«Կեղծ միավոր»–ի խմբագրումների տարբերություն

Content deleted Content added

Գծային

20:17, 10 Հուլիսի 2017-ի տարբերակ

Կեղծ միավորը սովորաբար կոմպլեքս թիվ է, որի քառաքուսին հավասար է -1 (մինուս մեկի), երբեմն հնարավոր է և այլ տարբերակներ Քելի-Դիքսոնի կրկնապատկման կառուցվածքում (անգլ.՝ Cayley–Dickson construction) կամ Քլիֆֆորդի հանրահաշվի (անգլ.՝ Clifford algebra) շրջանակներում։

Կոմպլեքս թվեր

$i$ կոմպլեքս հարթություն. իրական թվերը գտնվում են հորիզոնական առանցքի վրա, կեղծ՝ ուղղաձիգ առանցքի վրա

{\displaystyle i} — $i$ կոմպլեքս հարթություն. իրական թվերը գտնվում են հորիզոնական առանցքի վրա, կեղծ՝ ուղղաձիգ առանցքի վրա

Մաթեմատիկայում, ֆիզիկայում կեղծ միավոր նշանակում են լատինական i կամ j, այն հնարավորություն է տալիս ընդլայնելու իրական թվերի դաշտը մինչև կոմպլեքս թվերը։ Կեղծ միավորի ներմուծման պատճառը կայանում է նրանում, որ ոչ ցանկացած իրական գործակիցներով բազմանդամային հավասարում f(x)=0 ունի լուծում իրական թվերի դաշտում։ Այնպես որ $x^{2}+1=0$ հավասարումը չունի իրական արմատներ։ Երբեմն պարզվում է, որ ցանկացած կոմպլեքս գործակիցներով բազմանդամային հավասարում ունի կոմպլեքս լուծում՝ «Հանրահաշվի հիմնական թեորեմ»։

Պատմականորեն կեղծ միավորը սկզբում ներմուծել են իրական խորանարդ հավասարումը լուծելու համար, հաճախ իրական երեք արմատների գոյության դեպքում, նրանցից երկուսի ստացումը Կարդանոյի բանաձևից պահանջվում էր վերցնել խորանարդ արմատ կոմպլեքս թվերով։

Պնդումը, թե կեղծ միավորը «քառակուսային արմատն է $-1$ -ից», ստույգ չէ, քանի որ $-1$ թիվն ունի երկու քառակուսային արմատ, որոնցից մեկը՝ $i$ , իսկ մյուսը՝ $-i$ ։ Դրանցից որ մեկն ընդունել կեղծ միավոր՝ կարևոր չէ. բոլոր հավասարությունները պահպանում են ուժը բոլոր $i$ -երը $-i$ -երով միաժամանակ փոխարինելիս։ Որպեսզի խուսափենք սխալ հաշվումներից, պետք չէ ընդունել $i$ -ն որպես ${\sqrt {-1}}$ :

Սահմանում

Կեղծ միավորը թիվ է, որի քառակուսային արմատը հավասար է $-1$ , այսինքն $i$ -ը հավասարման լուծումներից մեկն է

x^{2}+1=0,

կամ

x^{2}=-1

, որի ժամանակ նրա երկրորդ արմատը կլինի

-i

(կարելի է ստուգել տեղադրումով)։

Կեղծ միավորի աստիճանները

Աստիճանները $i$ կրկնվում են շարքում:

\ldots

i^{-3}=i\,

i^{-2}=-1\,

i^{-1}=-i\,

i^{0}=1\,

i^{1}=i\,

i^{2}=-1\,

i^{3}=-i\,

i^{4}=1\,

\ldots

Ինչը կարելի է գրառել ցանկացած աստիճանի դեպքում։

i^{4n}=1\,

i^{4n+1}=i\,

i^{4n+2}=-1\,

i^{4n+3}=-i.\,

որտեղ $n$ -ը ցանկացած ամբողջ թիվ է։ Այստեղից՝ $i^{n}=i^{n{\bmod {4}}}\,$ , որտեղ $mod4$ -ը 4-ի բաժանման մնացորդն է:

$i^{i}$ թիվը հանդիսանում է իրական:

i^{i}={e^{(i\pi /2)i}}=e^{i^{2}\pi /2}=e^{-\pi /2}=0{,}20787957635\ldots

^[1]

Ֆակտորյալ

Ֆակտորյալ կեղծ միավորի $i$ կարելի է ներկայացնել ինչպես ֆունկցիայի հաջորդաշարք $1+i$ արգումենտից:

i!=\Gamma (1+i)\approx 0.4980-0.1549i.

նույնպես

|i!|={\sqrt {\pi  \over \sinh(\pi )}}\approx 0.521564....

^[2]

Կեղծ միավորից արմատներ

Կոմպլեքս թվերի դաշտում $n$ -րդ աստիճանի արմատը ունի $n$ լուծումներ։ Կոմպլեքս հարթությունում կեղծ միավորի արմատները գտնվում են կանոնավոր n-անկյան գագաթներում՝ ներգծված միավոր շառավղով շրջանագծին։

u_{k}=\cos {\frac {{\frac {\pi }{2}}+2\pi k}{n}}+i\ \sin {\frac {{\frac {\pi }{2}}+2\pi k}{n}},\quad k=0,1,...,n-1

Դա հետևում է Մուավրի բանձևից և, հետևաբար, կեղծ միավորը կարող է նաև ներկայացվել եռանկյունաչափական տեսքով։

$i=\cos \ {\frac {\pi }{2}}+i\ \sin \ {\frac {\pi }{2}}$

Մասնավորապես, ${\sqrt {i}}=\left\{{\frac {1+i}{\sqrt {2}}};\ {\frac {-1-i}{\sqrt {2}}}\right\}$ և ${\sqrt[{3}]{i}}=\left\{-i;\ {\frac {i+{\sqrt {3}}}{2}};\ {\frac {i-{\sqrt {3}}}{2}}\right\}$

Նմանապես, կեղծ միավորի արմատը կարող է ներկայացվել ցուցանշական։

u_{k}=e^{\frac {({\frac {\pi }{2}}+2\pi k)i}{n}},\quad k=0,1,...,n-1

Այլ կեղծ թվեր

Կելի-Դիկսոնի կառուցվածքում (կամ Կլիֆորդի հանրահաշվում) «կեղծ թվի ընդլայնումը» կարող են լինել մի քանիսը, կամ նրանց քառակուսին կարող է լինել $+1$ կամ մինչև անգամ $0$ ։Այդ դեպքում կարող են ծագել բաժանում զրոյի և այլ հատկություններ, տարբերվելով կոմպլեքս $i$ հատկություններից։ Օրինակ, կվատերնիոնի մարմնում երեք антикоммутативных կեղծ միավորներ և նաև անվերջ շատ լուծումներ ունի « $x^{2}=-1$ » հավասարումը:

Մեկնաբանության և անվան հարցադրում

Գաուսը նույնպես պնդեց, որ եթե 1, −1 и √−1 մեծությունները կոչվեին համապատասխանաբար ոչ դրական, բացասական և կեղծ միավոր, այլ ուղիղ, հակադիր և կողմնակի, այդ դեպքում մարդկանց մոտ տպավորություն չէր առաջանա, որ այդ թվերի հետ կապված է ինչ-որ մութ գաղտնիք։ Գաուսի խոսքերով, երկրաչափական ներկայացումը տալիս է ճշմարիտ մետաֆիզիկայում կեղծ թվեր նոր լույսի ներքո։Հենց Գաուսն է ներմուծել «կոմլեքս թվեր» տերմինը (ի հակադրություն Դեկարտի «կեղծ թվեր»-ի) և օգտագործել նշանակման համար √−1 պայմանանշանը i:

Տես նաև

Ծանոթագրություններ

↑ Կոմպլեքս թվի ցուցանշական ձև
↑ "abs(i!)", WolframAlpha.

[1] Կոմպլեքս թվի ցուցանշական ձև

[2] "abs(i!)", WolframAlpha.

[1]

[2]

@@ Տող 7. / Տող 7. @@
 Պատմականորեն կեղծ միավորը սկզբում ներմուծել են իրական խորանարդ հավասարումը լուծելու համար, հաճախ իրական երեք արմատների գոյության դեպքում, նրանցից երկուսի ստացումը Կարդանոյի բանաձևից պահանջվում էր վերցնել խորանարդ արմատ կոմպլեքս թվերով։
-Պնդումը, որ կեղծ միավորը՝ դա«քառակուսի արմատն է  −1-ից», ստույգ չէ, չէ որ  «−1» ունի երկու քառակուսի արմատ, որոնցից մեկը «i», իսկ մյուսը՝  «−i»։ Դրանցից որ մեկը ընդունել  կեղծ միավոր՝ կարևոր չէ, բոլոր հավասարությունները պահպանում են ուժը միաժամանակ փոխարինումը բոլոր  «i»-երը «-i»-երով։ Երբեմն այդ երկիմաստությունից, որպեսզի խուսափենք սխալ հաշվումներից, պետք չէ օգտագործել i նշանակումը ինչպես ( <math>\sqrt{-1}</math>).
+Պնդումը, թե կեղծ միավորը «քառակուսային արմատն է <math>-1</math>-ից», ստույգ չէ, քանի որ <math>-1</math> թիվն ունի երկու քառակուսային արմատ, որոնցից մեկը՝ <math>i</math>, իսկ մյուսը՝ <math>-i</math>։ Դրանցից որ մեկն ընդունել  կեղծ միավոր՝ կարևոր չէ. բոլոր հավասարությունները պահպանում են ուժը բոլոր <math>i</math>-երը <math>-i</math>-երով միաժամանակ փոխարինելիս։ Որպեսզի խուսափենք սխալ հաշվումներից, պետք չէ ընդունել <math>i</math>-ն որպես <math>\sqrt{-1}</math>:
 ===Սահմանում===
-Կեղծ միավորը դա թիվ է, որի քառակուսի արմատը հավասար է  −1, այսինքն  <math>i</math>  դա հավասարման լուծումներից մեկն է
+Կեղծ միավորը թիվ է, որի քառակուսային արմատը հավասար է <math>-1</math>, այսինքն  <math>i</math>-ը հավասարման լուծումներից մեկն է
-:<math>x^2 + 1 = 0, </math> &nbsp;  կամ &nbsp; <math>x^2 =  -1. </math>  և  այդ ժամանակ նրա երկրորդ արմատը կլինի <math>-i</math>,որը կարելի է ստուգել տեղադրումով։
+:<math>x^2 + 1 = 0, </math>   կամ   <math>x^2=-1 </math>, որի ժամանակ նրա երկրորդ արմատը կլինի <math>-i</math> (կարելի է ստուգել տեղադրումով)։
 ===Կեղծ միավորի աստիճանները===
@@ Տող 34. / Տող 34. @@
 :<math>i^{4n+2} = -1\,</math>
 :<math>i^{4n+3} = -i.\,</math>
-որտեղ''n'' — ցանկացած ամբողջ թիվ է։
+որտեղ <math>n</math>-ը ցանկացած ամբողջ թիվ է։ Այստեղից՝ <math>i^n = i^{n \bmod 4}\,</math>, որտեղ <math>mod 4</math>-ը 4-ի [[բաժանման մնացորդն է]]:
-Այստեղից: <math>i^n = i^{n \bmod 4}\,</math>
-որտեղ''mod 4'' — դա 4-ի [[բաժանման մնացորդն է]] .
 <math>i^i</math>թիվը հանդիսանում է [[Вещественное число|իրական]]:
 : <math>i^i={e^{(i\pi/2)i}}=e^{i^2\pi/2}=e^{-\pi/2}=0{,}20787957635\ldots</math><ref>[[Էյլերի բանաձև#Показательная форма комплексного числа|Կոմպլեքս թվի ցուցանշական ձև]]</ref>
 === Ֆակտորյալ===
-[[Ֆակտորյալ]] կեղծ  միավորի {{math|''i''}} կարելի է ներկայացնել ինչպես  [[Гамма-функция|ֆունկցիայի հաջորդաշարք]]  {{math|1 + ''i''}}  արգումենտից:
+[[Ֆակտորյալ]] կեղծ  միավորի <math>i</math> կարելի է ներկայացնել ինչպես  [[Гамма-функция|ֆունկցիայի հաջորդաշարք]]  <math>1+i</math>  արգումենտից:
 :<math>i! = \Gamma(1+i) \approx 0.4980 - 0.1549i.</math>
@@ Տող 54. / Տող 53. @@
 [[Պատկեր:Корни кубические из мнимой единицы.svg|thumb|խորանարդ արմատներ կեղծ միավորից (եռանկյան գագաթներ)]]
-Կոմպլեքս թվերի դաշտում  ''n''-րդաստիճանի արմատը ունի  ''n'' լուծումներ։ Կոմպլեքս հարթությունում կեղծ միավորի արմատները գտնվում են  [[կանոնավոր բազմանկյան|կանոնավոր n անկյան]]  գագաթներում, ներգծված միավոր շառավղով շրջանագծին։
+Կոմպլեքս թվերի դաշտում  ''<math>n</math>''-րդ աստիճանի արմատը ունի <math>n</math> լուծումներ։ Կոմպլեքս հարթությունում կեղծ միավորի արմատները գտնվում են  [[Կանոնավոր բազմանկյուն|կանոնավոր n-անկյան]]  գագաթներում՝ ներգծված միավոր շառավղով շրջանագծին։
 :<math>u_k=\cos {\frac{{\frac{\pi}{2}} + 2\pi k}{n}} +i\ \sin {\frac{{\frac{\pi}{2}} + 2\pi k}{n}}, \quad k=0,1,...,n-1</math>
-դա հետևում է  [[формула Муавра|Մուավրի բանձևից]] և այնպես որ կեղծ միավորը կարող է նաև  ներկայացվել եռանկյունաչափական տեսքով։<math>i=\cos\ {\frac{\pi}{2}} + i\ \sin\ {\frac{\pi}{2}}</math>
+Դա հետևում է [[формула Муавра|Մուավրի բանձևից]] և, հետևաբար, կեղծ միավորը կարող է նաև ներկայացվել եռանկյունաչափական տեսքով։
+<math>i=\cos\ {\frac{\pi}{2}} + i\ \sin\ {\frac{\pi}{2}}</math>
+Մասնավորապես, <math>\sqrt{i } = \left\{\frac{1 + i}{\sqrt{2}};\ \frac{-1 - i}{\sqrt{2}} \right\}</math> և <math>\sqrt[3]{i } = \left\{-i;\ \frac{i + {\sqrt{3}}}{2};\ \frac{i - {\sqrt{3}}}{2} \right\}</math>
+Նմանապես, կեղծ միավորի արմատը կարող է ներկայացվել ցուցանշական։
-Մասնավորապես, <math>\sqrt{i } = \left\{\frac{1 + i}{\sqrt{2}};\ \frac{-1 - i}{\sqrt{2}} \right\}</math> и <math>\sqrt[3]{i } = \left\{-i;\ \frac{i + {\sqrt{3}}}{2};\ \frac{i - {\sqrt{3}}}{2} \right\}</math>
-Նմանապես կեղծ միավորի արմատը կարող է ներկայացվել ցուցանշական։
 :<math>u_k=e^{\frac{(\frac{\pi}{2} + 2\pi k) i}{n} }, \quad k=0,1,...,n-1</math>
 == '''Այլ կեղծ թվեր''' ==
-Կելի-Դիկսոնի կառուցվածքում  (կամ Կլիֆորդի հանրահաշվում) «կեղծ թվի ընդլայնումը» կարող է լինել մի քանիսը, և կամ նրանց քառակուսին կարող է լինել ="+1"  կամ մինչև անգամ="0"։Այդ դեպքում  կարող է ծագել բաժանումը զրոյի և այլ հատկություններ, տարբերվելով կոմպլեքս «i»   հատկություններից։
+Կելի-Դիկսոնի կառուցվածքում (կամ Կլիֆորդի հանրահաշվում) «կեղծ թվի ընդլայնումը» կարող են լինել մի քանիսը, կամ նրանց քառակուսին կարող է լինել <math>+1</math>  կամ մինչև անգամ <math>0</math>։Այդ դեպքում  կարող են ծագել բաժանում զրոյի և այլ հատկություններ, տարբերվելով կոմպլեքս <math>i</math> հատկություններից։ Օրինակ, [[Կվատերնիոն|կվատերնիոնի]] մարմնում երեք [[антикоммутативность|антикоммутативных]] կեղծ միավորներ և նաև անվերջ շատ լուծումներ ունի «<math>x^2 = -1</math>» հավասարումը:
-Օրինակ, , [[կվատերնիոնի (кватернион)]]ов մարմնում   երեք [[антикоммутативность|антикоммутативных]] կեղծ միավորներ  և  նաև  անվերջ շատ լուծումներ   ունի հավասարումը «<math>x^2 = -1</math>».
 == Մեկնաբանության և անվան հարցադրում ==
-{{Մեջբերում|Գաուսը նույնպես պնդեց, որ եթե 1, −1 и √−1 մեծությունները  կոչվեցին համապատասխանաբար ոչ դրական, բացասական և կեղծ միավոր, այլ ուղիղ, հակադիր և կողմնակի,այդ դեպքում մարդկանց մոտ տպավորություն չէր առաջանա,որ որ այդ թվերի հետ կապված է ինչ-որ մութ գաղտնիք։Գաուսի խոսքերով, երկրաչափական ներկայացումը տալիս է ճշմարիտ մետաֆիզիկայում կեղծ թվեր նոր լույսի ներքո։Հենց Գաուսն է ներմուծել  «կոմլեքս թվեր»  տերմինը (ի հակադրություն  Դեկարտի  «կեղծ թվեր»-ի ) և օգտագործեց նշանակման համար √−1 պայմանանշանը i. |հեղիանակ=[[Մորիս Կլայն ]], «Մաթեմատիակա .որաշակիության կորուստներ Утрата определённости». Գլուխ VII.Անտրամաբանական զարգացում Нелогичное развитие: լուրջ դժվարություններ  XIX  դարի շեմին}}
+{{Մեջբերում|Գաուսը նույնպես պնդեց, որ եթե 1, −1 и √−1 մեծությունները կոչվեին համապատասխանաբար ոչ դրական, բացասական և կեղծ միավոր, այլ ուղիղ, հակադիր և կողմնակի, այդ դեպքում մարդկանց մոտ տպավորություն չէր առաջանա, որ այդ թվերի հետ կապված է ինչ-որ մութ գաղտնիք։ Գաուսի խոսքերով, երկրաչափական ներկայացումը տալիս է ճշմարիտ մետաֆիզիկայում կեղծ թվեր նոր լույսի ներքո։Հենց Գաուսն է ներմուծել «կոմլեքս թվեր» տերմինը (ի հակադրություն Դեկարտի «կեղծ թվեր»-ի) և օգտագործել նշանակման համար √−1 պայմանանշանը i:|հեղիանակ=[[Մորիս Կլայն ]], «Մաթեմատիակա .որաշակիության կորուստներ Утрата определённости». Գլուխ VII.Անտրամաբանական զարգացում Нелогичное развитие: լուրջ դժվարություններ  XIX  դարի շեմին}}
 == Տես նաև ==