«Լապլասի օպերատոր»–ի խմբագրումների տարբերություն
No edit summary |
No edit summary |
||
Տող 66. | Տող 66. | ||
:: <math>g = \operatorname{det} g_{ij} = (\operatorname{det} g^{ij})^{-1}</math>. |
:: <math>g = \operatorname{det} g_{ij} = (\operatorname{det} g^{ij})^{-1}</math>. |
||
<math>F^i</math> տրված կոորդինատներով որոշվող <math>F</math> վեկտորական դաշտի դիվերգենցիան (որը ներկայացնում է <math>\sum_i F^i\frac{\partial}{\partial x^i}</math> -ին կարգի դիֆֆերնցման օպերատորը) ''X'' բազմաձևի վրա որոշվում է հետևյալ բանաձևով՝ |
<math>F^i</math> տրված կոորդինատներով որոշվող <math>F</math> վեկտորական դաշտի [[Դիվերգենցիա (մաթեմատիկա)|դիվերգենցիան]] (որը ներկայացնում է <math>\sum_i F^i\frac{\partial}{\partial x^i}</math> -ին կարգի դիֆֆերնցման օպերատորը) ''X'' բազմաձևի վրա որոշվում է հետևյալ բանաձևով՝ |
||
:: <math>\operatorname{div} F = \frac{1}{\sqrt{g}}\sum^n_{i=1}\frac{\partial}{\partial x^i}(\sqrt{g}F^i)</math>, |
:: <math>\operatorname{div} F = \frac{1}{\sqrt{g}}\sum^n_{i=1}\frac{\partial}{\partial x^i}(\sqrt{g}F^i)</math>, |
||
:: իսկ ''f'' ֆունկցիայի [[Գրադիենտ|գրադիենտի]] բաղադրիչները որոշվում են հետևյալ կերպ՝ |
:: իսկ ''f'' ֆունկցիայի [[Գրադիենտ|գրադիենտի]] բաղադրիչները որոշվում են հետևյալ կերպ՝ |
||
:: <math>(\nabla f)^j =\sum^n_{i=1}g^{ij} \frac{\partial f}{\partial x^i}.</math> Լապլաս-Բելտրամի օպերատորը <math>X</math>-ի վրա որոշվում է հետևյալ բանաձևով՝ |
:: <math>(\nabla f)^j =\sum^n_{i=1}g^{ij} \frac{\partial f}{\partial x^i}.</math> |
||
:: [[Լապլաս-Բելտրամի օպերատոր|Լապլաս-Բելտրամի օպերատորը]] <math>X</math>-ի վրա որոշվում է հետևյալ բանաձևով՝ |
|||
:: <math>\Delta f = \operatorname{div} (\nabla f)= \frac{1}{\sqrt{g}}\sum^n_{i=1}\frac{\partial}{\partial x^i}\Big(\sqrt{g} \sum^n_{k=1}g^{ik} \frac{\partial f}{\partial x^k}\Big).</math> |
:: <math>\Delta f = \operatorname{div} (\nabla f)= \frac{1}{\sqrt{g}}\sum^n_{i=1}\frac{\partial}{\partial x^i}\Big(\sqrt{g} \sum^n_{k=1}g^{ik} \frac{\partial f}{\partial x^k}\Big).</math> |
||
<math>\Delta f</math>-ը սկալյար է, այսինքն չի փոփոխվում կոորդինատների ձևափոխության ժամանակ: |
<math>\Delta f</math>-ը սկալյար է, այսինքն չի փոփոխվում կոորդինատների ձևափոխության ժամանակ: |
||
== Կիրառություն == |
== Կիրառություն == |
||
Լապլլասի օպերատորի օգնությամբ հեշտորեն գրվում է Լապլասի, Պուասոնի և ալիքային հավասարումները: |
Լապլլասի օպերատորի օգնությամբ հեշտորեն գրվում է [[Լապլասի հավասարում|Լապլասի]], [[Պուասոնի հավասարում|Պուասոնի]] և [[Ալիքային հավասարում|ալիքային հավասարումները]]: |
