«Լապլասի օպերատոր»–ի խմբագրումների տարբերություն
Content deleted Content added
No edit summary |
|||
Տող 1. | Տող 1. | ||
{{Խմբագրում եմ|Գոհար Հովհաննեսյան}} |
{{Խմբագրում եմ|Գոհար Հովհաննեսյան}} |
||
'''[[Պիեռ Սիմոն Լապլաս|Լապլասի]] օպերատոր''' ('''լապլասիան,''' դելտա օպերատոր), մաթեմատիկական գործողություն, դիֆֆերենցման օպերատոր, որն ազդում է գծային տարածության հարթ ֆունկցիաների վրա: Նշանակվում է <math>\ \Delta</math> տառով: |
'''[[Պիեռ Սիմոն Լապլաս|Լապլասի]] օպերատոր''' ('''լապլասիան,''' դելտա օպերատոր), մաթեմատիկական գործողություն, դիֆֆերենցման օպերատոր, որն ազդում է գծային տարածության հարթ ֆունկցիաների վրա: Նշանակվում է <math>\ \Delta</math> տառով: |
||
[[N-չափանի տարածություն|n-չափանի տարածությունում]] <math>F\ </math> ֆունկցիայի վրա կիրառելիս ստացվում է հետևյալ արտահայտությունը՝ |
|||
: <math>\left({\partial^2 \over \partial x_1^2} + {\partial^2 \over \partial x_2^2} + \ldots + {\partial^2 \over \partial x_n^2}\right)F</math>: Լապլասի օպերատորը համարժեք է [[Գրադիենտ|գրադիենտի]] և [[Դիվերգենցիա (մաթեմատիկա)|դիվերգենցիայի]] հաջորդական կիրառմանը՝ <math>\Delta=\operatorname{div}\,\operatorname{grad}</math>: |
: <math>\left({\partial^2 \over \partial x_1^2} + {\partial^2 \over \partial x_2^2} + \ldots + {\partial^2 \over \partial x_n^2}\right)F</math>: |
||
: Լապլասի օպերատորը համարժեք է [[Գրադիենտ|գրադիենտի]] և [[Դիվերգենցիա (մաթեմատիկա)|դիվերգենցիայի]] հաջորդական կիրառմանը՝ <math>\Delta=\operatorname{div}\,\operatorname{grad}</math>: |
|||
: [[Դեկարտյան կոորդինատների համակարգ|Դեկարտյան կոորդինատական համակարգում]] Լապլասի օպերատորը գրվում է հետևյալ կերպ՝ <math>\Delta=\nabla\cdot\nabla=\nabla^2</math>: |
|||
: Լապլասի օպերատորը [[Սիմետրիա|սիմետրիկ]] է: |
|||
== Լապլասի օպերատորը տարբեր կոորդինական համակարգերում == |
== Լապլասի օպերատորը տարբեր կոորդինական համակարգերում == |
||
Տող 7. | Տող 12. | ||
:: <math>\Delta f (q_1,\ q_2,\ q_3) = \operatorname{div}\,\operatorname{grad}\,f(q_1,\ q_2,\ q_3) = </math> |
:: <math>\Delta f (q_1,\ q_2,\ q_3) = \operatorname{div}\,\operatorname{grad}\,f(q_1,\ q_2,\ q_3) = </math> |
||
:: <math>=\frac{1}{H_1H_2H_3}\left[ \frac{\partial}{\partial q_1}\left( \frac{H_2H_3}{H_1}\frac{\partial f}{\partial q_1} \right) + \frac{\partial}{\partial q_2}\left( \frac{H_1H_3}{H_2}\frac{\partial f}{\partial q_2} \right) + \frac{\partial}{\partial q_3}\left( \frac{H_1H_2}{H_3}\frac{\partial f}{\partial q_3} \right)\right],</math> |
:: <math>=\frac{1}{H_1H_2H_3}\left[ \frac{\partial}{\partial q_1}\left( \frac{H_2H_3}{H_1}\frac{\partial f}{\partial q_1} \right) + \frac{\partial}{\partial q_2}\left( \frac{H_1H_3}{H_2}\frac{\partial f}{\partial q_2} \right) + \frac{\partial}{\partial q_3}\left( \frac{H_1H_2}{H_3}\frac{\partial f}{\partial q_3} \right)\right],</math> |
||
:: որտեղ <math>H_i\ </math>-ն Լամեի գործակիցն է: |
:: որտեղ <math>H_i\ </math>-ն [[Լամեի գործակիցներ|Լամեի գործակիցն]] է: |
||
=== [[Գլանային կոորդինատներ]] === |
=== [[Գլանային կոորդինատներ]] === |
||
Տող 33. | Տող 38. | ||
\left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) |
\left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) |
||
+ {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}. |
+ {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}. |
||
</math> |
|||
:: Այն դեպքում, երբ<math>\ f=f(r)</math> n-չափանի տարածության մեջ է՝ |
|||
:: <math> \Delta f = {d^2 f\over dr^2} + {n-1 \over r } {df\over dr}.</math> |
:: <math> \Delta f = {d^2 f\over dr^2} + {n-1 \over r } {df\over dr}.</math> |
||
Տող 57. | Տող 63. | ||
<math>g^{ij}</math>-ով նշանակենք <math>(g_{ij})^{-1}</math> մատրիցի էլեմենտները՝ |
<math>g^{ij}</math>-ով նշանակենք <math>(g_{ij})^{-1}</math> մատրիցի էլեմենտները՝ |
||
:: <math>g = \operatorname{det} g_{ij} = (\operatorname{det} g^{ij})^{-1}</math>. |
:: <math>g = \operatorname{det} g_{ij} = (\operatorname{det} g^{ij})^{-1}</math>. |
||
<math>F^i</math> տրված կոորդինատներով որոշվող <math>F</math> վեկտորական դաշտի դիվերգենցիան (որը ներկայացնում է <math>\sum_i F^i\frac{\partial}{\partial x^i}</math> -ին կարգի դիֆֆերնցման օպերատորը) ''X'' բազմաձևի վրա որոշվում է հետևյալ բանաձևով՝ |
|||
:: <math>\operatorname{div} F = \frac{1}{\sqrt{g}}\sum^n_{i=1}\frac{\partial}{\partial x^i}(\sqrt{g}F^i)</math>, |
|||
:: իսկ ''f'' ֆունկցիայի [[Գրադիենտ|գրադիենտի]] բաղադրիչները որոշվում են հետևյալ կերպ՝ |
|||
:: <math>(\nabla f)^j =\sum^n_{i=1}g^{ij} \frac{\partial f}{\partial x^i}.</math> Լապլաս-Բելտրամի օպերատորը <math>X</math>-ի վրա որոշվում է հետևյալ բանաձևով՝ |
|||
:: <math>\Delta f = \operatorname{div} (\nabla f)= \frac{1}{\sqrt{g}}\sum^n_{i=1}\frac{\partial}{\partial x^i}\Big(\sqrt{g} \sum^n_{k=1}g^{ik} \frac{\partial f}{\partial x^k}\Big).</math> |
|||
<math>\Delta f</math>-ը սկալյար է, այսինքն չի փոփոխվում կոորդինատների ձևափոխության ժամանակ: |
16:44, 27 հունվարի 2017-ի տարբերակ
Խնդրում ենք նշել կաղապարի տեղադրման ամսաթիվը 2024-04-25 03:57:24 ֆորմատով
Լապլասի օպերատոր (լապլասիան, դելտա օպերատոր), մաթեմատիկական գործողություն, դիֆֆերենցման օպերատոր, որն ազդում է գծային տարածության հարթ ֆունկցիաների վրա: Նշանակվում է տառով:
n-չափանի տարածությունում ֆունկցիայի վրա կիրառելիս ստացվում է հետևյալ արտահայտությունը՝
- :
- Լապլասի օպերատորը համարժեք է գրադիենտի և դիվերգենցիայի հաջորդական կիրառմանը՝ :
- Դեկարտյան կոորդինատական համակարգում Լապլասի օպերատորը գրվում է հետևյալ կերպ՝ :
- Լապլասի օպերատորը սիմետրիկ է:
Լապլասի օպերատորը տարբեր կոորդինական համակարգերում
- Եռաչափ տարածության մեջ կորագիծ օրթոգոնալ կոորդինատներով գրվում է հետևյալ կերպ՝
- որտեղ -ն Լամեի գործակիցն է:
Գլանային կոորդինատներ
- Գլանային կոորդինատներով`
Սֆերիկ կոորդինատներ
- Սֆերիկ կոորդինատական համակարգում (եռաչափ տարածություն)՝
- կամ
- Այն դեպքում, երբ n-չափանի տարածության մեջ է՝
Պարաբոլական կոորդինատներ
- Պարաբոլական կոորդինատական համակարգում (եռաչափ տարածություն)՝
Գլանային պարաբոլական կոորդինատներ
Գլանային պարաբոլական կոորդինատական համակարգում՝
Ընդհանուր կորագիծ կոորդինատներ և Ռիմանի տարածություն
- Դիցուք հարթ բազմաձև -ի վրա տրված է կոորդինատների լոկալ համակարգ և -ն ռիմանյան մետրիկական թենզոր է -ի վրա, այսինքն մետրիկան ունի հետևյալ տեսքը՝
- .
-ով նշանակենք մատրիցի էլեմենտները՝
- .
տրված կոորդինատներով որոշվող վեկտորական դաշտի դիվերգենցիան (որը ներկայացնում է -ին կարգի դիֆֆերնցման օպերատորը) X բազմաձևի վրա որոշվում է հետևյալ բանաձևով՝
- ,
- իսկ f ֆունկցիայի գրադիենտի բաղադրիչները որոշվում են հետևյալ կերպ՝
- Լապլաս-Բելտրամի օպերատորը -ի վրա որոշվում է հետևյալ բանաձևով՝
-ը սկալյար է, այսինքն չի փոփոխվում կոորդինատների ձևափոխության ժամանակ: