատներով գնդի կենտրոնով հաշվարկի սկզբով ունի <math>x^2+y^2+z^2=R^2</math> տեսքը, այդ դեպքում գնդային կոորդինատներով նա դառնում է բավականին պարզ՝ <math>\rho=R:</math>