||
Ֆիզիկայում Լապլասի օպերատորը հաճախակի օգտագործվում է [[Էլեկտրադինամիկա|էլեկտրադինամիկայում]], [[Քվանտային մեխանիկա|քվանտային մեխանիկայում]]: |
Ֆիզիկայում Լապլասի օպերատորը հաճախակի օգտագործվում է [[Էլեկտրադինամիկա|էլեկտրադինամիկայում]], [[Քվանտային մեխանիկա|քվանտային մեխանիկայում]]: |
07:51, 28 հունվարի 2017-ի տարբերակ
Խնդրում ենք նշել կաղապարի տեղադրման ամսաթիվը 2024-04-24 20:22:40 ֆորմատով
Լապլասի օպերատոր (լապլասիան, դելտա օպերատոր), մաթեմատիկական գործողություն, դիֆֆերենցման օպերատոր, որն ազդում է գծային տարածության հարթ ֆունկցիաների վրա: Նշանակվում է տառով:
n-չափանի տարածությունում ֆունկցիայի վրա կիրառելիս ստացվում է հետևյալ արտահայտությունը՝
- :
- Լապլասի օպերատորը համարժեք է գրադիենտի և դիվերգենցիայի հաջորդական կիրառմանը՝ :
- Դեկարտյան կոորդինատական համակարգում Լապլասի օպերատորը գրվում է հետևյալ կերպ՝ :
- Լապլասի օպերատորը սիմետրիկ է:
Լապլասի օպերատորը տարբեր կոորդինական համակարգերում
- Եռաչափ տարածության մեջ կորագիծ օրթոգոնալ կոորդինատներով գրվում է հետևյալ կերպ՝
- որտեղ -ն Լամեի գործակիցն է:
Գլանային կոորդինատներ
- Գլանային կոորդինատներով`
Սֆերիկ կոորդինատներ
- Սֆերիկ կոորդինատական համակարգում (եռաչափ տարածություն)՝
- կամ
- Այն դեպքում, երբ n-չափանի տարածության մեջ է՝
Պարաբոլական կոորդինատներ
- Պարաբոլական կոորդինատական համակարգում (եռաչափ տարածություն)՝
Գլանային պարաբոլական կոորդինատներ
Գլանային պարաբոլական կոորդինատական համակարգում՝
Ընդհանուր կորագիծ կոորդինատներ և Ռիմանի տարածություն
- Դիցուք հարթ բազմաձև -ի վրա տրված է կոորդինատների լոկալ համակարգ և -ն ռիմանյան մետրիկական թենզոր է -ի վրա, այսինքն մետրիկան ունի հետևյալ տեսքը՝
- .
-ով նշանակենք մատրիցի էլեմենտները՝
- .
տրված կոորդինատներով որոշվող վեկտորական դաշտի դիվերգենցիան (որը ներկայացնում է -ին կարգի դիֆֆերնցման օպերատորը) X բազմաձևի վրա որոշվում է հետևյալ բանաձևով՝
- ,
- իսկ f ֆունկցիայի գրադիենտի բաղադրիչները որոշվում են հետևյալ կերպ՝
- Լապլաս-Բելտրամի օպերատորը -ի վրա որոշվում է հետևյալ բանաձևով՝
-ը սկալյար է, այսինքն չի փոփոխվում կոորդինատների ձևափոխության ժամանակ:
Կիրառություն
Լապլլասի օպերատորի օգնությամբ հեշտորեն գրվում է Լապլասի, Պուասոնի և ալիքային հավասարումները:
Ֆիզիկայում Լապլասի օպերատորը հաճախակի օգտագործվում է էլեկտրադինամիկայում, քվանտային մեխանիկայում:
Վարիացիա և ընդհանրացում
- Դալամբերի օպերատոր՝ հիպերբոլական հավասարումների համար Լապլասի օպերատորի ընդհանրացում: Իր մեջ ներառում է ըստ ժամանակի երկրորդ կարգի ածանցյալ:
- Լապլասի վեկտորական օպերատոր՝ վեկտորական արգումենտի առկայության դեպքում Լապլասի օպերատորի ընդհանրացում: