«Աստիճանային շարք»–ի խմբագրումների տարբերություն
չ Բոտ: կոսմետիկ փոփոխություններ |
|||
Տող 24. | Տող 24. | ||
* '''[[Աբելի առաջին թեորեմ]]'''։ Ենթադրենք <math>\Sigma \,a_n x^n</math> շարքը զուգամիտվում է <math>{x_0}</math> կետում։ Այդ ժամանակ այդ շարքը զուգամիտվում է բացարձակապես <math>{|x|<|x_0|}</math> շրջանում և հավասարաչափորեն այդ շրջանի <math>{x}</math> ցանկացած [[կոմպակտ ենթաբազմություն]]ում։ Հակադարձելով այդ թեորեմային, ստանում ենք, եթե աստիճանային շարքը տարամիտվում է <math>{x=x_0}</math> դեպքում, այն տարամիտվում է ցանկացած <math>{x}</math> դեպքում, այնպիսիք որ <math>{|x|>|x_0|}</math>։ Աբելի առաջին թեորեմայից նույնպես հետևում է, որ գոյություն ունի շրջանագծի այդպիսի <math>{R}</math> շառավիղ ( հնարավոր է, զրոյական կամ անվերջ), որ <math>{|x|<R}</math>-ի դեպքում շարքը զուգամիտում է բացարձակապես (և հավասարաչափորեն այդ շրջանի <math>x</math>-ի <math>{|x|<R}</math>) կոմպակտ ենթաբազմությունում, իսկ <math>{|x|>R}</math> դեպքում տարամիտում է։ Այդ <math>R</math> մեծությանը անվանում են շարքի զուգամիտության շառավիղ, իսկ <math>{|x|<R}</math> շրջանը՝ զուգամիտության շրջան։ |
* '''[[Աբելի առաջին թեորեմ]]'''։ Ենթադրենք <math>\Sigma \,a_n x^n</math> շարքը զուգամիտվում է <math>{x_0}</math> կետում։ Այդ ժամանակ այդ շարքը զուգամիտվում է բացարձակապես <math>{|x|<|x_0|}</math> շրջանում և հավասարաչափորեն այդ շրջանի <math>{x}</math> ցանկացած [[կոմպակտ ենթաբազմություն]]ում։ Հակադարձելով այդ թեորեմային, ստանում ենք, եթե աստիճանային շարքը տարամիտվում է <math>{x=x_0}</math> դեպքում, այն տարամիտվում է ցանկացած <math>{x}</math> դեպքում, այնպիսիք որ <math>{|x|>|x_0|}</math>։ Աբելի առաջին թեորեմայից նույնպես հետևում է, որ գոյություն ունի շրջանագծի այդպիսի <math>{R}</math> շառավիղ ( հնարավոր է, զրոյական կամ անվերջ), որ <math>{|x|<R}</math>-ի դեպքում շարքը զուգամիտում է բացարձակապես (և հավասարաչափորեն այդ շրջանի <math>x</math>-ի <math>{|x|<R}</math>) կոմպակտ ենթաբազմությունում, իսկ <math>{|x|>R}</math> դեպքում տարամիտում է։ Այդ <math>R</math> մեծությանը անվանում են շարքի զուգամիտության շառավիղ, իսկ <math>{|x|<R}</math> շրջանը՝ զուգամիտության շրջան։ |
||
* '''Կոշի-Ադամարի բանաձև'''։ Աստիճանային շարքի զուգամիտության շառավղի մեծությունը (եթե վերևի սահման գոյություն ունի և դրական է, [[Աստիճանային շարքի մասին Ադամարի թեորեմ]]) կարելի է հաշվել հետևյալ բանաձևով․ |
* '''[[Կոշի-Ադամարի բանաձև]]'''։ Աստիճանային շարքի զուգամիտության շառավղի մեծությունը (եթե վերևի սահման գոյություն ունի և դրական է, [[Աստիճանային շարքի մասին Ադամարի թեորեմ]]) կարելի է հաշվել հետևյալ բանաձևով․ |
||
: <math> {1\over R} = {\varlimsup\limits_{n\rightarrow +\infty}} \, |a_n|^{1/n}</math> |
: <math> {1\over R} = {\varlimsup\limits_{n\rightarrow +\infty}} \, |a_n|^{1/n}</math> |
||
(Վերին սահմանի սահմանման առիթով <math>\varlimsup\limits_{n\rightarrow +\infty}</math> տես․ «[[Հաջորդականության մասնակի սահման]]» հոդվածը)։ |
(Վերին սահմանի սահմանման առիթով <math>\varlimsup\limits_{n\rightarrow +\infty}</math> տես․ «[[Հաջորդականության մասնակի սահման]]» հոդվածը)։ |
12:41, 3 Հունիսի 2017-ի տարբերակ
Աստիճանային շարք մեկ փոփոխականով, դա ֆորմալ հանրահաշվական արտահայտություն է։
որում գործակիցներ ընտրվում է մի ինչ որ օղակից։
Աստիճանային շարքերի տարածություն
Տարածությունը մեկ փոփոխականով աստիճանային շարքով և գործակիցներ -ից նշանակում են. տարածությունը ունի դիֆֆերենցիալ հանրահաշվի կառուցվածք (կոմուտատիվ օղակով, ամբողջական, միավորով, եթե այդպիսին է ) օղակը։ Այն հաճախ օգտագործում են մաթեմատիկայում նկատի առնելով, որ նրանում հեշտ ներկայացնելի և լուծելի է ֆորմալ դիֆֆերենցիալ-հանրահաշվական և նույնիսկ ֆունկցիոնալ հարաբերակցությունը (տես․ մեթոդ ածանցավոր ֆունկցիաներ)։ Դրա օգտագործումով այդ հարաբերակցությունը փոխակերպվում է աստիճանական գործակիցներով հանրահաշվական հավասարման։ Եթե այն թույլատրվում է, ասում է ֆորմալ աստիճանային շարքի տրված խնդրի լուծման մասին։
- ում սահմամված է գումարման, բազմապատկման, ֆորմալ դիֆֆերենցում և ֆորմալ վերադրում գործողությունները։
Ենթադրենք
Այդ ժամանակ։
- (այդ դեպում անհրաժեշտ է, որ պահպանվի )
Աստիճանային շարքի զուգամիտություն
Իրական կամ կոմպլեքս գործակիցներով ֆորմալ աստիճանային շարքից, գրառման ճանապարհով, ինչ որ իրական ֆորմալ փոփոխականի մեծությունից, իրական և կոմպլեքս դաշտում կարելի է ստանալ աստիճանային շարք։ Աստիճանային շարքը համարվում է զուգամիտվող (գումարվող), եթե զուգամիտվում է մասնակի հաջորդականության գումարը,կազմված նրա անդամներից և կոչվում է բացարձակ զուգամիտություն, եթե զուգամիտվում է մասնակի հաջորդականության գումարը, կազմված նրա անդամներից, վերցրած մոդուլով (նորմայով)։
Զուգամիտության հայտանիշներ
Աստիճանային շարքի համար գոյություն ունի մի քանի թեորեմ, նկարագրելով պայմանը և բնույթը զուգամիտության։
- Աբելի առաջին թեորեմ։ Ենթադրենք շարքը զուգամիտվում է կետում։ Այդ ժամանակ այդ շարքը զուգամիտվում է բացարձակապես շրջանում և հավասարաչափորեն այդ շրջանի ցանկացած կոմպակտ ենթաբազմությունում։ Հակադարձելով այդ թեորեմային, ստանում ենք, եթե աստիճանային շարքը տարամիտվում է դեպքում, այն տարամիտվում է ցանկացած դեպքում, այնպիսիք որ ։ Աբելի առաջին թեորեմայից նույնպես հետևում է, որ գոյություն ունի շրջանագծի այդպիսի շառավիղ ( հնարավոր է, զրոյական կամ անվերջ), որ -ի դեպքում շարքը զուգամիտում է բացարձակապես (և հավասարաչափորեն այդ շրջանի -ի ) կոմպակտ ենթաբազմությունում, իսկ դեպքում տարամիտում է։ Այդ մեծությանը անվանում են շարքի զուգամիտության շառավիղ, իսկ շրջանը՝ զուգամիտության շրջան։
- Կոշի-Ադամարի բանաձև։ Աստիճանային շարքի զուգամիտության շառավղի մեծությունը (եթե վերևի սահման գոյություն ունի և դրական է, Աստիճանային շարքի մասին Ադամարի թեորեմ) կարելի է հաշվել հետևյալ բանաձևով․
(Վերին սահմանի սահմանման առիթով տես․ «Հաջորդականության մասնակի սահման» հոդվածը)։
Ենթադրենք և , երկու աստիճանային շարք են и զուգամիտության շառավիղներով։Այն ժամանակ
Եթե շարքի համար -ը զրոյական ազատ անդամ է, ապա
Հարցը վերին սահմանի կետերում զուգամիտության շարքի մասին բավականին բարդ է շրջանի զուգամիտությունը և այստեղ ընդհանուր պատասխան չկա։ Ահա մի քանիսը շարքի զուգամիտության սահմանային կետերում շրջանի զուգամիտության մասին թեորեմայից։
- Դալամբերի հայտանիշ։ Եթե և դեպքում,
- անհվասարությունը տեղի ունի,
- ապա աստիճանային շարքը զուգամիտվում է շրջանի բոլոր կետերում և հավասարաչափ -ով։
- Դիրիխլիի հայտանիշ։ Եթե աստիճանային շարքի բոլոր գործակիցները դրական են և հաջորդականությունը մոնոտոն զուգամիտվում է 0-ի, ապա այդ շարքը զուգամիտվում է շրջանագծի բոլոր կետերում, բացի, գուցե կետում։
Աստիճանային շարքի գումարը, ինչպես կոմպլեքս պարամետրի ֆունկցիա, հանդիսանում է վերլուծական ֆունկցիայի տեսության ուսումնասիրման առարկա։
Փոփոխակումներ և ընդհանրացումներ
n փոփոխականով աստիճանային շարք, դա ֆորմալ հանրահաշվական տեսքի արտահայտություն է,
- կամ բազմաինդեքս նշանակումներ,
որտեղ -ը վեկտորն է, -ն ՝ մուլտիինդեքսը, -ն միանդամը։ պարամետրերով և գործակիցներով աստիճանային շարքի տարածությունը նշանակվում է՝ ։Նրանում սահմանված է գումարման,բազմապատկման, յուրաքանչյուր փոփոխականի դիֆֆերենցման և -տեղային վերադրման գործողություններ։ Ենթադրենք
Ապա.
տարածության մասին կարելի է գործնականում ասել նույնը, ինչ և ։
Վիքիպահեստն ունի նյութեր, որոնք վերաբերում են «Աստիճանային շարք» հոդվածին։ |
|